Scomposizioni di polinomi

matematica

Scomposizioni di polinomi

Quadrato di binomio

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

ES: (2a + 3b)² = (2a)² + 2(2a)(3b) + (3b)² = 4a² + 12ab + 9b²

(3x - 2y)² = (3x)² - 2(3x) (- 2y) + (- 2y)² = 9x² - 12xy + 4y²

Quadrato di polinomio

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2 bc

ES: (x - 2y + 3z)²= x² + (-2y)² + (3z)² + 2 x(-2y) + 2 x 3z + 2(-2y) (3z) =

x² +4y² + 9z² - 4xy + 6xy - 12yz

Cubo di binomio

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

ES: (2a + b²)³= (2a)³ + 3(2a)²b² + 3(2a)(b²)² + (b²)³= 8a³ + 12a²b² + 6ab⁴ + b⁶

Raccoglimento a fattor comune

ab + ac = a (b + c)

ES: 2x² + 6xy= 2(x² + 3xy)

Raccoglimento parziale

Ax + bx + ay + by = x(a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)

ES: 6x² - 2x + 3xy - y = 2x(3x - 1) + y(3x-1) = (3x - 1) (2x - y)

Differenza di quadrati

a² - b² = (a + b) (a - b)

ES: 25x² - 9y² = (5x)² - (3y)² = (5x + 3y) (5x - 3y)

Somma di cubi

A³ + b³ =(a + b) (a² - ab + b²)

ES: 8a³ + 27b³ = (2a)³ + (3b)³ = (2a + 3b) [(2a)² - (2a) (3b) + (3b)²]

Differenza di cubi

A³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

ES: a⁶ -b⁶ = (a²)³ - (b²)³ = (a² - b²)³ (a⁴ + a²b² + b⁴) = (a - b) (a + b) (a⁴ + a²b² + b⁴)

Trinomio particolare

x² + Sx + P = (x - x₁) (x - x₂)  dove S = x₁ + x₂ e P = x₁ x₂

ES: x² + 5x + 6 S = 5; P = 6

x₁ = 3; x₂ = 2

x² + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Teorema del resto applicato alla regola di Ruffini

P(x) è divisibile per x - a se e solo se il resto è nullo e quindi P(a) = 0

ES: (2x² - x - 1) : (x - 1)

P = ± 1

P(1) = 2 1 - 1 -1 = 0

Q(x)= (2x + 1) (x - 1)

Fabrizio Maggi