Tecniche di Calcolo Economico

“C₀” è il capitale di partenza;

“r” è il tasso di interesse, come si è già visto sopra;

“n” è il tempo espresso in anni.

L’interesse è il prezzo che si paga per l’uso di un capitale, la sua unità è il tasso e si indica con il simbolo “r” o “i”.

L’interesse si distingue in interesse semplice e interesse composto:

si ha l’interesse semplice quando gli interessi maturati da un capitale, in un dato tempo, non maturano a loro volta alti interessi, infatti viene ca 444g68e lcolato per tutto il periodo di impiego, anche se di parecchi anni, sulla somma originariamente impiegata. In linea di massima si parla di interesse semplice se il tempo a cui si riferisce è inferiore, o al massimo uguale, ad un anno.

si ha l’interesse composto quando si maturano gli interessi degli interessi; quindi l’interesse prodotto dal capitale si aggiunge al capitale stesso alla fine di ciascuna unità di tempo di impiego e diventa a sua volta fruttifero di interessi con il capitale originario.

Interesse semplice

Montante = Capitale + Interesse

Montante unitario = q = 1 + r ← in un anno

· Esempio 1

Tizio deposita, in buoni fruttiferi presso l’Ufficio Postale, 3.000 € al tasso di interesse del 5%. Calcolare l’interesse.

Dato che si parla di interesse semplice il tempo è uguale ad un anno.  Quindi:

€

Dalla formula dell’interesse si ricavano facilmente la formula del valore scontato ( C₀ ), e il tasso di interesse:

;  ;

considerando, però, il tempo pari ad un anno le formula precedenti diventano:

;  .

La formula , detta anche di capitalizzazione, è di fondamentale importanza per determinare il valore di un bene suscettibile di fornire un reddito medio annuo costante e tendente all’infinito.

Sostituendo l’interesse nella formula generica del montante si ha:

; ;

da cui:

;

dove:

- “” è il coefficiente di posticipazione ad interesse semplice; si usa per calcolare il valore del capitale in un tempo futuro.

- “” è il coefficiente di anticipazione ad interesse semplice; si usa per calcolare il valore iniziale del capitale, o anche detto valore scontato.

Graficamente:

· Esempio 2

Essendo Tizio in possesso di una cambiale da 10.000 €, che scade tra 5 mesi, a quanto ammonta la somma che egli riscuoterebbe se la cambiale venisse scontata, in banca, al  saggio dell’ 8%?

€

Giovedì    07/04/05

· Esempio 3

Quale è il montante di un capitale di 1.000 € per novanta giorni al saggio di interesse del 5%?

€

Lunedì    11/04/05

Un valore riferito ad una determinata epoca non può essere addizionato o sottratto con un altro riferito ad un epoca diversa, se non quando ambedue i valori siano resi omogenei, e cioè riferiti alla stessa epoca; quindi ne consegue che uno dei due valori deve essere riportato all’epoca dell’altro oppure, che ambedue devono essere riportati ad una terza epoca. Tale spostamento di capitali nel tempo si raggiunge con i coefficienti di posticipazione o di anticipazione sia di interesse semplice che ad interesse composto.

Interesse composto

L’interesse composto annuo si ha quando l’interesse viene aggiunto al capitale che lo ha maturato alla fine di ogni anno, e viene adottato in tutte le applicazioni riguardanti tempi superiori ad un anno.

- Montante ad interesse composto

Per indicare il montante ad interesse composto si dice calcolare il montante comprensivo del capitale iniziale e dei relativi interessi composti maturati in un certo numero di anni.

;  .

· Esempio 4

Siano dati 1.000 € impiegati a capitalizzazione composta con tasso di interesse del 4%, alla fine dell’anno quale sarà l’importo finale?

€

Dove con  R_t si indica il capitale nel tempo.

Alla fine del secondo anno si avrà:

€

Sia dato un capitale nel tempo, e si vuole rapportarlo ad un altro tempo, naturalmente si adopererà lo studio precedente. Quindi si avrà:

;

;

iterando il procedimento fino all’n-esimo anno si avrà:

; se e solo se i = i₁ = i₂ . . . = i_n.

