INTEGRALI - FORMULE

F (x) è primitiva di f (x) se e solo se F' (x) = f (x)

Se l'intervallo [a , b] è tutto 636d39g contenuto in D, il simbolo:

b

f (x) dx

a

rappresenta l'integrale definito di f (x) in [a , b] ossia la somma algebrica delle aree delle parti di piano comprese tra l'asse x, il grafico di f (x) e le rette verticali x = a e x = b; prendiamo con segno positivo le aree che si trovano al di sopra dell'asse x e con segno negativo quelle che si trovano al disotto.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice:

b

f (x) dx = F (b) - F (a)

a

dove F (x) è una qualsiasi primitiva di f (x).

Per calcolare l'area sottesa del grafico della funzione  f (x) in [a , b] (considerando cioè con segno positivo anche le aree delle parti del piano al disotto dell'asse x), è necessario individuare i punti in cui  f (x) si annulla, calcolare l'integrale separatamente su ciascun pezzo di [a , b] in cui f (x) ha segno costante, e infine sommare i loro valori assoluti (ossia cambiando segno all'integrale quando f (x) è negativa).

FORMULE

Nel seguito a , b sono n° fissati, c è una costante che può assumere qualsiasi valore, f (x), g (x) sono funzioni e F (x), G (x) sono loro primitive, ossia F' (x) = f (x), G' (x) = g (x).

RIEPILOGO DELLE PRINCIPALI FORMULE SUGLI INTEGRALI:

Integrazione di somme e di prodotti per costanti:

(a f (x) + bg (x)) dx = a f (x) dx + b  g (x) dx

Integrazione per sostituzione:

f (g (x)) g' (x) dx = F (g (x)) + c

Integrazione per parti:

f (x) G (x) dx = F (x) G (x) - F (x) g (x) dx

Esempio 1: Casi importanti relativi alla formula 2.

f (ax + b) dx = 1/a F (ax + b) + c

f (x) f '(x) dx = ½ (f  (x))² + c

Esempio 2: Casi importanti relativi alla formula 3.

Se n è un n° intero positivo e f (x) è una delle funzioni e^x cos (x) sin (x) allora:

f (x) xⁿ dx = F (x) ² xⁿ - F (x) nx^n-1 dx

permette di trasformare l'integrale iniziale in uno più semplice.

Per ogni esponente α Є R (α ≠ -1) si ha:

x^{α + 1}   x^α x^{α + 1} x^{α + 1}

x^α ln (x) dx = ln (x) - dx = ln (x) -   + c

α + 1 α + 1 (α + 1)²

x^{α + 1} 1

ponendo f (x) = x e G (x) = ln (x) e F(x) g (x) = 

x