EQUAZIONE ELLISSE

matematica

EQUAZIONE ELLISSE

Per trovare l'equazione dell'ellisse consideriamone la definizione: prendiamo un punto generico P(x,y) ed imponiamo che la somma delle distanze di P dai due punti fissi F₁(c,0) ed F₂(-c,0) sia uguale a 2a

Chiamiamo le coordinate orizzontali di F con +c e -c, questo perche' sviluppan 818g63i do l'equazione avremo bisogno di un'altra lettera (che chiameremo b) e questa comparira' nell'equazione finale; in questo modo nell'equazione finale avremo le prime due lettere dell'alfabeto: a, b

PF₁ + PF₂ = 2a
Applico la formula della distanza fra due punti nel piano ed ottengo
[(x-c)² + y²] + [(x+c)² + y²] = 2a    
E' un' equazione irrazionale quindi isolo una radice
se lasci prima dell'uguale il radicale con il termine x+c alla fine non dovrai cambiare di segno, altrimenti dovrai cambiare di segno [(x+c)² + y²] = 2a - [(x-c)² + y²]
elevo al quadrato da entrambe le parti dell'uguale   
x² + 2cx + c² + y² = 4a² - 4a[(x-c)² + y²] + x² - 2cx + c² + y²
Sommo i termini simili e isolo la radice prima dell'uguale    
4a[(x-c)² + y²] = 4a² - 4cx
Divido tutti i termini per 4
a[(x-c)² + y²] = a² - cx
Elevo a quadrato da entrambe le parti     a²[x² - 2cx + c² + y²] = a⁴ - 2a²cx +c²x² a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²= a⁴ - 2a²cx +c²x²
Termini con la x e la y prima dell'uguale, gli altri dopo l'uguale
a²x² - 2a²cx + a²y² + 2a²cx - c²x²= a⁴ - a²c²
tolgo i due termini uguali e di segno opposto
a²x² + a²y² - c²x²= a⁴ - a²c²
metto in evidenza la x² prima dell'uguale ed a² dopo l'uguale
x²(a² - c²) + a²y² = a²(a² - c²)
ora pongo a² - c² = b²    posso farlo perche' a > c
b²x² + a²y² = a²b²
divido tutti i termini per a²b²

Semplifico ed ottengo l'equazione canonica dell'ellisse