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La Proporzionalità

matematica


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La Proporzionalità


Prima di impostare il concetto di "grandezze proporzionali", bisogna conoscere la definizione di "grandezze omogenee".


Due grandezze si dicono omogenee se sono confrontabili (uguali, maggiori o minori) e sommabili.



Esempio:



Due o più segmenti sono omogenei perché

Confrontabili e sommabili.



Anche due 939f51j angoli lo sono.











Grandezze Proporzionali



Date 4 grandezze, A,B,C,D a due a due omogenee si dice che esse sono in proporzione se

A:B = C:D. (ricorda che: Il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi!)





Teorema del quarto proporzionale



Date 3 grandezze A,B,C omogenee esiste ed è unica la grandezza D tale che A:B = C:D.















Grandezze direttamente proporzionali



Due insiemi di grandezze si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra due grandezze nel primo insieme è uguale al rapporto delle corrispondenti grandezze nel secondo insieme.



Esempio:



Insieme 1:  Insieme 2:





Il primo quadrato è di lato uno, mentre il secondo di lato 3. Quindi, il perimetro del primo sarà 4 mentre del secondo 12.


Il rapporto sui lati, è di 1:3

Il rapporto sui perimetri è di 4:12 (1:3)  quindi: le due grandezze sono direttamente proporzionali.




Grandezze inversamente proporzionali



Due insiemi di grandezze si dicono inversamente proporzionali quando il rapporto tra 2 grandezze nel primo insieme è uguale al rapporto inverso delle corrispondenti grandezze nel secondo insieme.



Esempio:


Insieme 1:                                                                                                   Insieme 2:









Il Primo triangolo ha altezze 2 e base 3. Il secondo base 6 e altezza uno.


Il rapporto tra le basi: 3:6 (1:2)

Il rapporto tra le altezze: 2:1


Nota che: il rapporto delle basi è l'inverso delle altezze!







Criterio generale di proporzionalità diretta




Condizione Necessaria e Sufficiente (C.N.E.) affinché due insiemi di grandezze si dicano direttamente proporzionali è che si verifichino le seguenti proprietà:


A grandezze uguali nel primo insieme corrispondono grandezze uguali nel secondo insieme


A somme di grandezze nel primo insieme corrispondono le corrispondenti somme nel secondo insieme



Esempio:


Insieme 1:                                                                              Insieme 2:

A


C B



D




AB (arco) = CD (arco)     come AOB (angolo) = COD (angolo)


AB (arco) + BD (arco) = AD (arco)     come AOB (angolo) + BOD (angolo) = AOD (angolo)



Il criterio generale è soddisfatto poiché tutte e due le condizioni sono verificate.




Esempio 2: ( il criterio in questo caso non è soddisfatto)


Insieme 1:                                                                                                    Insieme 2:



A B






C D


AC (corda) = BD (corda)        come BD (arco) = AC (arco)


AC (corda) + CD (corda) =  AB (corda) ma AC (corda) + BD(corda) = ??






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