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VETTORI - ESERCIZIO

matematica




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VETTORI


ESERCIZIO N° 1


Una persona cammina seguendo questo percorso: 3,1Km verso nord, poi 2,4Km verso ovest ed infine 5,2Km verso sud.

Costruire il diagramma vettoriale che rappresenta questo moto.

Quale distanza dovrebbe percorrere, ed in quale direzione, un uccello che voli in linea retta per raggiungere lo stesso punto di arrivo ?


SVOLGIMENTO


Fissiamo un sistema di riferimento bidimensionale in modo tale da far coinc 222c23c idere l'origine degli assi con il punto A di partenza del percorso:



y



C B







A x



D


Dai dati del problema si ha:


AB = 3,1 j       BC = -2,4 i CD = -5,2 j


Il vettore AD è dato da:


AD = ADx + ADy


dove    ADx = (ABx + BCx + CDx) i = -2,4 i


ADy = (ABy + BCy + CDy) j = -2,1 j


Quindi AD = -2,4 i -2,1 j


AD = (ADx + (ADy = 10,17 = 3,2 Km


La direzione si ricava da:


ADy

tgj = 0,875

ADx


da cui j = 221° rispetto all'orizzontale.



ESERCIZIO N° 2


Un'automobile viaggia per 50Km in direzione est, poi per 30Km in direzione nord e poi per 25Km in una direzione nord-est a 30° rispetto al nord.

Tracciare il diagramma vettoriale.

Determinare lo spostamento totale compiuto dall'automobile dal suo punto di partenza.


SVOLGIMENTO


Scegliamo un sistema di riferimento bidimensionale in modo tale da far coinc 222c23c idere l'origine degli assi con il punto A di partenza:


y

D




30°

C





j

A B x



Dai dati del problema si ha:


AB = (50Km) i

BC = (30Km) j

CD = [25sen(30°)] i + [25cos(30°)] j = 12,5 i + 21,65 j


Il vettore AD è dato da:


AD = ADx + ADy


dove    ADx = (ABx + BCx + CDx) i = (50 + 12,5) i = 62,5 i

ADy = (ABy + BCy + CDy) j = (30 + 21,65) j = 51,65 j


Quindi AD = 62,5 i + 51,65 j

AD = (ADx + (ADy = 81 Km


Per la direzione


ADy

j = arctg             = 40°

ADx







ESERCIZIO N° 3


Un giocatore di golf in tre colpi riesce a mandare la sua palla nella buca. Il primo colpo sposta la palla di 12m verso nord, il secondo di 6m in direzione sud-est ed il terzo colpo di 3m in direzione sud-ovest.

Quale spostamento sarebbe stato necessario per mandare la palla nella buca al primo colpo ?


SVOLGIMENTO


Fissiamo un sistema di riferimento bidimensionale in cui l'origine degli assi coincida col punto di partenza:

y



B



C

D



j

x

A


Lo spostamento necessario per mandare la palla in buca al primo colpo è rappresentato dal vettore:


AD = ADx + ADy


dove    ADx = (ABx + BCx + CDx) i

ADy = (ABy + BCy + CDy) j


Dai dati del problema si ottiene:


AB = 12 j


BC = 6cos(45°) i - 6 sen(45°) j = 4,24 i - 4,24 j


CD = -3cos(45°) i -3sen(45°) j = -2,12 i -2,12 j


Da ciò si ricava:


AD = 2,12 i + 5,64 j


AD =     (ADx + (ADy = 6m


Per la direzione:


ADy

j = arctg               = 70° rispetto all'orizzontale.

ADx





ESERCIZIO N° 4


Un uomo desidera raggiungere una località situata a 3,4Km di distanza dal luogo dove attualmente si trova, in direzione nord-est con un angolo di 35° rispetto a nord. Egli si trova costretto però a percorrere strade che possono avere solo due direzioni: o nord-sud, oppure est-ovest. Qual è la minima distanza che l'uomo dovrebbe percorrere per raggiungere la destinazione ?


SVOLGIMENTO


Indichiamo con A il punto di partenza e con B quello di arrivo.

