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Formulazione Analitica dei Criteri di valutazione di un'Investimento

economia

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Formulazione Analitica dei Criteri di valutazione di un'Investimento

Nello studio dei criteri di analisi degli investimenti, analizzeremo sei differenti metodi: payback, return on investment, net present value, profitability index, internal rate of return e equivalent annual cash flow. Gli ultimi quattro sono detti criteri scontati in quanto considerano l'effetto temporale sul valore del denaro, quindi attualizzano i flussi di cassa al loro present val 151j96b ue.

Ogni metodo risponde a specifiche questioni decisionali: di conseguenza diverse aziende ne usano due o più per ottenere informazioni utili riguardo l'accettazione o l'abbandono di un progetto.

Vediamo uno per uno i vari criteri:

Non Scontati (senza attualizzazione dei flussi di cassa)   

pay - back (periodo di recuperO) : questo metodo riguarda la determinazione del numero di anni necessari per recuperare l'esborso iniziale di un progetto di investimento; questo viene confrontato con il massimo payback period accettabile dall'azienda (Bench Mark).

RETURN ON INVESTMENT : sotto questo nome vengono raggruppati diversi metodi che dividono le entrate o i profitti annui per il costo dell'investimento che ha determinato tali flussi di cassa.

scontati (con attualizzazione dei flussi di cassa derivanti dall'Investimento )

Net present Value ( Valore Attuale Netto ) : questo metodo prevede l'attualizzazione di tutti i flussi di cassa previsti, si effettua quindi la differenza tra tutti i flussi di cassa scontati in e out : tale differenza rappresenta Net Present Value del progetto.

PROFITABILITY INDEX : il metodo effettua il rapporto tra il valore attuale dei flussi di cassa in entrata e il present value dei flussi di cassa in uscita. Il quoziente fornisce un indice che misura il return per dollar of investment.

INTERNAL RATE OF RETURN ( TASSO INTERNO DI RENDIMENTO ) : questo metodo è utilizzato per determinare il valore del costo del capitale K per il quale, una volta noti i flussi di cassa in e out relativi al progetto, il net present value risulta essere nullo.

EQUIVALENT ANNUAL CASH FLOW ( EQUIVALENTE ANNUO ) : con questo metodo, dopo aver ricavato il present value dei flussi di cassa dell'investimento, si determina il corrispondente flusso equivalente annuo sulla vita utile del progetto.

Normalmente il processo di analisi di un progetto si concentra su due obiettivi :

1° livello) Stabilire la rischiosità associata all'investimento : tipicamente attraverso il payback

2° livello) Valutare la redditività dell'investimento : tipicamente attraverso il net present value.

Si noti che i criteri sopra descritti si basano sull'ipotesi che i flussi di cassa siano " certi " : in realtà questi oscillano intorno ad un valore medio. Esistono allora criteri che considerano l'aleatorietà dei flussi di cassa definendone il loro [valore medio , varianza ]: tra questi ricordiamo il RAR (Risk Adjusted Rate) e l'EQUIVALENTE CERTO.

Ipotesi di calcolo:

il costo del capitale k si suppone pari al tasso di reinvestimento i

i tassi d'interesse vengono considerati costanti nel tempo

Tali ipotesi verranno rimosse al paragrafo 3.6.

3.4.1. PAY - BACK ( Periodo di Recupero )

Risponde alla domanda: quanto tempo ci impiega un'investimento a ripagarsi ?

I Flussi di Cassa non vengono attualizzati.

Vendo il bene: valore di recupero

Flussi di cassa

CUMULATI

è un Indice di Rischiosità dell'Investimento

P.B. ELEVATO significa esporre l'impresa ad una riduzione di liquidità per un periodo di tempo molto lungo.

ESEMPIO :  t flusso di cassa F.C Cumulati

0 -40 -40

1 0 -40

2 35 -5

3 50 45

4 60 105

Il PB si collocherà quindi in un punto t^* appartenente all'intervallo di tempo [2 - 3] anni, in quanto lì il FC _Cum passa da negativo a positivo.

Per la valutazione del PB, isoliamo l'intervallo temporale [2-3], ipotizzando un andamento lineare dei flussi di cassa nel corso dell'anno:

					50

  - 5

 

Per la similitudine dei triangoli avremo :

50 : 1 = 5 : x x = 0,1 anni per cui :

PB = 2,1 ANNI

Nella realtà è l'impresa stessa a decidere il Livello di Soglia Limite sul PB :

quanto più un investimento è rischioso, tanto più la soglia imposta al PB è ridotta (si vuole che l'investimento rientri in fretta)

Il PB è un criterio di facile applicazione, ma è affetto da rischi d'interpretazione poiché non mette in evidenza alcuni aspetti che ora cercheremo di inquadrare.

