DIMOSTRARE LE PROPRIETA' DELLA VARIANZA NELLE VARIABILI CASUALI

economia

DIMOSTRARE LE PROPRIETA' DELLA VARIANZA NELLE VARIABILI 

CASUALI.

Varianza:

Sia E(X)=m l'aspettativa degli scarti al qu 343b11d adrato si chiama Varianza e

.

Proprietà:

1) Var(c)=c;

2) Var(c+X)=Var(X);

3) Var(cX)=Var(X);

4) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) ;

5) Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y) ;

6) Se X e Y sono indipendenti Var(X,Y)=Var(X)+Var(Y).

Dimostrazioni:

1) Var(c)=c;

2) Var(c+X)=Var(X);

Sappiamo che E(c+X)=c+E(X)=c+m

Var(c+X)=.

3) Var(cX)=Var(X);

Sappiamo che E(cX)=cE(X)=cm

Var(cX)=

4) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) ; Cov(X,Y)=2 E[(X-m)(Y-h

Dimostrazione :

Siano E(X)=m e E(Y)=h

Var(X+Y)=

Cov(X,Y)

5) Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y) ;

6) Se X e Y sono indipendenti Var(X,Y)=Var(X)+Var(Y).

Infatti per X e Y indipendenti si ha:

E(X,Y)=E(X)E(Y);

Allora da E(X,Y) si ha che Cov(X,Y) diventa:

m h

Allora:

.

Se X e Y sono indipendenti Cov(X,Y)=0.