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Scomposizioni di polinomi

matematica




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Scomposizioni di polinomi



Quadrato di binomio


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2


(a - b)2 = a2 - 2ab + b2


ES: (2a + 3b)2 = (2a)2 + 2(2a)(3b) + (3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2

(3x - 2y)2 = (3x)2 - 2(3x) (- 2y) + (- 2y)2 = 9x2 - 12xy + 4y2



Quadrato di polinomio


(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2 bc


ES: (x - 2y + 3z)2= x2 + (-2y)2 + (3z)2 + 2 x(-2y) + 2 x 3z + 2(-2y) (3z) =

x2 +4y2 + 9z2 - 4xy + 6xy - 12yz



Cubo di binomio


(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


ES: (2a + b2)3= (2a)3 + 3(2a)2b2 + 3(2a)(b2)2 + (b2)3= 8a3 + 12a2b2 + 6ab4 + b6


Raccoglimento a fattor comune


ab + ac = a (b + c)


ES: 2x2 + 6xy= 2(x2 + 3xy)









Raccoglimento parziale


Ax + bx + ay + by = x(a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)


ES: 6x2 - 2x + 3xy - y = 2x(3x - 1) + y(3x-1) = (3x - 1) (2x - y)



Differenza di quadrati


a2 - b2 = (a + b) (a - b)


ES: 25x2 - 9y2 = (5x)2 - (3y)2 = (5x + 3y) (5x - 3y)


Somma di cubi


A3 + b3 =(a + b) (a2 - ab + b2)


ES: 8a3 + 27b3 = (2a)3 + (3b)3 = (2a + 3b) [(2a)2 - (2a) (3b) + (3b)2]


Differenza di cubi


A3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)


ES: a6 -b6 = (a2)3 - (b2)3 = (a2 - b2)3 (a4 + a2b2 + b4) = (a - b) (a + b) (a4 + a2b2 + b4)


Trinomio particolare


x2 + Sx + P = (x - x1) (x - x2) dove S = x1 + x2 e P = x1 x2


ES: x2 + 5x + 6 S = 5; P = 6


x1 = 3; x2 = 2


x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)



Teorema del resto applicato alla regola di Ruffini


P(x) divisibile per x - a se e solo se il resto nullo e quindi P(a) = 0



ES: (2x2 - x - 1) : (x - 1)


P = 1


P(1) = 2 1 - 1 -1 = 0




Q(x)= (2x + 1) (x - 1)




Fabrizio Maggi






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