Confrontiamo due differenti scenari di investimento:

t A B

0 - 1000 - 10.000

1 900 1.000

pb

2 100 9.000

3 2000 10.000

4 2000 50.000

PB _A = PB _B ma ci chiediamo: gli investimenti sono da considerarsi uguali ? Chiaramente NO !

Difetti propri del PB :

1- Non vede il rischio somma esborsata per l'investimento

2 - Inoltre A vede rientrare al primo anno già il 90 %, mentre B solo il 10 %

PB non è sensibile alla distribuzione del rientro 

3 - Non distingue il valore del denaro nel tempo

4 - Non vede cosa accade dopo il Pay-Back

Per migliorare il livello di analisi si può allora usare il PB ATTUALIZZATO , in cui le somme vengono appunto scontate secondo l'espressione:

PV =

Riprendendo i dati relativi al primo esempio trattato :

t FC _ATTUALIZZ. FC _CUMULATO

- 40 -40

1 0 -40

2 35/1,1 ² -11.1

3 50/1.1 ³ 26.4

Da cui si calcola :

x = 0.3 e quindi PB = 2.3 anni

Dal risultato ottenuto possiamo concludere che l'effetto dell' attualizzazione è quello di allungare il tempo di PB .

Applicando questo metodo all'esempio 2 risulta subito evidente che A è meglio di B , poiché recupero già al primo anno il 90 %.

E' importante notare un altro aspetto : il PB non "vede" tutto ciò che accade dopo il Tempo di Recupero (TR): nell'esempio 2 non vede che dopo il TR B mi fa guadagnare molto di più di A , questo perchè il PB non ha come obbiettivo la massimizzazione della Redditività ma solo quello di individuarne la Rischiosità (sotto forma di liquidità) associata all'investimento

RETURN ON INVESTMENT (ROI)

Vengono proposte svariate formulazioni per la valutazione di tale parametro; ne proporremo alcune applicandole al seguente caso :

Investimento iniziale : I=1000 $ Vita utile : 5 anni

Valore finale : 0 Flusso di cassa annuo [1 5] : FC=300 $

I-   Ritorno Annuo= FC / I

II- Redditività Annua dell'investimento medio = FC / I _MEDIO =

III- Redditività media dell'investimento medio = Profitto _{MEDIO ANNUO} / I _medio = 100/500= 20%

dove Profitto _{MEDIO ANNUO} = Profitto Tot./ n°anni = (FC _{IN, totale} - Perdita Valore Inv.)/n°anni

= [(5*300) - 1000] $ / 5 anni

IV- Redditività media con valori di libro = Profitto _{MEDIO ANNUO} / I _{medio a valori di libro}

dove I _{medio a valori di libro} S Valori di libro annui dell'investimento) / n°anni =

= [ (1000+800+600+400+200) / 5 ] = 600 $

quindi Redditività media con valori di libro = 100 / 600 = 16,7 %

Questo criterio, oltre a non attualizzare le somme, assume valori anche molto differenti a seconda della definizione adottata.

3.4.3. Net Present Value ( NPV )

Il NPV si valuta sommando il present value delle uscite di cassa necessarie per supportare l'investimento e il present value delle entrate determinate dal progetto: il net present value è la differenza tra il present value delle entrate e uscite di cassa.

L'espressione analitica è:

NPV =

dove K= costo del capitale ; N = anni di vita utile ; FC = flusso di cassa

Criterio di accettazione: NPV > 0 , cioè l'investimento ci permette di aumentare la ricchezza rispetto ad un livello soglia fissato da K quindi un progetto non è intrinsecamente redditizio o meno, ma tutte le valutazioni sono relative al livello soglia, infatti :

Risulta quindi evidente dall'analisi di questo diagramma come le considerazioni su un investimento cambino in base al valore di K scelto.

ESEMPIO DI CALCOLO DI NPV

La società XXX sta valutando il progetto A, che prevede un esborso iniziale di 10 M£ e entrate pari a 4 M£ per tutti i 6 anni della sua vita utile. Il valore di recupero del progetto è nullo. Sapendo che il costo del capitale è pari al 16%, determinare NPV del progetto

Soluzione

Applicando la formula si ha:

NPV = =>

Essendo NPV>0, il progetto A viene accettato.

Ci proponiamo ora di rispondere alla seguente domanda : quando conviene liquidare l'investimento al fine di massimizzare NPV ?