Dalle formule generiche del montante, e , si ricavano le seguenti espressioni:

;    ;

dove:

- “” è il coefficiente di posticipazione ad interesse composto; si usa per calcolare il valore del capitale in un tempo futuro.

- “” è il coefficiente di anticipazione ad interesse composto; si usa per calcolare il valore iniziale del capitale, o anche detto valore scontato.

Graficamente:

Lunedì    18/04/05

· Esempio 5

A quanto ammonterà fra 10 anni un capitale di 50.000 € depositato oggi in banca all’interesse del 4% ?

€

· Esempio 6

Il diritto di realizzare tra 8 anni un credito di 100.000 € viene ceduto oggi ad una certa persona. Quale somma viene pagata attualmente supposto un saggio di sconto del 6% ?

€

· Esempio 7

Depositando oggi in banca la somma di 100.000 € al saggio di interesse del 5%, quale sarà l’interesse  maturato dopo 8 anni ?

€

· Esempio 8

Tizio tra 4 mesi deve estinguere un debito di 20.000 €. Quanto dovrebbe pagare per liberarsi subito del suo debito? Saggio di sconto del 6%.

€

· Esempio 9

Tizio tra 5 anni deve estinguere un debito di 50.000 €, se volesse liberarsi oggi del suo onere, quanto dovrebbe sborsare? Tasso di interesse del 6%.

€

Esercizi tipo esame

Normalmente si richiede un grafico temporale ( generalmente in anni ) del tipo in figura nel quale si chiede di determinare dove si ha l’interesse semplice, dove quello composto, e se i capitali indicati vengono riscossi a fine o inizio anno. Vediamo alcuni esempi.

- Esempio 1

In questo caso si ha nel primo periodo un interesse semplice, e nel secondo un interesse composto, ma in entrambi la riscossione del valore monetario avviene a fine periodo.

□

- Esempio 2

Anche in questo caso i valori monetari possono essere riscossi alla fine di ogni singolo anno.

Inoltre si può notare che l’andamento del valore monetario presenta degli alti, primo e terzo anno, e dei bassi, secondo e terzo anno.    □

- Esempio 3

In questo caso, invece, i valori monetari vengono riscossi all’inizio di ogni periodo. Questo si chiama annualità .

Non è detto che i valori considerati ogni anno devono essere per forza diversi ma possono essere anche uguali in ogni periodo; vediamo un esempio:

Quindi i valori  monetari possono essere uguali o diversi.

Lunedì 02/05/05

Annualità

Distinguiamo quattro diversi tipi di annualità:

annualità costanti, posticipati, limitate;

annualità costanti, anticipate, limitate;

annualità costanti, posticipati, illimitate;

annualità costanti, anticipate, illimitate.

Il termine annualità sta ad indicare o dei debiti, o dei crediti, o il tasso di interessi, ecc.; insomma una qualunque cosa che si ripeta sempre con lo stesso valore. Le annualità si dicono:

a)  costanti perché sono, in ogni periodo, sempre allo stesso modo, cioè uguali;

b)  posticipate perché avvengono alla fine di ogni periodo, normalmente un anno;

c)  limitate perché è indicato il numero finito di anni a cui si fa riferimento;

d)  illimitate perché non è indicata il numero finito di anni a cui si fa riferimento.

Per rendere più chiare le idee vediamo come una rappresentazione del tipo:

sta ad indicare una annualità costanti, posticipati, limitate; mentre una rappresentazione del tipo:

sta ad indicare una annualità costanti, anticipate, limitate.

Naturalmente se si vuole determinare a priori o a posteriori quanto sarà l’ammontare totale, di un determinato periodo preso in esame, è necessario riportare tutti i valori uno ad uno o all’inizio, o alla fine del periodo totale.

Supponiamo di voler determinare il valore totale calcolato alla fine del periodo totale; allora per quanto detto sopra si avrà graficamente:

mentre matematicamente si ha :    , la quale è stata ricavata dallo spostamento di ogni quantità ne tempo e precisamente tutti gli spostamenti sono avvenuti verso la fine.

Partendo da

mettendo in evidenza il fattore comune “a” cioè l’annualità, si ha

quindi osservando la parte presente si può concludere dicendo che essendo questa una processione geometrica crescente di regione “q”, essa avrà per soluzione la seguente espressione:

.

