Teoria in sintesi - PARABOLA, DISEQUAZIONI DI 2s GRADO

Il vertice ha ascissa (l'ordinata si può t 616c23g rovare sostituendo questo valore nella funzione)

La parabola ha la concavità rivolta verso l'alto se , verso il basso se

La "apertura" della parabola è tanto maggiore, quanto maggiore è .

Per tracciare il grafico qualitativo della parabola si determinano il vertice e le intersezioni con gli assi.

N.B.: Per queste ultime ricorda che devi risolvere i due sistemi

che dà

che dà

DISEQUAZIONI DI 2º GRADO

N.B.: Possiamo sempre fare riferimento ai casi in cui il coefficiente a è positivo. Infatti se a è negativo, basta cambiare segno a tutti i termini e invertire il senso delle disequazioni.

(esempio: è equivalente a

METODO GRAFICO (uso della parabola)

Per dare una interpretazione grafica delle disequazioni di secondo grado

a)  a) si disegna la parabola;

b)  b) si cercano gli eventuali punti di intersezione della parabola con l'asse x;

c)  c) si considerano le soluzioni delle disequazioni che sono date dalle ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata positiva oppure negativa .

I casi possibili risultano riassunti nel seguente schema:

Costruisci tu per questo caso lo schema riassuntivo in modo analogo. Ricorda che in questo caso si procede considerando la parte di parabola che sta nel semipiano delle y negative.

DECOMPOSIZIONE DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO

La risoluzione analitica delle disequazioni

avviene nel modo seguente

1. 

dette le due soluzioni di e posto si ha

E quindi, dalle regole dei segni, otteniamo la soluzione

(N.B.: Il simbolo , preso in prestito dalla logica, sta a significare che si considera l'unione dei due insiemi ).

1. 

quindi soluzione

2. 

soluzione

R

Invece per la disequazione in modo analogo si ottiene:

1. ossia per valori interni all'intervallo di estremi ;

2. non è mai verificata;

3. non è mai verificata;

Svolgere per esercizio uno schema analogo al caso precedente.

RISOLUZIONE GRAFICA DI UNA DISEQUAZIONE DI II GRADO

Ricordando che:

i.tutti i punti della parabola di equazione y=ax²+bx+c  hanno coordinate della forma (x;ax²+bx+c): le loro ordinate, infatti, si ottengono sostituendo alla variabile x i valori numerici scelti per le ascisse;

ii.quando si risolve una disequazione di II grado quale ax²+bx+c>0 si cercano quei valori reali che, sostituiti alla variabile x nell'espressione a primo membro, danno un risultato positivo;

si deduce che per risolvere una disequazione di II grado del tipo ax²+bx+c>0 (o ax²+bx+c<0) è possibile procedere graficamente nel modo seguente:

disegnando la parabola grafico dell'equazione y=ax²+bx+c,

individuando tutti quei valori di ascissa dei punti della parabola che hanno ordinata positiva (o negativa).

Le situazioni che si possono presentare sono le seguenti:  

            

      

 

dove con x₁ e x₂ sono stati indicati i valori delle ascisse dei punti (eventualmente coincidenti) in cui la parabola interseca l'asse x, detti anche ZERI della funzione quadratica.

I diversi casi dipendono dai seguenti elementi:

il segno del coefficiente a, che determina se la parabola associata alla disequazione rivolge la concavità verso l'alto (a>0) o verso il basso (a<0);

il segno del discriminante Δ che determina se il trinomio ha due zeri reali e distinti (Δ>0), due zeri reali coincidenti (Δ =0) oppure nessuno zero reale (Δ<0);

il simbolo di disuguaglianza > o < che determina quali punti della parabola si devono prendere in considerazione per individuare le soluzioni: quelli con ordinata positiva se compare il simbolo >, quelli con ordinata negativa se compare il simbolo <.

Considerando il caso a>0, sono qui di seguito rappresentate tutte le situazioni possibili: