y

C B

A x

D

Dai dati del problema si ha:

AB = 3,1 j   BC = -2,4 i CD = -5,2 j

Il vettore AD è dato da:

AD = AD_x + AD_y

dove    AD_x = (AB_x + BC_x + CD_x) i = -2,4 i

AD_y = (AB_y + BC_y + CD_y) j = -2,1 j

Quindi AD = -2,4 i -2,1 j

AD = (AD_x + (AD_y = 10,17 = 3,2 Km

La direzione si ricava da:

AD_y

tgj = 0,875

AD_x

da cui j = 221° rispetto all'orizzontale.

ESERCIZIO N° 2

Un'automobile viaggia per 50Km in direzione est, poi per 30Km in direzione nord e poi per 25Km in una direzione nord-est a 30° rispetto al nord.

Tracciare il diagramma vettoriale.

Determinare lo spostamento totale compiuto dall'automobile dal suo punto di partenza.

SVOLGIMENTO

Scegliamo un sistema di riferimento bidimensionale in modo tale da far coinc 222c23c idere l'origine degli assi con il punto A di partenza:

y

D

30°

C

j

A B x

Dai dati del problema si ha:

AB = (50Km) i

BC = (30Km) j

CD = [25sen(30°)] i + [25cos(30°)] j = 12,5 i + 21,65 j

Il vettore AD è dato da:

AD = AD_x + AD_y

dove    AD_x = (AB_x + BC_x + CD_x) i = (50 + 12,5) i = 62,5 i

AD_y = (AB_y + BC_y + CD_y) j = (30 + 21,65) j = 51,65 j

Quindi AD = 62,5 i + 51,65 j

AD = (AD_x + (AD_y = 81 Km

Per la direzione

AD_y

j = arctg = 40°

AD_x

ESERCIZIO N° 3

Un giocatore di golf in tre colpi riesce a mandare la sua palla nella buca. Il primo colpo sposta la palla di 12m verso nord, il secondo di 6m in direzione sud-est ed il terzo colpo di 3m in direzione sud-ovest.

Quale spostamento sarebbe stato necessario per mandare la palla nella buca al primo colpo ?

SVOLGIMENTO

Fissiamo un sistema di riferimento bidimensionale in cui l'origine degli assi coincida col punto di partenza:

y

B

C

D

j

x

A

Lo spostamento necessario per mandare la palla in buca al primo colpo è rappresentato dal vettore:

AD = AD_x + AD_y

dove    AD_x = (AB_x + BC_x + CD_x) i

AD_y = (AB_y + BC_y + CD_y) j

Dai dati del problema si ottiene:

AB = 12 j

BC = 6cos(45°) i - 6 sen(45°) j = 4,24 i - 4,24 j

CD = -3cos(45°) i -3sen(45°) j = -2,12 i -2,12 j

Da ciò si ricava:

AD = 2,12 i + 5,64 j

AD = (AD_x + (AD_y = 6m

Per la direzione:

AD_y

j = arctg   = 70° rispetto all'orizzontale.

AD_x

ESERCIZIO N° 4

Un uomo desidera raggiungere una località situata a 3,4Km di distanza dal luogo dove attualmente si trova, in direzione nord-est con un angolo di 35° rispetto a nord. Egli si trova costretto però a percorrere strade che possono avere solo due direzioni: o nord-sud, oppure est-ovest. Qual è la minima distanza che l'uomo dovrebbe percorrere per raggiungere la destinazione ?

SVOLGIMENTO

Indichiamo con A il punto di partenza e con B quello di arrivo.

Fissiamo un sistema di riferimento bidimensionale in modo tale da far coincidere l'origine degli assi col punto A di partenza

y

B

AB_y

AB_x

x

A

Il vettore AB (spostamento totale) può essere scomposto nella somma dei due suoi vettori componenti lungo i due assi, cioè:

AB = AB_x + AB_y

La minima distanza d sarà allora data dalla somma dei moduli dei due vettori componenti:

d = AB_x + AB_y = ABsen(35°) + ABcos(35°) = 3,4∙0,57 + 3,4∙0,82 = 4,72Km

ESERCIZIO N° 5

Due vettori a e b hanno lo stesso modulo di 10 unità. Essi sono orientati come in figura:

y

b 105°

a

30°

x

Trovare:

a)  le componenti del loro risultante r secondo i due assi x e y;

b)  il modulo di r ;

c)  l'angolo j che r forma con l'asse x.

SVOLGIMENTO

Si ha, per le componenti:

r = a + b = r_x i + r_y j

r_x = a_x + b_x = a∙cos(30°) + b∙cos(135°) = 1,59

r_y = a_y + b_y = a∙sen(30°) + b∙sen(135°) = 12,07

Per il modulo

r = (r_x + (r_y = 12,17

Per l'angolazione

r_y

j = arctg = 82,5° rispetto all'orizzontale.

r_x

ESERCIZIO N° 6

Tre vettori sono dati da:

A = 3 i + 3 j -2 k

B = -i -4 j +2 k

C = 2 i + 2 j + k

Trovare:

a)  A∙(B x C)

b)  A∙(B + C)

c)  A x (B + C)

SVOLGIMENTO

Ricordiamo che dati due vettori A = A_xi + A_yj + A_zk e B = B_xi + B_yj + B_zk allora risulta:

A∙B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z

e

A x B = i(A_yB_z - A_zB_y) + j(A_zB_x - A_xB_z) + k(A_xB_y - A_yB_x

Quindi per rispondere al quesito a) ricaviamoci prima B x C:

B x C = -8 i + 5 j + 6 k

Posto ora B x C = D si ottiene:

A∙D = A_xD_x + A_yD_y + A_zD_z

Per il quesito b):

B + C = i -2 j + 3 k

e quindi

A∙(B + C) = 3 - 6 - 6 = - 9

Per il quesito c) posto B + C = D si ha:

A x D = i(A_yD_z - A_zD_y) + j(A_zD_x - A_xD_z) + k(A_xD_y - A_yD_x) = 5 i -11 j -9 k

ESERCIZIO N° 7

Un vettore ha modulo unitario (versore); gli angoli che esso forma con i tre assi x, y, z di una terna cartesiana ortogonale sono tra loro uguali.

Trovare i coseni direttori della direzione del vettore.

Trovare le componenti cartesiane del vettore.

SVOLGIMENTO

Indichiamo con u il versore, e con a, b, g gli angoli che il versore forma con gli assi x, y, z rispettivamente cosicché

u (cosa , cosb , cosg

Siano inoltre i, j, k i versori degli assi x, y, z, i cui coseni direttori sono

i

j

k

Si ha allora

u ∙ i = cosa

u ∙ j = cosb

u ∙ k = cosg

Poiché gli angoli formati dalla direzione di u con gli assi sono uguali, abbiamo

cosa = cosb = cosg

La proprietà di ortogonalità dei coseni direttori

cos a + cos b + cos g

diventa dunque

3cos a

da cui deriva

cosa

ESERCIZIO N° 8

Due vettori a e b hanno come componenti a (1,1,1) , b (1,0,1). Calcolare

il modulo di ciascun vettore;

il prodotto scalare tra i due vettori;

l'angolo formato dai due vettori.

SVOLGIMENTO

Poiché il modulo di un vettore è dato da:

v = v_x + v_y + v_z

allora

a = 3 b = 2

Il prodotto scalare fra i due vettori è

a ∙ b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

Per conoscere l'angolo formato dai due vettori possiamo utilizzare la definizione di prodotto scalare tra due vettori:

a ∙ b = abcosj

da cui

a ∙ b 2

cosj = = 0,816

ab 6

Da ciò si ottiene quindi:

j

che espresso in radianti sarebbe:

j = 0,616 rad.

ESERCIZIO N° 9

Due vettori a e b hanno come componenti a (1,1,1) , b

Detto c il prodotto vettoriale fra i due vettori, trovare:

Le componenti cartesiane di c.

Il modulo di c.

L'angolo fra i due vettori a e b.

SVOLGIMENTO

Il prodotto vettoriale di due vettori può essere scritto in termini delle componenti dei due vettori nel seguente modo:

c = a X b = ( i a_x + j a_y+ k a_z X ( i b_x + j b_y+ k b_z ) = i (a_yb_z - a_zb_y) + j (a_zb_x - a_xb_z) + k (a_xb_y - a_yb_z

Le componenti cartesiane di c risultano quindi

c_x

c_y

c_z

Il modulo di c

c c_x + c_y + c_z

Con la stessa formula calcoliamoci a e b per poter determinare l'angolo tra i due vettori.

a =   3 b = 5

Poiché

c = absenj

allora

c 6

j = arcsen = arcsen = 0,684 rad.

ab 15

ESERCIZIO N° 10

Rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali O_xyz un punto P ha coordinate P (1,1,3) mentre una retta r ha coseni direttori a b g. Trovare

modulo e componenti cartesiane del vettore OP;

le componenti di OP lungo la retta r e nel piano perpendicolare a tale retta.

