ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA - Valutazioni di rendite - Ammortamenti

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	DIRITTO				ECONOMIA SCIENZE DELLE FINANZE

APPUNTI

OPERAZIONE FINANZIARIA DI CAPITALIZZAZIONE

TERMINI E SIMBOLI

i tasso d'interesse unitario

t durata dell'investimento

C capitale investito

M montante

I interesse maturato

M = C + I

REGIME FINANZIARIO DELL'INTERESSE SEMPLICE

L'interesse maturato è direttamente proporzionale al capitale impiegato, alla durata e al tasso d'interesse unitario

I = Cit

Legge di capitalizzazione semplice:

M = C(1 + it)

Il regime di cap. semplice viene generalmente applicato per periodi inferiori all'anno.

REGIME FINANZIARIO DELL'INTERESSE COMPOSTO

Gli interessi maturati alla fine di ogni periodo sono capitalizzati per il periodo successivo.

Legge di capitalizzazione composta:

M = C(1 + i)^t   

(GRAF1)

Una legge di capitalizzazione è scindibile se per trasferire un capitale nel tempo è indifferente che ciò avvenga in una sola volta o con due o più spostamenti successivi.

La legge di capitalizzazione composta è scindibile, quella semplice no.

Due tassi, relativi a due diversi periodi di capitalizzazione, sono equivalenti, quando conducono, a parità di capitale e di tempo, ad uguali montanti.

Se indichiamo con i il tasso annuo e con i_k il tasso relativo a un periodo di 1/k di anno, in regime composto, l'equivalenza tra i e i_k è data dall'equazione:

1 + i = (1 + i_k)^k

OPERAZIONE FINANZIARIA DI SCONTO

TERMINI E SIMBOLI

V valore attuale del capitale C

o somma scontata

C capitale o valore nominale

S sconto è il compenso che spetta

a colui che rende anticipatamente

il capitale C

V = C- S

SCONTO COMMERCIALE

Lo sconto commerciale S_C è proporzionale al valore nominale, al tasso di sconto d e al tempo di anticipo t.

S_C = Cdt

SCONTO RAZIONALE

Lo sconto razionale è l'interesse semplice, a un dato tasso i, calcolato sulla somma scontata V.

S_R = Vit

V = C(1 + it)^-1

SCONTO COMPOSTO

Lo sconto composto è calcolato come interesse composto, a un dato tasso i, sulla somma scontata V.

V = C(1 + i)^-t

L'operazione di sconto si effettua in questi casi:

1. cessione di un credito
2. pagamento anticipato di un debito
3. valutazione di somme da riscuotere o da pagare in futuro per registrarne il valore in inventario o in bilancio.

PRINCIPIO DI EQUIVALENZA FINANZIARIA

In un regime, due somme, disponibili in tempi diversi, si dicono equivalenti in un dato tasso, se i loro valori al tempo t, sono uguali.

In altre parole possiamo affermare che un'operazione finanziaria è equa se l'insieme delle prestazioni, valutate ad un tempo t, uguaglia l'insieme delle controprestazioni, valutate anch'esse al tempo t.

Poiché la legge composta è scindibile, non ha importanza l'epoca che scegliamo per il confronto: se due capitali hanno lo stesso valore ad una certa epoca, lo hanno ad un'epoca qualunque.

Due capitali che sono equivalenti ad un certo tasso, non sono equivalenti ad un tasso diverso.

RENDITA

Si dice rendita una successione di somme esigibili o pagabili in epoche diverse.

In genere si studiano rendite periodiche a rata costante e si classificano in base al periodo, alla scadenza delle rate, alla durata o alla decorrenza.

Rispetto al periodo una rendita può essere:

-annua  -frazionata -poliennale.

Rispetto alla scadenza delle rate può essere:

-anticipata (pagamento all'inizio di ogni periodo)   

-posticipata (pagamento alla fine di ogni periodo).

Rispetto alla durata la rendita è detta:

-temporanea -perpetua.

Rispetto alla decorrenza:

-immediata (l'inizio coincide con il momento in cui si stipula il contratto)

-differita (l'inizio è più tardi).

Montante di una rendita immediata posticipata

Tale montante è la somma dei montanti di ciascuna rata calcolati alla fine dell'ultimo periodo.

M = R

M montante; R rata; i tasso; n rate.

Il calcolo del montante di una rendita si usa nei problemi di costituzione di un capitale.

Valore attuale di una rendita immediata posticipata

Il valore attuale di una rendita è il suo valore nel momento in cui è stipulato il contratto con cui si costituisce la rendita. E' la somma dei valori attuali delle singole rate che la compongono.

Resta inteso che la valutazione, però, può essere effettuata in qualsiasi istante.

V = R

Il calcolo del valore attuale di una rendita si usa nei problemi di rimborso di un prestito.

RIMBORSO DI UN PRESTITO

AMMORTAMENTO

Per il rimborso di un debito D si possono seguire, in generale, tre vie:

il debitore pagherà in una sola volta a una data scadenza il capitale più l'interesse, cioè il montante (rimborso globale);

il debitore pagherà periodicamente gli interessi sul debito e, alla scadenza convenuta, in una sola volta l'intero capitale (rimborso globale con pagamento periodico degli interessi);

il debitore pagherà periodicamente gli interessi e anche una parte del capitale, in modo da estinguere a poco a poco il debito (rimborso graduale).

Del terzo tipo si distinguono due diverse forme:

ammortamento a quote costanti di capitale (uniforme);

ammortamento a rata costante (progressivo).

Ammortamento uniforme

Simboli: Q_k indica la quota di capitale costituente la k-esima rata;

R_k indica l'importo della k-esima rata;

I_k indica l'interesse da pagare con la k-esima rata;

D_k indica il debito residuo dopo aver pagato la k-esima rata;

E_k indica il debito estinto dopo aver pagato la k-esima rata.

D indica il debito iniziale.

Q_k = D/n  E_k = kQ_k D_k = D - E_k I_k = iD_k-1 R = Q_k + I_k

Ammortamento progressivo

D = R R =