TEOREMI DEL TRIANGOLO ISOSCELE

matematica

TEOREMI DEL TRIANGOLO ISOSCELE

TEOREMA "un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali"

IPOTESI è dato un triangolo ABC del quale sappiamo che i lati AB e AC sono uguali.

TESI dobbiamo dimostrare che i suoi angoli alla base ACB ed ABC, opp 858i82i osti ad AB e ad AC, sono essi pure uguali.

DIMOSTRAZIONE sui prolungamenti dei lati AB ed AC prendiamo due segmenti uguali BD=CE ed unendo B con E e C con D consideriamo i triangoli ACD ed ABE. Essi hanno:   

AC=AB per ipotesi (lati uguali di un triangolo isoscele)

AD=AE perché somma di segmenti uguali

ANGOLO DAC=EAB in comune

Quindi saranno uguali per il primo criterio d'uguaglianza, e quindi saranno uguali anche i lati DC=EB. Poiché a lati uguali stanno opposti angoli uguali, ne segue ADC=AEB.

A questo punto consideriamo i triangoli DBC ed ECB. Anch'essi sono uguali per il primo criterio d'uguaglianza, in quanto hanno:

BD=CE per costruzione

DC=EB perché ora dimostrato

BDC=CEB perché ora dimostrato

Quindi risultano uguali anche gli angoli DBC ed ECB, che stanno opposti ai lati uguali DC ed EB.

A questo punto osserviamo che questi ultimi due angoli formano angoli piatti con ciascuno degli angoli alla base del triangolo isoscele. Perciò possiamo concludere affermando che gli angoli alla base del triangolo isoscele sono uguali tra loro, in quanto supplementari di angoli uguali.

2 (inverso del n° 1)

TEOREMA "un triangolo che ha due angoli uguali ha pure uguali i lati opposti a questi, per cui esso è isoscele"

IPOTESI è dato un triangolo ABC del quale sappiamo che gli angoli in B ed in C sono uguali.

TESI Vogliamo dimostrare che i lati AC ed AB, ad essi opposti, sono anche loro uguali.

DIMOSTRAZIONE sui prolungamenti dei lati AB ed AC consideriamo i segmenti uguali BD e CE. Congiungendo B con E e C con D, consideriamo i triangoli DBC ed ECB che saranno uguali per il primo criterio d'uguaglianza, in quanto hanno:

BC --- in comune

BD=CE per costruzione

DBC=BCE perché adiacenti agli angoli uguali ABC ed ACB

Dall'uguaglianza di tali triangoli discende che:

ADC=AEB DC=BE BCD=CBE

Sommando a membro a membro l'uguaglianza BCD=CBE con l'uguaglianza, nota per ipotesi, ACB=ABC, otteniamo ACD=ABE.

A questo punto consideriamo i triangoli ACD ed ABE, che saranno uguali per il secondo criterio d'uguaglianza, avendo uguali due angoli ed il lato tra essi compreso, cioè:

ACD=ABE ADC=AEB DC=BE

Ne consegue l'uguaglianza dei lati AC ed AB che stanno opposti ai due angoli uguali in D ed in E.