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INTEGRALI - FORMULE

matematica


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INTEGRALI


INTEGRALI


Calcoliamo integrali solo relativamente a un D costituito da un intervallo, una semiretta oppure tutto R (senza buchi). Il simbolo:



f (x) dx



rappresenta l'integrale indefinito di f (x) ossia l'insieme di tutte le funzioni la cui derivata f (x) che si dicono le sue primitive.




F (x) primitiva di f (x) se e solo se F' (x) = f (x)


Se l'intervallo [a , b] tutto 636d39g contenuto in D, il simbolo:


b

f (x) dx

a


rappresenta l'integrale definito di f (x) in [a , b] ossia la somma algebrica delle aree delle parti di piano comprese tra l'asse x, il grafico di f (x) e le rette verticali x = a e x = b; prendiamo con segno positivo le aree che si trovano al di sopra dell'asse x e con segno negativo quelle che si trovano al disotto.



Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice:


b

f (x) dx = F (b) - F (a)

a


dove F (x) una qualsiasi primitiva di f (x).

Per calcolare l'area sottesa del grafico della funzione f (x) in [a , b] (considerando cio con segno positivo anche le aree delle parti del piano al disotto dell'asse x), necessario individuare i punti in cui f (x) si annulla, calcolare l'integrale separatamente su ciascun pezzo di [a , b] in cui f (x) ha segno costante, e infine sommare i loro valori assoluti (ossia cambiando segno all'integrale quando f (x) negativa).




FORMULE


Nel seguito a , b sono n fissati, c una costante che pu assumere qualsiasi valore, f (x), g (x) sono funzioni e F (x), G (x) sono loro primitive, ossia F' (x) = f (x), G' (x) = g (x).




RIEPILOGO DELLE PRINCIPALI FORMULE SUGLI INTEGRALI:


Integrazione di somme e di prodotti per costanti:


(a f (x) + bg (x)) dx = a f (x) dx + b g (x) dx



Integrazione per sostituzione:


f (g (x)) g' (x) dx = F (g (x)) + c



Integrazione per parti:


f (x) G (x) dx = F (x) G (x) - F (x) g (x) dx





Esempio 1: Casi importanti relativi alla formula 2.


f (ax + b) dx = 1/a F (ax + b) + c






f (x) f '(x) dx = (f (x))2 + c




Esempio 2: Casi importanti relativi alla formula 3.


Se n un n intero positivo e f (x) una delle funzioni ex cos (x) sin (x) allora:


f (x) xn dx = F (x) 2 xn - F (x) nxn-1 dx


permette di trasformare l'integrale iniziale in uno pi semplice.


Per ogni esponente α Є R (α ≠ -1) si ha:


xα + 1 xα xα + 1 xα + 1

xα ln (x) dx = ln (x) - dx = ln (x) - + c

α + 1 α + 1 (α + 1)2

xα + 1 1

ponendo f (x) = x e G (x) = ln (x) e F(x) g (x) =

x






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