Fissiamo un sistema di riferimento bidimensionale in modo tale da far coincidere l'origine degli assi col punto A di partenza

y


B



ABy


ABx

x

A


Il vettore AB (spostamento totale) può essere scomposto nella somma dei due suoi vettori componenti lungo i due assi, cioè:


AB = ABx + ABy


La minima distanza d sarà allora data dalla somma dei moduli dei due vettori componenti:


d = ABx + ABy = ABsen(35°) + ABcos(35°) = 3,4∙0,57 + 3,4∙0,82 = 4,72Km




ESERCIZIO N° 5


Due vettori a e b hanno lo stesso modulo di 10 unità. Essi sono orientati come in figura:

y



b 105°


a

30°

x

Trovare:


a)      le componenti del loro risultante r secondo i due assi x e y;

b)      il modulo di r ;

c)      l'angolo j che r forma con l'asse x.





SVOLGIMENTO


Si ha, per le componenti:


r = a + b = rx i + ry j


rx = ax + bx = a∙cos(30°) + b∙cos(135°) = 1,59

ry = ay + by = a∙sen(30°) + b∙sen(135°) = 12,07


Per il modulo


r =     (rx + (ry = 12,17


Per l'angolazione


ry

j = arctg = 82,5° rispetto all'orizzontale.

rx



ESERCIZIO N° 6


Tre vettori sono dati da:


A = 3 i + 3 j -2 k

B = -i -4 j +2 k

C = 2 i + 2 j + k


Trovare:


a)      A∙(B x C)

b)      A∙(B + C)

c)      A x (B + C)


SVOLGIMENTO


Ricordiamo che dati due vettori A = Axi + Ayj + Azk e B = Bxi + Byj + Bzk allora risulta:


A∙B = AxBx + AyBy + AzBz


e


A x B = i(AyBz - AzBy) + j(AzBx - AxBz) + k(AxBy - AyBx


Quindi per rispondere al quesito a) ricaviamoci prima B x C:


B x C = -8 i + 5 j + 6 k


Posto ora B x C = D si ottiene:




A∙D = AxDx + AyDy + AzDz


Per il quesito b):


B + C = i -2 j + 3 k


e quindi


A∙(B + C) = 3 - 6 - 6 = - 9


Per il quesito c) posto B + C = D si ha:


A x D = i(AyDz - AzDy) + j(AzDx - AxDz) + k(AxDy - AyDx) = 5 i -11 j -9 k



ESERCIZIO N° 7


Un vettore ha modulo unitario (versore); gli angoli che esso forma con i tre assi x, y, z di una terna cartesiana ortogonale sono tra loro uguali.


Trovare i coseni direttori della direzione del vettore.

Trovare le componenti cartesiane del vettore.


SVOLGIMENTO


Indichiamo con u il versore, e con a, b, g gli angoli che il versore forma con gli assi x, y, z rispettivamente cosicché

u (cosa , cosb , cosg


Siano inoltre i, j, k i versori degli assi x, y, z, i cui coseni direttori sono


i

j

k


Si ha allora


u ∙ i = cosa

u ∙ j = cosb

u ∙ k = cosg


Poiché gli angoli formati dalla direzione di u con gli assi sono uguali, abbiamo


cosa = cosb = cosg


La proprietà di ortogonalità dei coseni direttori


cos a + cos b + cos g


diventa dunque


3cos a


da cui deriva


cosa





ESERCIZIO N° 8


Due vettori a e b hanno come componenti a (1,1,1) , b (1,0,1). Calcolare


il modulo di ciascun vettore;

il prodotto scalare tra i due vettori;

l'angolo formato dai due vettori.


SVOLGIMENTO


Poiché il modulo di un vettore è dato da:


v = vx + vy + vz


allora


a = 3 b = 2


Il prodotto scalare fra i due vettori è


a ∙ b = axbx + ayby + azbz


Per conoscere l'angolo formato dai due vettori possiamo utilizzare la definizione di prodotto scalare tra due vettori:


a ∙ b = abcosj


da cui


a ∙ b 2

cosj = = 0,816

ab 6


Da ciò si ottiene quindi:


j


che espresso in radianti sarebbe:


j = 0,616 rad.
















ESERCIZIO N° 9


Due vettori a e b hanno come componenti a (1,1,1) , b

Detto c il prodotto vettoriale fra i due vettori, trovare:


Le componenti cartesiane di c.

Il modulo di c.

L'angolo fra i due vettori a e b.


