Teorema (Rolle) Sia un intervallo limitato e una funzione derivabile con derivata continua

matematica

Teorema (Rolle) Sia un intervallo limitato e  una funzione derivabile con derivata continua. Se , allora esiste un punto  tale che . 

Questo teorema afferma che se si ha una funzione continua e derivabile (continua = 949e45j senza salti, derivabile =senza spigoli), allora deve esistere un punto  interno all'intervallo  tale che la sua tangente è orizzontale. Per farti un'idea basta che guardi la figura riportata sotto.

La generalizzazionefatta da Lagrange nasce dall'osservare che  avere un punto con derivata nulla all'interno dell'intervallo è conseguenza del fatto che la funzione ha la stessa altezza nei punti estremi e quindi ci si ritrova con un punto in cui la tangente è parallela alla congiungente dei due punti estremi. Se il valore della funzione in quei punti non è più uguale, invece di avere un punto in cui la tangente è orizzontale si avrà un punto in cui la tangente è parallela alla congiungente dei due punti estremi ossia un punto in cui la derivata vale

Teorema (Lagrange) Sia  un intervallo limitato e  una funzione derivabile con derivata continua. Allora esiste un punto  tale che

Dimostrazione

L'idea è di usare il teorema di Rolle definisco quindi una funzione , fatta in modo che sottratta alla mi dia una funzione  con estremi alla stessa altezza, non faccio altro che raddrizzare la  (vedere le due figure sopra).Come  prendo la retta che congiunge i due punti della funzione agli estremi dell'intervallo

e di conseguenza

Risulta immediato verificare che e quindi posso applicare il teorema di Rolle alla funzione  e ottengo che esiste un punto  tale che , ma essendo

trovo che per  la relazione precedente diventa

da cui si ottiene la tesi

c.v.d.

definizione di 
integrale indefinito

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo A

la funzione F(x) si dice primitiva della f(x)

se, per ogni x di A, F(X) è derivabile

e risulta

F'(x) = f(x)

Trovata una primitiva della funzione, tute le altre si ottengono aggiungendo una costante

ossia

F(x) + c

esprime, al variare di c, tutte le primitive di f(x).

L'insieme formato da tutte le primitive di f(x),

si chiama integrale indefinito della funzione f(x)

e si indica

La funzione f(x) si dice funzione integranda

dx indica la variabile rispetto alla quale si cerca la primitiva

Da quanto detto al punto 2 si ha

_{Da quanto detto al punto si ha}

_{Integrale definito}

_{Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo ]a b[}

_{F(x) una primitiva della f(x)}

_{si ha}

Questa formula è una conseguenza del teorema fondamentale del calcolo integrale (teorema di Torricelli

viene chiamata formula di Newton Leibnitz

Dal punto di vista operativo,

per calcolare l'integrale definito di una funzione f(x)

si deve determinare un integrale indefinito

e calcolare la differenza tra i valori che l'integrale assume

agli estremi dell'intervallo di integrazione