Si calcola NPV all'anno m < N (vita utile) :

NPV _m = [] + con m = 0,1,...,N

dove AV_m = valore di recupero dell'investimento all'anno m

Esempio si prevede che un progetto d'investimento presenti i seguenti flussi di cassa FC e valore di recupero AV

FC
AV

Essendo K=10%, ci chiediamo quando conviene liquidare l'investimento per massimizzare NPV ?

Si vede subito che sicuramente non conviene andare oltre il 4° anno poiché rifiuteremmo 2200£ subito per poi averne 2000 l'anno successivo !

Appurato che liquidare l'investimento al 5° anno non è il caso favorevole, consideriamo le altre situazioni.

	FC	attualizzo
AV
FC OUT
NPV m
					NPV max

Profitability Index (PI)

Il PI esprime il rapporto tra il present value tra le entrate e le uscite di cassa generate dal progetto: quanto più tale rapporto è maggiore di 1, tanto più il progetto è redditizio.

PI = Criterio di accettazione : PI > 1

Come si può notare, PI esplicita il rapporto tra la ricchezza creata dall'investimento e le risorse impiegate.

3.4.5. Internal Rate of Return ( IRR )

Vogliamo ora determinare il valore di K per cui NPV = 0. Si tratta allora di risolvere un'equazione di grado N nella variabile K del tipo :

Supponendo che la distribuzione temporale dei flussi di cassa sia tale da avere prima tutti quelli negativi e poi tutti quelli positivi, allora l'andamento di NPV(K) è sempre decrescente e ammette un'unica radice. Verificata tale ipotesi ha senso definire IRR :

IRR

t

					K

Quindi IRR non è un indice di redditività, ma è una misura della rischiosità dell'investimento ed è univocamente determinato una volta definiti i flussi di cassa ; in particolare tanto maggiore è il livello di accettabilità del progetto, quanto maggiore è IRR.

3.4.6. Alcune "trappole" nell'applicazione del criterio IRR

Trappola 1 : Investimento o Indebitamento ?

Non tutte le serie di flussi di cassa hanno valori attuali netti che diminuiscono con l'aumentare del tasso di sconto.

Consideriamo i seguenti progetti A e B :

Entrambi i progetti hanno un IRR del 50% ; possiamo quindi dire che entrambi i progetti sono ugualmente vantaggiosi ? Naturalmente no, in quanto nel caso A, dove paghiamo all'inizio -1000£ , stiamo prestando denaro al 50%, nel caso B invece, dove inizialmente riceviamo 1000£, stiamo prendendo in prestito denaro al 50%. Quando prestiamo denaro, vogliamo un alto tasso di rendimento, quando lo prendiamo in prestito, vogliamo un basso tasso di costo.

La regola del tasso interno di rendimento, nel modo in cui l'abbiamo formulata in precedenza, non ha alcun valore in questo caso ; viceversa NPV permette immediatamente di individuare il progetto migliore.

Trappola 2 : IRR multipli

Consideriamo un progetto X che costa 4000£ e produce 25000£ nel primo anno. Nel secondo anno bisogna versare 25000£ (sono molti i progetti che originano uscite alla fine della loro vita utile).

Come mostra la figura, con l'aumentare del tasso di sconto, NPV inizialmente aumenta e poi diminuisce. La ragione di questo fatto è da ricercare nel doppio cambio di segno del flusso di cassa.

Per un progetto vi possono essere tanti diversi tassi di rendimento interni quanti sono i cambiamenti di segno dei flussi di cassa. Per questi casi sono stai studiati un certo numero di adattamenti della regola del IRR ; tali adattamenti sono non solo inadeguati, ma anche del tutto inutili, in quanto la soluzione più semplice è quella di applicare il valore attuale netto.

Trappola 3 : progetti alternativi

Alcune imprese si trovano spesso nella necessità di dover scegliere fra diverse alternative per effettuare lo stesso lavoro o usare lo stesso impianto. In altre parole, devono decidere fra progetti alternativi o reciprocamente esclusivi. Anche in questo caso applicando unicamente la regola del IRR potremmo ottenere soluzioni errate.

Supponiamo di confrontare due progetti A e B ; dopo averne valutato gli NPV scopriamo che NPV_B>NPV _A . Ci chiediamo se anche IRR_B > IRR_A e se ciò vale sempre.

Analizziamo i seguenti diagrammi :

NPV

NPV

Dunque, in generale, si può affermare che il fatto di avere NPV_B > NPV_A non implica necessariamente la relazione IRR_B > IRR_A per qualsiasi valore di K.

