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Combinazioni (KCn) - Universo bernulliano

matematica




Es. Abbiamo 10 libri. In quanti modi possiamo tirarne fuori 4, e in quanti modi possiamo ordinare i 4 elementi?

Disposizioni: modo di disporre in modo diverso tutti i possibili k elementi distinguibili in una collezione di n elementi.

Combinazioni (KCn)

Data una collezione di n elementi in quanti m 414e41e odi da questi n elementi posso tirare fuori k elementi che sono indistinguibili tra di loro, ma si distinguono dagli n-k elementi indistinguibili tra loro.

Es. Io ho 4 elementi indistinguibili a due a due (aa bb); in quanti modi posso disporli?

a,a,b,b;   a,b,a,b; b,a,a,b; a,b,b,a; b,b,a,a; b,a,b,a


KCn = n! Combinazione di n elementi a k a k

k! (n-k)!

Questa combinazione non č altro che il coefficiente binomiale di n su k:

KCn =(


Es. lancio 10 volte una moneta e escono 4 testa e 3 croci. In quanti modi possono uscire queste facce?

3 2

= 10 . 9 . 8 . 7 . 6! = 10 . 3 . 7 = 210

4 4! 6! 4! 6!


IMPORTANTE:

n = n = n! = 1 in quanto 0! č, per definizione, uguale a 1



0 n n! 0!


n = n = n! = n (n-1)! = n

1 n-1 1! (n-1)! 1! (n-1)!


ln a.b = ln a + ln b ln a/b = ln a - ln b


Universo bernulliano

Esiste un universo di variabili di uso frequente denominato universo bernulliano o dicotomico (da Nicola Bernulli, matematico del '600): universo in cui esistono solo due tipi di variabili mutuamente esclusive ed esaustive di un universo.

la probabilitā che un evento appartenga ad una famiglia di variabili č 1meno la probabilitā che un evento appartenga all'altra famiglia di varibili.

p (T) = p p (C) = q = 1-p


Ipotesi:

nulla H0 non č successo nulla di strano;

sostantiva H1 c'č qualcosa che discosta dalla norma:

monodirezionali: a 1 coda utilizzata per le hypothesis testing (test sull'ipotesi);

bidirezionale: a 2 code utilizzata per le hypothesis seeking (ricerca della ipotesi).

Es. lancio 10 volte la moneta ed esce 8 volte testa.

H0:   p=q la moneta non č truccata

H1:   p>q

p q č truccata, ma non so come.

Probabilitā di eventi congiunti e disgiunti


Qual'č la probabilitā che, estratte 3 carte da un mazzo, vi siano 2 cuori e 1 tre.


Qual'č la probabilitā che estratte 2 carte la loro somma faccia tre oppure ci sia un sette.


Qual'č la probabilitā che, tirate fuori 2 carte, 1 sia cuori oppure siano 2 assi.


Problemi di calcolo combinatorio


Dati 5 libri, di cui 2 indistinguibili, in quanti modi posso diosporli?

In quanti modi posso disporli se i 2 libri indistinguibili devono stare vicini?


In quanti modi posso disporli se il 1° libro a sinistra deve essere uno dei due indistinguibili?


Dati 10 studenti di cui 3 e 7 , in quanti modi posso tirarne fuori 3 di cui 1 e 2






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