SVOLGIMENTO

Le componenti cartesiane del vettore OP coincidono con le coordinate di P. Quindi

OP

Il modulo di questo vettore è OP = 11

Indicato con u un versore orientato come la retta r, le componenti di u sono i coseni direttori della retta, si ha cioè

u a b g

r

OP_n

OP_r

P

O

La componente OP_r di OP lungo la retta r è data da

OP_r = OP ∙ u = a b g

Il vettore OP risulta così decomposto in un componente OP_r parallelo alla retta r ed in uno, OP_n, normale alla stessa. Per il teorema di Pitagora:

OP_r + OP_n = OP

La componente OP_n è data quindi da

OP_n = 11 - (a b g

ESERCIZIO N° 11

Tre vettori a, b, c hanno le seguenti componenti a (1,2,1) , b (2,4,0) , c

Provare che il modulo del prodotto a ∙ b X c è il volume del parallelepipedo avente come spigoli i tre vettori.

Esprimere in forma cartesiana tale prodotto.

Mostrare che esso è esprimibile per mezzo di un determinante.

Calcolare tale prodotto nel caso particolare suggerito giustificando a posteriori il risultato ottenuto.

SVOLGIMENTO

Il prodotto vettoriale b X c dà come risultato un vettore d perpendicolare al piano dei due vettori avente come modulo d = bcsenq, essendo q l'angolo formato dai due vettori b e c.

Ma si ha che csenq è l'altezza DH del parallelogramma costruito sui due vettori:

D C

c

q b

A H B

Il modulo bcsenq è quindi l'area di tale parallelogramma.

Il prodotto scalare

a ∙ d = adcosj

essendo j l'angolo formato da a col vettore d

d

a

acosj

j

c

b

Poiché acosj è la proiezione del vettore a sulla normale al piano individuato da b e da c, esso rappresenta l'altezza del parallelepipedo avente come spigoli i tre vettori. Ne segue dunque che il prodotto misto tra i tre vettori esprime il volume del parallelepipedo stesso.

Il prodotto vettoriale b X c può essere scritto come

i (b_yc_z - b_zc_y) + j (b_zc_x - b_xc_z) + k (b_xc_y - b_yc_z

I coefficienti dei versori rappresentano le componenti cartesiane del vettore d e quindi:

a ∙ d = a_x(b_yc_z - b_zc_y) + a_y(b_zc_x - b_xc_z) + a_z(b_xc_y - b_yc_z

Ma tale uguaglianza coincide proprio con il seguente determinante

a_x a_y a_z

b_x b_y b_z

c_x c_y c_z

Nel caso particolare proposto

1 2 1

a ∙ b X c = 2 4 0 = 0

3 6 1

Il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori è nullo, come poteva ricavarsi osservando che i tre vettori giacciono in un piano.

ESERCIZIO N° 12

Un vettore a ha componenti a ( a_x , a_y ) rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy. Scelto un secondo riferimento ortogonale OXY i cui assi X e Y formano un angolo q rispettivamente con gli assi x e y;

determinare i coseni direttori degli assi X e Y rispetto al riferimento Oxy;

calcolare le componenti di a rispetto al riferimento OXY;

mostrare, infine, che nella trasformazione il modulo di a resta invariante.

SVOLGIMENTO

L'asse X forma con gli assi x e y angoli pari a q e (^p q) rispettivamente:

Y y

X

q

x

I suoi coseni direttori sono quindi

a = cosq

b = cos(^p q) = senq

L'asse Y forma invece angoli pari a (^p q) e q. I suoi coseni direttori sono quindi

a = cos(^p q) = -senq

b = cosq

Perciò, indicati con I e J i versori degli assi X e Y, essi hanno come componenti

I (cosq , senq)

J (-senq , cosq)

Le componenti di a sugli assi X e Y si possono ottenere come prodotto scalare di a rispettivamente per i versori I e J:

a_X = a ∙ I = a_xcosq + a_ysenq

a_Y = a ∙ J = -a_xsenq + a_ycosq

Il modulo del vettore può essere calcolato a partire dalle componenti a_X e a_Y. Si ha quindi:

a = a_X + a_Y = a_X cos q + a_Y sen q + 2a_Xa_Ycosqsenq + a_X sen q + a_Y cos q - 2a_Xa_Ysenqcosq

da cui

a = a_x + a_y

che mostra che il modulo è invariante al cambiare del sistema di riferimento.