SVOLGIMENTO


Il prodotto vettoriale di due vettori può essere scritto in termini delle componenti dei due vettori nel seguente modo:


c = a X b = ( i ax + j ay+ k az X ( i bx + j by+ k bz ) = i (aybz - azby) + j (azbx - axbz) + k (axby - aybz


Le componenti cartesiane di c risultano quindi


cx

cy

cz


Il modulo di c


c cx + cy + cz


Con la stessa formula calcoliamoci a e b per poter determinare l'angolo tra i due vettori.


a =   3 b = 5


Poiché


c = absenj


allora

c 6

j = arcsen = arcsen = 0,684 rad.

ab                     15



ESERCIZIO N° 10


Rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxyz un punto P ha coordinate P (1,1,3) mentre una retta r ha coseni direttori a b g. Trovare


modulo e componenti cartesiane del vettore OP;

le componenti di OP lungo la retta r e nel piano perpendicolare a tale retta.


SVOLGIMENTO


Le componenti cartesiane del vettore OP coincidono con le coordinate di P. Quindi


OP


Il modulo di questo vettore è OP = 11

Indicato con u un versore orientato come la retta r, le componenti di u sono i coseni direttori della retta, si ha cioè


u a b g

r




OPn

OPr

P

O



La componente OPr di OP lungo la retta r è data da


OPr = OP ∙ u = a b g


Il vettore OP risulta così decomposto in un componente OPr parallelo alla retta r ed in uno, OPn, normale alla stessa. Per il teorema di Pitagora:


OPr + OPn = OP


La componente OPn è data quindi da


OPn = 11 - (a b g



ESERCIZIO N° 11


Tre vettori a, b, c hanno le seguenti componenti a (1,2,1) , b (2,4,0) , c


Provare che il modulo del prodotto a ∙ b X c è il volume del parallelepipedo avente come spigoli i tre vettori.

Esprimere in forma cartesiana tale prodotto.

Mostrare che esso è esprimibile per mezzo di un determinante.

Calcolare tale prodotto nel caso particolare suggerito giustificando a posteriori il risultato ottenuto.


SVOLGIMENTO


Il prodotto vettoriale b X c dà come risultato un vettore d perpendicolare al piano dei due vettori avente come modulo d = bcsenq, essendo q l'angolo formato dai due vettori b e c.

Ma si ha che csenq è l'altezza DH del parallelogramma costruito sui due vettori:


D C


c



q b

A H B


Il modulo bcsenq è quindi l'area di tale parallelogramma.

Il prodotto scalare


a ∙ d = adcosj


essendo j l'angolo formato da a col vettore d

d


a

acosj

j

c





b



Poiché acosj è la proiezione del vettore a sulla normale al piano individuato da b e da c, esso rappresenta l'altezza del parallelepipedo avente come spigoli i tre vettori. Ne segue dunque che il prodotto misto tra i tre vettori esprime il volume del parallelepipedo stesso.


Il prodotto vettoriale b X c può essere scritto come


i (bycz - bzcy) + j (bzcx - bxcz) + k (bxcy - bycz


I coefficienti dei versori rappresentano le componenti cartesiane del vettore d e quindi:




a ∙ d = ax(bycz - bzcy) + ay(bzcx - bxcz) + az(bxcy - bycz


Ma tale uguaglianza coincide proprio con il seguente determinante


ax ay az

bx by bz

cx cy cz


Nel caso particolare proposto


1 2 1

a ∙ b X c = 2 4 0 = 0

3 6 1


Il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori è nullo, come poteva ricavarsi osservando che i tre vettori giacciono in un piano.


ESERCIZIO N° 12


Un vettore a ha componenti a ( ax , ay ) rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy. Scelto un secondo riferimento ortogonale OXY i cui assi X e Y formano un angolo q rispettivamente con gli assi x e y;

determinare i coseni direttori degli assi X e Y rispetto al riferimento Oxy;

calcolare le componenti di a rispetto al riferimento OXY;

mostrare, infine, che nella trasformazione il modulo di a resta invariante.


