La Proporzionalità

Grandezze Proporzionali

Date 4 grandezze, A,B,C,D a due a due omogenee si dice che esse sono in proporzione se

A:B = C:D. (ricorda che: Il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi!)

Teorema del quarto proporzionale

Date 3 grandezze A,B,C omogenee esiste ed è unica la grandezza D tale che A:B = C:D.

Grandezze direttamente proporzionali

Due insiemi di grandezze si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra due grandezze nel primo insieme è uguale al rapporto delle corrispondenti grandezze nel secondo insieme.

Esempio:

Insieme 1:  Insieme 2:

Il primo quadrato è di lato uno, mentre il secondo di lato 3. Quindi, il perimetro del primo sarà 4 mentre del secondo 12.

Il rapporto sui lati, è di 1:3

Il rapporto sui perimetri è di 4:12 (1:3)  quindi: le due grandezze sono direttamente proporzionali.

Grandezze inversamente proporzionali

Due insiemi di grandezze si dicono inversamente proporzionali quando il rapporto tra 2 grandezze nel primo insieme è uguale al rapporto inverso delle corrispondenti grandezze nel secondo insieme.

Esempio:

Insieme 1:   Insieme 2:

Il Primo triangolo ha altezze 2 e base 3. Il secondo base 6 e altezza uno.

Il rapporto tra le basi: 3:6 (1:2)

Il rapporto tra le altezze: 2:1

Nota che: il rapporto delle basi è l'inverso delle altezze!

Criterio generale di proporzionalità diretta

Condizione Necessaria e Sufficiente (C.N.E.) affinché due insiemi di grandezze si dicano direttamente proporzionali è che si verifichino le seguenti proprietà:

A grandezze uguali nel primo insieme corrispondono grandezze uguali nel secondo insieme

A somme di grandezze nel primo insieme corrispondono le corrispondenti somme nel secondo insieme

Esempio:

Insieme 1: Insieme 2:

A

C B

D

AB (arco) = CD (arco) come AOB (angolo) = COD (angolo)

AB (arco) + BD (arco) = AD (arco) come AOB (angolo) + BOD (angolo) = AOD (angolo)

Il criterio generale è soddisfatto poiché tutte e due le condizioni sono verificate.

Esempio 2: ( il criterio in questo caso non è soddisfatto)

Insieme 1:    Insieme 2:

A B

C D

AC (corda) = BD (corda)    come BD (arco) = AC (arco)

AC (corda) + CD (corda) =  AB (corda) ma AC (corda) + BD(corda) = ??