ESERCIZIO N° 13

Rispetto ad un sistema di assi cartesiani Oxy il vettore v ha componenti v (v_x , v_y). Date due rette h e k passanti per il punto O del piano, fra loro non ortogonali ed aventi, nel riferimento Oxy, coseni direttori h a b ) , k a b ), trovare le componenti del vettore lungo le due rette h e k.

SVOLGIMENTO

Le componenti di v lungo le rette h e k possono essere ottenute graficamente tracciando dall'estremo libero di v le parallele alle rette medesime:

y k

v_k v

h

v_h

x

Si individuano così due vettori v_h e v_k tali che:

v_h + v_k = v

Indicate con v_hx e v_hy le componenti del vettore v_h sugli assi x e y ed analogamente con v_kx e v_ky le componenti del vettore v_k, abbiamo:

v_hx + v_kx = v_x

v_hy + v_ky = v_y

Inoltre tali componenti possono scriversi

v_hx a v_h

v_hy b v_h

per il vettore v_h e

v_kx a v_k

v_ky b v_k

per il vettore v_k

Sostituendo si ha quindi:

a v_h a v_k = v_x

b v_h b v_k = v_y

Tale sistema lineare è risolvibile se il determinante

a a

D =    = a b - a b

b b

Tale condizione esclude il parallelismo delle due rette h e k. In effetti se le due rette fossero parallele non potremmo effettuare la scomposizione di v.

Se D 0 il sistema ha come soluzioni:

v_x a

v_h = (¹/_D) ∙ =(¹/_D)(v_xb - v_ya

v_y b

a v_x

v_k = (¹/_D) ∙ =(¹/_D)(v_ya - v_xb

b v_y

ESERCIZIO N° 14

Due semirette orientate Ox e Oy formano fra loro un angolo j 90°. Un vettore di modulo v forma un angolo q con l'asse x. Trovare le componenti del vettore lungo i due assi.

SVOLGIMENTO

La scomposizione di v può essere ottenuta tracciando dal suo estremo libero le parallele agli assi x e y:

y

k P

v v_y

q j

O v_x H P^' x

Risulta allora:

PP' = v_ysenj = vsenq

da cui

vsenq

v_y

senj

Inoltre essendo

OP' = vcosq

OH = v_x

HP' = v_ycosj

e

OP' = OH + HP'

otteniamo

vcosq = v_x + v_ycosj

Sostituendo il valore di v_y ricavato in precedenza e risolvendo rispetto a v_x si ottiene:

vsenq

v_x = vcosq

tanj

ESERCIZIO N° 15

Il prodotto vettoriale a X b gode delle due seguenti proprietà:

è un vettore perpendicolare ad entrambi i vettori;

il suo modulo si annulla se i due vettori sono paralleli.

Mostrare che la seconda delle proprietà è conseguenza della prima.

SVOLGIMENTO

Se i due vettori a e b non sono paralleli essi indivi­duano un piano la cui normale dà la direzione del prodotto vettoriale fra a e b. Essa ha infatti la proprietà di essere perpendicolare simultaneamente sia ad a che a b. Nel caso in cui a e b siano paralleli essi non individuano alcun piano ed esistono infinite direzioni perpendicolari ad en­trambi. In questa situazione la direzione del prodotto vettoriale non e più definibile. L^' unica possibilità per po­ter definire, anche in questa situazione, il prodotto vet­toriale è che esso sia un vettore di modulo nullo. Altri­menti il prodotto vettoriale di due vettori paralleli a­vrebbe direzione indefinita.

ESERCIZIO N° 16

Due vettori a e b hanno componenti a (a_x, a_y, a_z) , b (b_x, b_y, b_z) rispetto ad una terna cartesiana ortogonale. Detti i , j , k i versori degli assi x, y, z della terna:

valutare tutti i possibili prodotti scalari fra i tre versori.

Dopo aver espresso a e b attraverso le loro componenti cartesiane, valutare il prodotto scalare a ∙ b.