SVOLGIMENTO


L'asse X forma con gli assi x e y angoli pari a q e (p q) rispettivamente:


Y y




X


q

x


I suoi coseni direttori sono quindi


a = cosq

b = cos(p q) = senq


L'asse Y forma invece angoli pari a (p q) e q. I suoi coseni direttori sono quindi


a = cos(p q) = -senq

b = cosq


Perciò, indicati con I e J i versori degli assi X e Y, essi hanno come componenti


I (cosq , senq)

J (-senq , cosq)


Le componenti di a sugli assi X e Y si possono ottenere come prodotto scalare di a rispettivamente per i versori I e J:


aX = a ∙ I = axcosq + aysenq

aY = a ∙ J = -axsenq + aycosq


Il modulo del vettore può essere calcolato a partire dalle componenti aX e aY. Si ha quindi:


a = aX + aY = aX cos q + aY sen q + 2aXaYcosqsenq + aX sen q + aY cos q - 2aXaYsenqcosq


da cui


a = ax + ay


che mostra che il modulo è invariante al cambiare del sistema di riferimento.




ESERCIZIO N° 13


Rispetto ad un sistema di assi cartesiani Oxy il vettore v ha componenti v (vx , vy). Date due rette h e k passanti per il punto O del piano, fra loro non ortogonali ed aventi, nel riferimento Oxy, coseni direttori h a b ) , k a b ), trovare le componenti del vettore lungo le due rette h e k.


SVOLGIMENTO

Le componenti di v lungo le rette h e k possono essere ottenute graficamente tracciando dall'estremo libero di v le parallele alle rette medesime:



y k




vk v



h

vh

x



Si individuano così due vettori vh e vk tali che:


vh + vk = v


Indicate con vhx e vhy le componenti del vettore vh sugli assi x e y ed analogamente con vkx e vky le componenti del vettore vk, abbiamo:


vhx + vkx = vx

vhy + vky = vy


Inoltre tali componenti possono scriversi


vhx a vh

vhy b vh


per il vettore vh e


vkx a vk

vky b vk


per il vettore vk


Sostituendo si ha quindi:


a vh a vk = vx

b vh b vk = vy


Tale sistema lineare è risolvibile se il determinante





a a

D =                        = a b - a b

b b


Tale condizione esclude il parallelismo delle due rette h e k. In effetti se le due rette fossero parallele non potremmo effettuare la scomposizione di v.

Se D 0 il sistema ha come soluzioni:




vx a

vh = (1/D) ∙ =(1/D)(vxb - vya

vy b



a vx

vk = (1/D) ∙ =(1/D)(vya - vxb

b vy



ESERCIZIO N° 14


Due semirette orientate Ox e Oy formano fra loro un angolo j 90°. Un vettore di modulo v forma un angolo q con l'asse x. Trovare le componenti del vettore lungo i due assi.


SVOLGIMENTO


La scomposizione di v può essere ottenuta tracciando dal suo estremo libero le parallele agli assi x e y:

y


k P

v vy

q j

O vx H P' x


Risulta allora:


PP' = vysenj = vsenq


da cui

vsenq

vy

senj


Inoltre essendo


OP' = vcosq

OH = vx

HP' = vycosj


e


OP' = OH + HP'


otteniamo


vcosq = vx + vycosj


Sostituendo il valore di vy ricavato in precedenza e risolvendo rispetto a vx si ottiene:


vsenq

vx = vcosq

tanj


ESERCIZIO N° 15


Il prodotto vettoriale a X b gode delle due seguenti proprietà:


è un vettore perpendicolare ad entrambi i vettori;

il suo modulo si annulla se i due vettori sono paralleli.


Mostrare che la seconda delle proprietà è conseguenza della prima.


SVOLGIMENTO


Se i due vettori a e b non sono paralleli essi indivi­duano un piano la cui normale dà la direzione del prodotto vettoriale fra a e b. Essa ha infatti la proprietà di essere perpendicolare simultaneamente sia ad a che a b. Nel caso in cui a e b siano paralleli essi non individuano alcun piano ed esistono infinite direzioni perpendicolari ad en­trambi. In questa situazione la direzione del prodotto vettoriale non e più definibile. L' unica possibilità per po­ter definire, anche in questa situazione, il prodotto vet­toriale è che esso sia un vettore di modulo nullo. Altri­menti il prodotto vettoriale di due vettori paralleli a­vrebbe direzione indefinita.



ESERCIZIO N° 16


Due vettori a e b hanno componenti a (ax, ay, az) , b (bx, by, bz) rispetto ad una terna cartesiana ortogonale. Detti i , j , k i versori degli assi x, y, z della terna:

valutare tutti i possibili prodotti scalari fra i tre versori.

Dopo aver espresso a e b attraverso le loro componenti cartesiane, valutare il prodotto scalare a ∙ b.


