Positività

Intersezioni assi

Ricerca dell'asintoto orizzontale (A.O.)

Ricerca dell'asintoto obliquo (A.OB.)

Massimi e minimi

Disegno della funzione

RICERCA DEL CAMPO DI ESISTENZA (CE)

Campo di esistenza, dominio = Sono tutti quei valori che posso attribuire alla X affinché esista la Y.

Si possono trovare diversi CE a seconda del tipo di funzione in esame:

1- POLINOMIO    y = P (x) CE = ( -

2- RAPPORTO DI POLINOMI y = P (x) CE = pongo Q (x) 0 ; il CE sarà

Q (x) ( - ) con Q (x)

n

3- RADICE Y = f (x) se n è dispari : il CE sarà ( -

se n è pari : pongo f (x)

4- LOGARITMO y = lg [ f (x) ] CE = pongo f (x) > 0

f (x)

5- ESPONENZIALE y = e CE = ( -

Dopo aver trovato il CE si procede a tracciare l'asse x e l'asse y sul grafico, per essere poi in grado di disegnare la funzione.

Prima di procedere con lo studio di funzione è opportuno dare la definizione di ASINTOTO:

"L'asintoto è una retta alla quale la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla; si dice anche che la distanza tra la funzione e l'asintoto tende a zero senza mai diventare zero"

RICERCA DEGLI ASINTOTI VERTICALI (AV)

ASINTOTI VERTICALI: sono tutti quei valori che annullano il denominatore nelle funzioni razionali ed irrazionali fratte. Essi hanno equazione y = C e la loro caratteristica principale è che non possono mai essere attraversati dalla funzione.

Nelle funzioni logaritmiche si annulla anche il numeratore.

Essi sono paralleli all'asse Y ed hanno equazione generica: x = k

L'asintoto verticale ha una sua verifica che è la seguente:

sia "c" il valore che annulla il denominatore si deve verificare che

lim f (x) = +

x c

es. y = x²+1 x-3 0 x = 3 A.V.

x -3

Verifica:

lim x²+1 = 9+1 = 10 = SI X = 3 A.V.

x x-3 3-3 0

Dopo aver trovato gli AV, si procede a disegnarli nel grafico.

POSITIVITA'

Il calcolo della positività permette di andare a vedere dove la funzione, laddove esiste, si snoda.

Si ottiene ponendo:  y = f (x) > 0

Nel caso della funzione logaritmica, si dice che f (x) > 0 quando lg >1 , e quindi si farà:

lg [ f (x) ] > 0 f (x) > 1

La funzione che presenta una radice (con "n" pari) è sempre positiva, per cui nel calcolo della positività bisognerà scrivere: laddove esiste è sempre positiva; nel caso di "n" dispari risulta come se la radice non esistesse.

Nella funzione esponenziale dopo aver posto il tutto > 0 se ne verifica che il risultato è "sempre".

Dopo i calcoli relativi alla positività, si elimina nel grafico la parte in cui la funzione non esiste.

INTERSEZIONI ASSI

Le intersezioni assi si trovano impostando un sistema a due variabili x e y.

Intersezione asse x sono tutti quei valori che annullano il numeratore nelle funzioni razionali ed irrazionali fratte. In questo modo si indica il punto in cui la funzione interseca l'asse x.

Ci sono, però, delle eccezioni:

LOGARITMICA: si pone l'argomento del logaritmo = 1

lg [ f (x) ] = 0 f (x) = 1

ESPONENZIALE: poiché non è mai = 0 , non presenta intersezioni con l'asse x.

INTERSEZIONE ASSE Y: si pone la variabile x della funzione = 0 e si ottiene il punto in cui la funzione interseca l'asse y.

Dopo aver calcolato le intersezioni assi, si procede ad evidenziarle nel grafico.

RICERCA DELL'ASINTOTO ORIZZONTALE (AO)

Si trova facendo: lim f (x)

x

Il risultato deve essere un numero; se il risultato è si procede al calcolo dell'AOB.

Essi sono paralleli all'asse X ed hanno equazione generica: y = k.

Al contrario dell'AV, l'asintoto orizzontale può essere attraversato dalla funzione.

Se trovo l'AO, sicuramente non esiste l'AOB; viceversa, se non trovo l'AO devo cercare l'AOB che potrebbe anche non esserci.

RICERCA DELL'ASINTOTO OBLIQUO (AOB)

Sono una retta qualsiasi che ha equazione generica Y = mx + q. Per determinarla devo trovare sia M sia Q:

m: lim f (x)

x

x

q:    lim f (x) - mx

x ∞

Il 1° limite deve essere 0 e . Il 2° limite deve essere

Se non sussistono queste condizioni, significa che non esiste l'asintoto obliquo.