SVOLGIMENTO

Dalla definizione di prodotto scalare, che qui ricordiamo

a ∙ b = abcosq

essendo q l'angolo fra i vettori a e b, segue

i ∙ i = j ∙ j = k ∙ k = 0

essendo vettori di modulo unitario e paralleli (q = 0). I­noltre

i ∙ j = j ∙ i = i ∙ k = k ∙ i = j ∙ k = k ∙ j = 0

poiché q

I due vettori a e b possono scriversi come:

a = a_x i + a_y j + a_z k

b = b_x i + b_y j + b_z k

Quindi

a ∙ b = (a_x i + a_y j + a_z k) ∙ (b_x i + b_y j + b_z k)

Sviluppando il prodotto e tenuto conto dei prodotti scalari tra i versori scritti in precedenza si ottiene

a ∙ b = a_xb_x + a_yb_y + a_yb_y

ESERCIZIO N° 17

Due vettori a e b hanno componenti a (a_x, a_y, a_z) , b (b_x, b_y, b_z) rispetto ad una terna cartesiana ortogona­le Oxyz sinistrorsa.

Detti i , j , k i versori degli assi x,y,z della terna:

valutare i tre prodotti vettoriali i x j , j x k , k x i

dopo aver espresso a e b attraverso le loro componenti cartesiane, calcolare a x b.

mostrare che tale prodotto vettoriale può essere scritto mediante un determinante.

SVOLGIMENTO

Per la definizione di prodotto vettoriale, che qui ri­portiamo, dati due vettori a e b il vettore

c = a x b

è perpendicolare al piano di a e b, ha modulo pari a

c = absenq

(dove q è l'angolo fra a e b) e verso tale che, rispetto a c, a per sovrapporsi a b, ruotando attraverso 1' angolo minore, deve girare in senso antiorario.

Così:

i x j = 1

j x k   = 1

k x i = 1

dato che i fattori del prodotto hanno modulo 1 e sono fra loro perpendicolari. Da ciò segue che il prodotto fra due versori è un versore. La direzione è perpendicolare al piano dei due fattori. Per una terna sinistrorsa la condizione sul verso del prodotto vettoriale porta a

i x j = k

j x k = i

k x i = j

Poiché

a = a_x i + a_y j + a_z k

b = b_x i + b_y j + b_z k

tenuto conto che

i x i = j x j = k x k =0

trattandosi di prodotti vettoriali fra vettori identici e quindi paralleli,

a x b = (a_xb_y - a_yb_x) i x j + (a_zb_x - a_xb_z) k x i + (a_yb_z - a_zb_y) j x k

Tenuto conto dei prodotti vettoriali tra i versori scritti in precedenza abbiamo

a x b = (a_yb_z - a_zb_y) i + (a_zb_x - a_xb_z) j + (a_xb_y - a_yb_x) k

Un determinante simbolico che dia come risultato tale uguaglianza si può facilmente costruire scrivendo nella prima riga i versori i , j , k nella seconda le componenti di a, nella terza quelle di b

i j k

a x b =  a_x a_y a_z

b_x b_y b_z

Questo risultato è più facile da ricordare rispetto alla relazione scritta in precedenza.

ESERCIZIO N°18

Due vettori a e b hanno componenti a (a_x, a_y, a_z) , b (b_x, b_y, b_z) rispetto ad una terna cartesiana ortogona­le Oxyz destrorsa.

Detti i , j , k i versori degli assi x,y,z della terna:

valutare i tre prodotti vettoriali i x j , j x k , k x i

esprimere sotto forma di determinante il prodotto vettoriale a x b confrontando il risultato con l'analogo relativo ad un sistema sinistrorso.

SVOLGIMENTO

Dalla definizione di prodotto vettoriale segue che

i X j = j X k = k X i =

I tre prodotti fra coppie di versori danno come risultato versori che hanno come direzioni quelle dell'asse z, dell'asse x, dell'asse y. Tenuto conto che la terna è de­strorsa si ha

i x j = -k

j x k = -i

k x i = -j

Scritti ora i vettori a e b attraverso le loro componenti cartesiane

a = a_x i + a_y j + a_z k

b = b_x i + b_y j + b_z k

e tenuto conto che

i x i = j x j = k x k =0

abbiamo

a x b = (a_xb_y - a_yb_x) i x j + (a_zb_x - a_xb_z) k x i + (a_yb_z - a_zb_y) j x k

Tenuto conto dei prodotti vettoriali tra i versori scritti in precedenza abbiamo

a x b = -(a_yb_z - a_zb_y) i - (a_zb_x - a_xb_z) j - (a_xb_y - a_yb_x) k

L'espressione appena scritta può essere scritta come un determinante simbolico

i j k

a x b = - a_x a_y a_z

b_x b_y b_z

Tale determinante differisce per la presenza del segno negativo dall'analoga espressione (vedi problema precedente) vali­da per una terna sinistrorsa.