Sostituendo nell’espressione di “An” si ha:

.

Allo stesso modo si ragiona per determinare il valore totale calcolato all’inizio del periodo totale, per maggiore semplicità indichiamo ora ciò che si intende graficamente.

Risparmiamo il procedimento matematico perché del tutto uguale al precedente; indichiamo però solo la formula finale.

.

- Accumulazione finale ( An )

Ogni qualvolta si voglia determinare la somma riferita alla fine del periodo di una serie di valori annui costanti e posticipati basterà moltiplicare l’importo dell’annualità per il coefficiente: ,. Sono valori che si ripetono costantemente alla fine di ogni anno per un determinato numero di anni; in particolare per “An” occorre trasportare una ad una le singole annualità alla fine dell’anno “n” partendo da quella che si verifica alla fine del periodo, ovvero un espressione aritmetica in cui le diverse annualità si possono addizionare tra di loro perché riferite alla stessa epoca e precisamente alla fine del periodo.

Si osserva così che i termini tra parentesi costituiscono una progressione geometrica crescente di regione “q”.

- Accumulazione iniziale ( A₀ )

L’accumulazione iniziale si ottiene riportando una ad una, con il coefficiente di sconto composto: , le singole annualità all’anno zero ed eseguirne, data l’omogeneità dei valori, la somma aritmetica.

Con un procedimento matematico analogo al precedente otteniamo:

e tale formula non è altro che l’accumulazione finale riportata all’annualità con il coefficiente di sconto composto .

In definitiva ogni qualvolta si voglia conoscere, all’anno zero, la somma di più valori annui, costanti e posticipati, verificatosi per un determinato numero di anni, basterà moltiplicare l’annualità data per il relativo coefficiente: .

Ciò che è stato finora descritto è riferito alle annualità costanti posticipate limitate, vediamo ora le annualità costanti anticipate limitate.

• Le annualità costanti anticipate limitate differiscono dalle precedenti solo perché si verificano al principio di ognuno degli anni del periodo considerato.

Per trovare l’accumulazione finale ( An ) e l’accumulazione iniziale ( A₀ ) non vi è che da applicare lo stesso procedimento già visto in precedenza, quindi basterà portare le singole annualità all’anno “n” per conoscere An e all’anno zero per conoscere A₀.

Si può concludere dicendo che le annualità anticipate si verificano un anno prima di quelle posticipate; basterà quindi posticipare di un anno le annualità mediante il coefficiente di posticipazione annua “q” e quindi applicare gli stessi coefficienti di accumulazione relativi alle annualità costanti posticipate limitate.

Quindi si ha:

Se si hanno delle annualità e si posticipano di un anno allora An e A₀ saranno spostati di tanto quanto è il periodo di posticipazione.

Giovedì 05/05/05

• Esempio 10

Per la maturazione straordinaria di un fabbricato il proprietario ha speso alla fine di ogni anno per quattro anni consecutivi 5.000 €. Si vuole conoscere la spesa complessiva riferita alla fine del periodo considerato. Sia r = 5%.

€

• Esempio 11

Un agricoltore, in seguito all’acquisto di una particolare macchina agricola, risulta debitore verso la Ditta fornitrice per tre anni consecutivi di una somma annua di 100.000 € pagabili alla fine di ogni anno a partire da oggi. Se l’agricoltore volesse liberarsi subito dal suo debito versando un unico importo, quanto dovrebbe pagare? Sia il saggio di sconto il 9,5%.

€

• Esempio 12

Tizio per l’uso di un grosso supermercato che detiene in locazione paga un canone annuo di 30.000€ suddivise in tre rate anticipate. Le spese annue mediamente anticipate a carico della proprietà ammontano a 5.000 €. Si vuole conoscere il reddito annuo percepito dal proprietario del fabbricato. Sia r = 6%. Si determini poi anche il valore del fabbricato, supposto un saggio di capitalizzazione del 5%.

Dato che i valori presi in esame non sono uguali non possiamo parlare né di annualità né di accumulazione; pertanto si procede con le formule relative all’interesse semplice, perché siamo all’interno di un anno.