MASSIMI E MINIMI

I massimi e i minimi si ricavano calcolando la derivata prima della funzione ( y¹).

Successivamente si pone y¹ = 0 e in questo modo si trovano dei punti, che possono essere di massimo, di minimo o di flesso a tangente orizzontale.

Per identificarli, si pone: y¹ > 0 e così posso sapere se sono punti di max o di min.

I punti di max e di min possono essere anche definiti come: "punto più alto e punto più basso della funzione".

DISEGNO DELLA FUNZIONE

Dopo aver concluso tutti i passaggi, si può procedere al disegno finale della funzione sul grafico.

Dato l'argomento su "Lo studio di funzione", è opportuno almeno accennare ad alcuni punti che sono stati essenziali all'interno del percorso sopracitato e che non sono stati sviluppati in modo sufficientemente conoscitivo.

LIMITI e FORME DI INDETERMINAZIONE

Il limite è sempre unico ed ogni categoria ha una sua definizione. Essi si dicono immediati quando si trova subito il risultato; se se ne ricava un valore numerico, oppure infinito il limite è praticamente risolto.

Se sostituendo il valore a cui tende X nella funzione ottengo: 0/0 + 0 x il limite non è risolto e siamo di fronte alle principali cosiddette "forme di indeterminazione". Per poter "eliminare" queste f.i. e quindi risolvere il limite si devono applicare alcuni metodi.

Se la f.i. è 0/0 si deve usare la SCOMPOSIZIONE.

ES. lim x²-1 = 1-1 = 0 = f.i. scompongo

x x -1 1-1 0

(x-1)(x+1) = x+1 =1+1 = 2

x-1

Se la f.i. è si devono osservare i gradi della massima potenza della "X" sia al numeratore che al denominatore.

Se P > Q =

Se P < Q = 0

Se P = Q = K = Rapporto coefficienti massima potenza

ES. lim x³-2x+1 = = f.i. = grado = (perché grado P > grado Q)

x 3x²-1

ES. lim 3x²-1 = = f.i. = grado = 0 (perché grado P < grado Q)

x x³-2x+1

ES. lim 3x²-1 = = f.i. = grado = 3 (perché grado P = grado Q)

x 5x²-2x+1 5

Se la f.i. è + si deve usare la razionalizzazione.

ES. lim x²+2 - x²-1 = +

x

= x²+2 - x²-1 . x²+2 + x²-1 =

x²+2 + x²-1

x²+2-(x²-1) = x²+2-x²+1 = 3 = 0

x²+2 + x²-1   x²+2 + x²-1

Un altro metodo alquanto significativo per poter risolvere i limiti è l'applicazione del

teorema di DE L'HOSPITAL (Parigi 1661-1704).

Si applica immediatamente se la forma di indeterminazione si presenta sotto forma di 0/0 oppure e la considerazione delle derivate è molto utile per calcolarli.

ES. 

lim 2x²-5x+1 = = 4x-5 = = 4 = 2

x 3x²+1 6x 6 3

lim lg (x+1) = lg = = = = = 1

x x 0 0 x+1 0

DERIVATE

Sono una tecnica di calcolo particolare che trova molte applicazioni sia in matematica che in fisica.

Per applicare la derivazione ad una funzione si devono conoscere una serie di regole e di formule. Esse hanno due definizioni: una prettamente teorica, una dal punto di vista geometrico.

DEFINIZIONE TEORICA: la derivata è il limite per "H" che tende a "0" del rapporto incrementale, dove "H" è l'incremento che do alla variabile "X", mentre il rapporto incrementale è il quoziente fra due cateti del triangolo rettangolo PQR.

Rapporto incrementale: QR = f(x +h) - f(x ) * (h = incremento)

PR h*

DEFINIZIONE GEOMETRICA: la derivata dal punto di vista geometrico rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in un determinato punto.

Nello studio di funzione la derivata si usa per cercare i punti di massimo o di minimo o di flesso* che sono punti particolari della funzione.

* (Flesso = è un punto in cui la funzione cambia la sua concavità).

Per la funzione parabola ad esempio il vertice rappresenta un punto o di massimo o di minimo.

Lim f(x +h) - f(x ) = Derivata y'

h o    h

Quando "h" tende a "0" significa che il punto "Q" tende al punto "P", significa che la secante diventa una tangente ed allora il coefficiente angolare di questa tangente è la derivata della funzione calcolata nel punto "P".