Il teorema della decrescenza rispetto alla scadenza

A) si acquista in t un TCN unitario con scadenza s’

B) si vende allo scoperto in t un TCN unitario con scadenza s’’

C) si acquista in s’ un TCN unitario con scadenza s’’.

Illustriamo gli effetti di questa strategia in una tabella di payoff

v(t,s’’) – v(t,s’) ≥0 1-v(s’,s’’) >0

Come si vede dall’ultima riga della tabella, la composizione delle tre transazioni conduce alla costruzione di un flusso di pagamenti non nullo e privo di poste negative, quindi ad un arbitraggio.

Il teorema dell’indipendenza dall’importo: definizione e formalizzazione

In un mercato perfetto nel quale cioè non c’è arbitraggio e nota v(t,s), facciamo riferimento a TCN con valore facciale non unitario che garantiscono cioè alla scadenza s il pagamento di un importo monetario di ammontare generico x_s nell’istante di valutazione t ≤ s.

Indichiamo con V(t x_s) il prezzo in t di questo titolo,

v(t,x_s)____________‌‌x_s

t s

se supponiamo che sul mercato siano trattati in t i TCN unitari con scadenza in s, per l’ipotesi di infinita divisibilità è possibile costruire un portafoglio contenente una quantità x_s di tali titoli.

Dato che il prezzo di ogni TCN unitario è v(t,s), per l’ipotesi che gli agenti sono price taker, il costo di acquisizione dell’intero portafoglio è dato da x_sv(t,s). Vale il teorema dell’indipendenza di v(t s) dall’importo x_s secondo cui per evitare arbitraggi non rischiosi deve sussistere:

W(t x_s) = x_sv(t,s)

Dimostrazione procediamo per assurdo e supponiamo che valga, ad esempio, la disuguaglianza W(t,x_s) > x_sv(t,s). E’ allora possibile effettuare un arbitraggio adottando la seguente strategia:

(A) acquistare in t un titolo con valore facciale x_s

(B) vendere allo scoperto in t x_s TCN unitari con scadenza s.

Illustriamo gli effetti di questa strategia in una tabella di payoff

x_sv - W >0

La strategia garantisce un profitto in t dato dalla differenza positiva di prezzo x_sv(t,s) - W(t,s), e la chiusura della posizione scoperta in s. ciò dimostra che la disuguaglianza accettata per assurdo viola il principio di arbitraggio.

Il teorema della linearità del prezzo: definizione e formalizzazione

Considerando portafogli di titoli elementari, composti cioè da TCN unitari con date di scadenza diverse, è possibile ricavare relazioni di arbitraggio per titoli obbligazionari complessi. Più precisamente consideriamo il titolo che garantisce il flusso di pagamenti x = , non tutti nulli, alla data t = ; indicheremo con W(t,x), con t≤t_1, il prezzo di questo titolo in t. Supponendo che sul mercato siano trattati in t gli m TCN unitari che scadono sulle date di t, per l’infinita divisibilità dei titoli è sempre possibili costruire un portafoglio contenente x_k unità del TCN unitario con scadenza in t_k (k = 1,2, . ,m). il costo per la costruzione di questo portafoglio in t sarà dato da: ∑ x_k v(t,t_k)

Anche in questo caso, dato che il titolo complesso e il portafoglio garantiscono lo stesso flusso di pagamenti x/t, per il principio di arbitraggio deve aversi l’uguaglianza dei prezzi. Sussiste cioè il teorema della linearità del prezzo: per evitare arbitraggi non rischiosi deve essere

W(t x) = ∑ x_k v(t,t_k)

Dimostrazione Supponiamo che valga, ad esempio, la relazione W(t x) < ∑ x_k v(t,t_k). In questo caso la strategia che consente arbitraggio è:

(A) acquistare in t il titolo che garantisce il flusso x/t

(B_k) (k=1,2,...,m) vendita allo scoperto in t di x_k TCN unitari con scadenza t_k

La tabella payoff corrispondente ha la forma

∑x_kv_k – W> 0

Anche in questo caso si ricava il profitto ∑x_kv(t t_k) – W(t,x) al tempo t senza contrarre alcun impegno futuro. Si effettua quindi un arbitraggio.

Il teorema dei prezzi impliciti: definizione e formalizzazione

Un contratto a termine è una compravendita differita in cui due parti convengono, al tempo t, di scambiarsi ad una data futura T e ad un prezzo fissato, una determinata quantità di un bene. Nel nostro mercato il bene scambiato è costituito da titoli obbligazionari che alla data T dovranno avere vita non nulla e cioè dovranno avere data di scadenza successiva a T.