SVOLGIMENTO


Dalla definizione di prodotto scalare, che qui ricordiamo


a ∙ b = abcosq


essendo q l'angolo fra i vettori a e b, segue


i i = j j = k k = 0




essendo vettori di modulo unitario e paralleli (q = 0). I­noltre


i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0


poiché q


I due vettori a e b possono scriversi come:


a = ax i + ay j + az k


b = bx i + by j + bz k


Quindi


a ∙ b = (ax i + ay j + az k) ∙ (bx i + by j + bz k)


Sviluppando il prodotto e tenuto conto dei prodotti scalari tra i versori scritti in precedenza si ottiene


a ∙ b = axbx + ayby + ayby



ESERCIZIO N° 17


Due vettori a e b hanno componenti a (ax, ay, az) , b (bx, by, bz) rispetto ad una terna cartesiana ortogona­le Oxyz sinistrorsa.

Detti i , j , k i versori degli assi x,y,z della terna:

valutare i tre prodotti vettoriali i x j , j x k , k x i

dopo aver espresso a e b attraverso le loro componenti cartesiane, calcolare a x b.

mostrare che tale prodotto vettoriale può essere scritto mediante un determinante.


SVOLGIMENTO


Per la definizione di prodotto vettoriale, che qui ri­portiamo, dati due vettori a e b il vettore


c = a x b


è perpendicolare al piano di a e b, ha modulo pari a


c = absenq


(dove q è l'angolo fra a e b) e verso tale che, rispetto a c, a per sovrapporsi a b, ruotando attraverso 1' angolo minore, deve girare in senso antiorario.

Così:

i x j = 1


j x k   = 1


k x i = 1


dato che i fattori del prodotto hanno modulo 1 e sono fra loro perpendicolari. Da ciò segue che il prodotto fra due versori è un versore. La direzione è perpendicolare al piano dei due fattori. Per una terna sinistrorsa la condizione sul verso del prodotto vettoriale porta a


i x j = k


j x k = i


k x i = j

Poiché


a = ax i + ay j + az k


b = bx i + by j + bz k


tenuto conto che


i x i = j x j = k x k =0


trattandosi di prodotti vettoriali fra vettori identici e quindi paralleli,



a x b = (axby - aybx) i x j + (azbx - axbz) k x i + (aybz - azby) j x k


Tenuto conto dei prodotti vettoriali tra i versori scritti in precedenza abbiamo


a x b = (aybz - azby) i + (azbx - axbz) j + (axby - aybx) k


Un determinante simbolico che dia come risultato tale uguaglianza si può facilmente costruire scrivendo nella prima riga i versori i , j , k nella seconda le componenti di a, nella terza quelle di b


i j k

a x b =  ax ay az

bx by bz


Questo risultato è più facile da ricordare rispetto alla relazione scritta in precedenza.



ESERCIZIO N°18


Due vettori a e b hanno componenti a (ax, ay, az) , b (bx, by, bz) rispetto ad una terna cartesiana ortogona­le Oxyz destrorsa.

Detti i , j , k i versori degli assi x,y,z della terna:

valutare i tre prodotti vettoriali i x j , j x k , k x i

esprimere sotto forma di determinante il prodotto vettoriale a x b confrontando il risultato con l'analogo relativo ad un sistema sinistrorso.


SVOLGIMENTO


Dalla definizione di prodotto vettoriale segue che


i X j = j X k = k X i =


I tre prodotti fra coppie di versori danno come risultato versori che hanno come direzioni quelle dell'asse z, dell'asse x, dell'asse y. Tenuto conto che la terna è de­strorsa si ha


i x j = -k


j x k = -i


k x i = -j


Scritti ora i vettori a e b attraverso le loro componenti cartesiane



a = ax i + ay j + az k


b = bx i + by j + bz k


e tenuto conto che


i x i = j x j = k x k =0


abbiamo





a x b = (axby - aybx) i x j + (azbx - axbz) k x i + (aybz - azby) j x k


Tenuto conto dei prodotti vettoriali tra i versori scritti in precedenza abbiamo


a x b = -(aybz - azby) i - (azbx - axbz) j - (axby - aybx) k


L'espressione appena scritta può essere scritta come un determinante simbolico


i j k

a x b = - ax ay az

bx by bz


Tale determinante differisce per la presenza del segno negativo dall'analoga espressione (vedi problema precedente) vali­da per una terna sinistrorsa.








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