Passiamo ora ad un esempio numerico e consideriamo i progetti A e B :

Forse il progetto A è una macchina utensile a controllo manuale e il progetto B è la stessa macchina utensile controllata da un computer. Si tratta in entrambi i casi di buoni investimenti, ma B presenta un NPV maggiore ed è di conseguenza l'investimento migliore. Ciononostante, l'applicazione della regola del IRR sembra indicare che se dovessimo scegliere, dovremmo propendere per il progetto A che presenta un IRR maggiore. Mettendo in pratica la regola del IRR, avremo la soddisfazione di guadagnare fino ad un tasso di rendimento del 100%, mentre applicando NPV saremo più ricchi di +11.818£.

In questi casi si può recuperare la regola del IRR calcolando il tasso interno di rendimento dei flussi incrementali originati dalla scelta di B invece di A :

Il IRR dell'investimento incrementale è il 50%, anch'esso molto al di sopra del costo opportunità del capitale (10%). Dovremo quindi preferire il progetto B al progetto A.

Se non consideriamo l'investimento incrementale, il TIR non è un criterio affidabile : ci si affiderà allora alla sentenza del valore attuale netto.

Per valutare il valore di K per cui i progetti sono identicamente remunerativi, ci serviamo dell'intersezione di Fisher.

	NPV

dove K _Fisher si valuta ponendo :

NPV _A = NPV _B

-1000 + [ 2000 / (1+ K _Fisher ) ] = -20000 + [ 35000 / (1+ K _Fisher ) ]

da cui K _Fisher = 50 %

EA ( Equivalente Annuo )

L'Equivalente Annuo permette di passare da una generica distribuzione dei flussi di cassa ad una distribuzione annua equivalente, caratterizzata dall'avere stesso valore presente PV. L'espressione analitica è la seguente :

EA =

FC

Se abbiamo

				Þ questa distribuzione equivale a
			t

La valutazione di EA è indispensabile ogni qual volta si vogliano confrontare due o più alternative di investimento che presentino una vita utile differente e che quindi non possono essere direttamente confrontati.

Come esempio consideriamo il seguente scenario : desideriamo acquistare un sistema di informatizzazione per la nostra azienda e ci vengono proposte due alternative di investimento A e B con differente vita utile. Vista la difficoltà di quantificare i benefici (ricavi) che questa innovazione apporta, si andranno a valutare le distribuzioni dei costi associate ai due progetti : quale dei due sceglieremo ?

Quello che mi permette di minimizzare i costi, cioè che presenta EA minimo.

Sia K=10%

Avendo vita utile differente, gli investimenti non sono direttamente confrontabili; calcoliamone quindi l'equivalente annuo :

Inv.A : Present Value PV = £ essendo N=2 risulta EA_A = 2476 £

Inv.B : Present Value PV = £ essendo N=3 risulta EA_B = 1697 £

Quindi l'investimento B risulta essere quello più conveniente, poichè presenta EA minimo.

3.5. Un'Applicazione: Analisi del punto di pareggio

Quando analizziamo un progetto, spesso ci chiediamo che cosa succederebbe se le vendite o i costi risultassero diversi dalle previsioni. I manager talvolta preferiscono porre questa domanda in termini diversi e si chiedono di quanto possono diminuire le vendite prima che il progetto cominci ad essere in perdita. Questo esercizio è conosciuto come analisi del punto di pareggio.

Come esempio consideriamo il progetto "auto-elettrica": nella parte sinistra della tabella sotto riportata abbiamo indicato le entrate e i costi del progetto sulla base di diverse ipotesi di vendite annue; a destra abbiamo scontato tali valori e quindi ottenuto NPV.

Si può osservare che NPV è decisamente negativo se la società non produce neanche un'auto; è appena positivo se (come previsto) ne vende 100 mila , mentre è fortemente positivo se ne vende 200 mila. Chiaramente il punto in cui NPV=0 si trova poco sotto a 100 mila auto vendute.

Nella figura sotto riportata abbiamo rappresentato graficamente il valore attuale delle entrate e delle uscite in ipotesi di diverse vendite annue: l'andamento lineare è stato adottato per ragioni di semplicità. Le due rette si incrociano per 85 mila auto : questo è il punto in cui NPV=0. Finchè la vendite si mantengono sopra le 85 mila unità, il progetto presenta un NPV positivo.

E' bene evidenziare il fatto che l'analisi del punto di pareggio deve essere effettuata attraverso flussi di cassa scontati e non in termini di profitti contabili : le imprese che sono in pareggio su base contabile, in realtà stanno realizzando una perdita, infatti stanno perdendo il costo opportunità del loro investimento.