_____ _______ ______ ______1

t T s

quindi v(t,T,s), con t ≤ T ≤ s è definita come il valore in T pattuito in t di una lira pagabile in s. Tale prezzo sarà diverso, in generale, dal prezzo a pronti v(t,s) che il mercato potrà fissare in t per la consegna di una lira in s. Se sul mercato sono trattati in t i TCN unitari con scadenza in T ed s, la natura di contratto derivato è evidenziata dal teorema dei prezzi impliciti, secondo cui per evitare arbitraggi non rischiosi deve sussistere l’uguaglianza: 

v(t,T,s) =  ____________ con t≤T≤s

Dimostrazione Se fosse v(t s) > v(t,T) v(t,T,s) potremmo adottare la seguente strategia di mercato:

(A) vendita allo scoperto del TCN unitario con scadenza s

(B) acquisto a pronti di v(t,T,s) unitario del TCN unitario che scade in T

(C) acquisto a termine, per consegna in T, del TCN unitario con scadenza s

Come evidenzia la tabella payoff, ciò condurrebbe alla costruzione di un arbitraggio privo di rischio

v(t,s) -v(t,T) v(t,T,s)>0

Definizione e formalizzazione di un’operazione di arbitraggio

E’ definita manovra di arbitraggio procurarsi un profitto certo senza bisogno di impiegare capitale proprio; semplicemente sfruttando le disponibilità sul mercato di prodotti complementari e/o alternativi, i cui prezzi non costituiscono un sistema “coerente” cioè che non avvenga per esempio v(t,s) = v(t,T,s) v(t,T).

Consideriamo un operazione finanziaria x/t, di importi x= non tutti nulli, esigibili sullo scadenziario t= essendo t l’istante corrente e, come al solito, t≤t₁≤ . ≤t_m. diremo che x/t è un arbitraggio non rischioso se il flusso x non contiene pagamenti di segno opposto. Si tratta quindi di una transazione che garantisce ad una delle due parti contraenti un flusso di pagamenti certamente non negativi, con almeno un pagamento strettamente positivo. Si incassa almeno una volta senza pagare mai.

Il teorema di Fisher e Weil

Supponiamo che al tempo t=0 un operatore finanziario preveda di dover pagare ad un’epoca futura H la somma L. Per garantirsi la sicurezza di poter effettuare il pagamento, acquista una sufficiente quantità di titoli di flusso di importi x = con scadenze t = tali che con i relativi rendimenti uguagli almeno, al tempo H, il valore L.

Per calcolare il valore di x in H bisogna conoscere la struttura dei tassi di interesse futura, allora dovrà accadere che W(H,x) = L, oppure facendo i calcoli in t=0 che W(0,x) = W(0,L). Nel caso la struttura dei tassi vari, sarà W(0⁺ x) ≥ W(0⁺,L) se D(0,x) = H.

Teorema: nota l’intensità d’interesse δ(s) osservata al tempo t=0, sia L un importo da pagare al tempo H>0 e sia x = un flusso di importi con scadenza t = tale che W(0,x) = W(0,L). Se la struttura δ(s) varia successivamente, cioè in t=0⁺, di un valore y (aleatorio), shift additivo, allora sarà W(0⁺,x) = W(0⁺,L) se la duration di x coincide con H: D(0,L) = H.

Si dice pertanto che il flusso x (o portafoglio) è immunizzato se:

noti δ(s), e ipotizzando che :

W(0 x) = W(0,L)

D(0 H) = H

Allora W(0⁺ x) ≥ W(0⁺,L)

Il teorema di Redington: definizione e formalizzazione

Consideriamo il problema di una copertura di un flusso di impegni scadenzati nel tempo; più in particolare consideriamo due flussi x = ed y = rispettivamente di entrate e di uscite sullo scadenziario t = . Vogliamo garantire l’immunizzazione del portafoglio da shift additivi della struttura dei rendimenti.

Sia data l’intensità istantanea d’interesse δ(t,s) corrispondente alla struttura a termine osservata al tempo t e siano x e y due flusso ad elementi non negativi con scadenze e valori uguali al tempo t = quindi:

1) W(t x) = W(t,y).

Se la durata media finanziaria di x è uguale alla durata media finanziaria di y e se il momento di second’ordine di x è non minore del momento di second’ordine di y, ovvero:

2) D(t,x) = D(t,y)

3) D²(t,x) ≥ D²(t,y)

allora W(t⁺,x,) ≥ W(t⁺,y), cioè se la curva dei rendimenti subisce nell’istante t⁺ successivo a t uno shift additivo di ampiezza aleatoria infinitesima, allora il valore post-shift del flusso x sarà non minore del valore post-shift di y.

Il criterio del REA: definizione e formalizzazione

Data un’operazione finanziaria di flusso di cassa x = con scadenza t = , in una struttura piatta dei rendimenti e in capitalizzazione composta, si definisce REA la somma dei valori attuali all’epoca t iniziale, che indichiamo con G(i) cioè il guadagno, quindi in caso di investimento semplice:

per cui per ogni valore di i si ottiene un guadagno.

G(i) è una funzione decrescente della i ed è convessa, infatti:

G(i) = - x₁(1+i)^-2 – 2x₂(i+i)^-3 - . . < 0

G(i) = + x₁(1+i)^-3 – 2x₂(i+i)^-4 - . . > 0

lim G(i) = -x₀ ; lim G(i) = +∞

G(0) = -x₀ + x₁ + x₂ + . .x_m

Il criterio del TIR: definizione e formalizzazione

Consideriamo la funzione della variabile i: G(i) = x₀ + ∑x_k (1+i)^-tk

Essa rappresenta, in funzione della i, il valore attuale, all’istante iniziale dell’operazione, del flusso di cassa da essa determinato (ovvero il REA dell’operazione) calcolato in base a tasso i.

Allora: se esiste un valore di i maggiore di -1 per il quale tale REA risulta nullo, e questo è valore è unico, allora esso viene detto tasso interno di rendimento o TIR dell’operazione.

(in un investimento semplice)

Se nell’operazione finanziaria le poste x_k soddisfano le condizioni:

x₀ < 0

x_k > 0 con k>0 (Condizioni di Norstrom)

x₁+ x₂ + x₃+ . .-x₀ > 0

allora l’operazione finanziaria possiede un tir positivo.   

La valutazione del debito residuo nell’ammortamento dei prestiti

Il valore del debito residuo nell’ammortamento dei prestiti con rate costanti e in una struttura piatta dei rendimenti è:

D(k) = R a _n-k i

oppure

D(k) = C_k+1 + C_k+2 + C_k+3 + . . . C_k+m

Nel caso in cui le rate siano variabili e la struttura dei rendimenti non sia piatta, il valore del debito residuo è:

D(k) = R_k+1[1+i(k,k+1)]^-1 + R_k+2[1+i(k,k+2)]^-2 + . . . . + R_k+m[1+i(k,k+m)]^-k

oppure

D(k) = C_k+1 + C_k+2 + C_k+3 + . . . C_k+m

La valutazione dei prestiti indivisi in un’epoca successiva alla data di stipula

Il valore del prestito in corso di ammortamento al tasso i’ di valutazione con rate costanti R e in una struttura piatta dei rendimenti è:

W(k) = R a _n-k i’

Nel caso in cui le rate non siano costanti e la struttura dei rendimenti non sia piatta, il valore del prestito sarà:

W_k = R_k+1[1+i(k,k+1)]^-1 + R_k+2[1+i(k,k+2)]^-2 + . . . .

Inoltre:

N_k = C_k+1[1+i(k,k+1)]^-1 + C_k+2[1+i(k,k+2)]^-2 + . . . . + C_k+m[1+i(k,k+m)]^-k

e

U_k = I_k+1[1+i(k,k+1)]^-1 + I_k+2[1+i(k,k+2)]^-2 + . . . . .+ I_k+m[1+i(k,k+m)]^-k

Quindi W_k = N_k + U_k

Il reddito totale di periodo: definizione e formalizzazione

Nota la struttura dei rendimenti, si consideri un flusso finanziario x= con scadenza t= . In ogni istante H successivo a t, e non successivo a t_m, il reddito totale prodotto dal flusso x sarà composto degli importi riscossi, dal reddito generato dal loro reinvestimento (fino ad H) e dal valore attuale (in H) del flusso residuo (valore di smobilizzo).

Il reddito totale prodotto da x nell’intervallo di tempo da t ad H, nota v(t,s), sarà quindi dato da:

R(H x) = ∑ _________ + ∑ x_k v(H,t_k) oppure R(H,x) = W(t,x) _______

Rendimento periodale

Dato il reddito totale prodotto da x nel periodo da t ad H, si definisce rendimento periodale la variazione percentuale di reddito [R(H,x) – W(t,x)] = R(H,x) - 1

Rendimento (interesse) di un’unità di capitale investita in t e disinvestita in H.

Rendimento periodale su base unitaria

Quindi il rendimento periodale equivalente, su base unitaria (annua, semestrale,ecc . ), sarà dato da:

W(t,x) (1+i)^H-t = R(H,x) (1+i)^H-t = _______ i = [______]^1/H-t -1

Rendimento di 1€ in ogni unità di tempo.

Che cos’è v(t s)

V(t s) è una legge di attualizzazione o di sconto le cui proprietà si ricavano dal reciproco di r(t,s):

v(t,s) > 0

v(t,s) è decrescente al crescere di s, fisso t

v(t,s) < 1

Queste proprietà si dimostrano per assurdo in un mercato perfetto.

v(t,s) è anche il prezzo a pronti di un TCN unitario

Indici o indicatori temporali

t_m = scadenza

t_m - t = durata

t = ______________ durata media aritmetica

Duration, che si può esprimere o in funzione dei prezzi a pronti

o in funzione dei tassi a pronti

o in funzione dell’intensità istantanea d’interesse

Proprietà della duration:

una durata e non una scadenza

intermedia tra t₁ (epoca iniziale) e t_m (scadenza)

per un TCN, la duration coincide con la scadenza

Indici o indicatori di variabilità