MATEMATICA - ARITMETICA - FORMULE

matematica

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Matematica – Preparazione al compito per l’orale

MATEMATICA FINANZIARIA - CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

IL PROBLEMA DEI FONDAMENTI E LE GEOMETRIE NON-EUCLIDEE

UNITA' STATISTICA ED I SUOI CARATTERI

SCHEMA PER LO STUDIO DI TRASFORMAZIONI

ALGEBRE DI BOOLE

Gli Arabi e la matematica

Variabili casuali o aleatorie - Algebra delle sommatorie

MATEMATICA

ARITMETICA

DEFINIZIONI
Grado di Equazione	Si dice grado di unfequazione il prodotto dei gradi di ogni termine dellfequazione.
Grado di Sistema	Si dice grado di un sistema, ridotto in forma normale, il prodotto dei gradi di tutte le sue equazioni.
Sistema Simmetrico	Un sistema a due incognite si dice simmetrico se le sue equazioni, a prescindere dallfordinamento, rimangono invariate scambiando fra loro le incognite.

FORMULE

EQUAZIONE 1‹ GRADO
Formula	Soluzione
AX+B = 0	X = -B/A
AX-B = 0	X = B/A

EQUAZIONI 2‹ GRADO
Formula	Soluzione
AX²–BX C = 0	B Ö(B² 4AC) /2A = 0
AX²+BX+C = 0	B Ö(B² 4AC) /2A = 0

SOLUZIONI EQUAZIONI 2‹ GRADO
Radici Reali e Distinte (X₁¹X₂)	D > 0: B² 4AC > 0
Radici Reali e Coincidenti (X₁¹X₂)	D = 0: B²–4AC = 0
Radici non Reali (S = O)	D < 0: B2–4AC < 0
Radice di Valore ƒ¿ÎR assegnato (X₁= ƒ¿)	Aƒ¿²+(Bƒ¿)+C = 0
Radice Nulla con ƒ¿ = 0	C = 0
Radici la cui Somma sia un Valore ƒ¿ÎR Assegnato (X₁+X₂= ƒ¿)	(B/C) = ƒ¿
Radici Opposte (X₁= X₂)	B = 0
Radici il cui Prodotto sia un Valore ƒ¿ÎR Assegnato (X₁ x X₂ = ƒ¿)	C/A = 0
Radici Reciproche (X₁ = 1/X₂= ƒ¿)	C/A = 1
Radici la cui Differenza sia un Valore ƒ¿ÎR Assegnato ()	(B² A² ƒ¿²)/4*A²= C/A
Radici tali che la Somma di loro Quadrati sia un Valore ƒ¿ÎR Assegnato (X₁²+X₂²= ƒ¿)	(B² 2AC)/A²=
Radici tali che la Somma di loro Cubi sia un Valore ƒ¿ÎR Assegnato (X₁³+X₂³= ƒ¿)	(3ABC B2)/A³=
Radici tali che la Somma dei loro Reciprochi sia un Valore ƒ¿ÎR Assegnato (1/X₁+1/X₂ = ƒ¿)	B/C = ƒ¿ con ƒ¿ = 0
Radici tali che la Somma dei Quadrati dei loro Reciprochi sia un Valore ƒ¿ÎR Assegnato (1/X₁²+1/X₂² = ƒ¿)	(B² 2AC)/C² = ƒ¿ con ƒ¿ = 0
Radici tali che la Somma dei Cubi dei loro Reciprochi sia un Valore ƒ¿ÎR Assegnato (1/X₁³+1/X₂³ = ƒ¿)	(3ABC B2)/C³= ƒ¿ con ƒ¿ = 0

EQUAZIONI 3‹ GRADO
Esempio	Soluzione
X³	(X 2)*(X²+2X+4) = 0; X 2 = 0, X²+2X+4 = 0; X₁= 2, X_2,3= iÖ
X³+8 = 0	(X+2)*(X² 2X+4) = 0; X+2 = 0, X² 2X+4 = 0; X₁ = 2; X_2,3= 1 1iÖ

EQUAZIONI 4‹ GRADO
Esempio	Soluzione
X⁴	(X² 1)*(X²+1) = 0; X² 1 = 0, X²+1 = 0; X_1,2 = 1, X_3,4 = i
X⁴+1 = 0	Ö X⁴ = Ö 1; X = i

EQUAZIONI SIMMETRICHE
Regola	K² S(somma)*K+p = 0
Esempio	Soluzione
X²+Y²	(X+Y)² 2xy (poi sostituzione dei termini noti e normale svolgimento)
X²*Y2	Radice di entrambi i termini.
X Y = 8 X*Y =	X+( Y) = 8 (si cambiano gli opportuni segni) X*( Y) = 12
2X+3Y = 8 X*Y = 2	2X+3Y = 8 a+b = 8 I risultati dovranno essere divisi con le X e Y 2X3Y = 12 (322) ab = 12

DISEQUAZIONI 1‹ GRADO
Formula	Soluzione
AX+B > o ³ o < o £	X > o ³ o < o £ -B/A
AX B > o ³ o < o £ 0	X > o ³ o < o £ B/A

DISEQUAZIONI 2‹ GRADO
Formula	Soluzione
AX²-BX C > o ³ o < o £	B Ö(B² 4AC) /2A > o ³ o < o £
AX²+BX+C > o ³ o < o £	B Ö(B² 4AC) /2A > o ³ o < o £

DISEQUAZIONI DI 3‹ GRADO
Formula	Soluzione
AX³+BX²+CX+D > o ³ o < o £	Ruffini e grafico

DISEQUAZIONI DI 4‹ GRADO
Formule	Soluzione
1‹: AX⁴+BX²+C > o ³ o < o £	X² = Y ® AY²+BY+C > o ³ o < o £ e poi si risolve normalmente (Y1 = ƒ¿ ;Y2 = ƒÀ)
2‹: AX²+BX+C = A(X X₁)*(X X₂)	A(Y ƒ¿)(Y ® (X² ƒ¿)(X² e poi si continua normalmente con il grafico

DISEQUAZIONI

IRRAZIONALI 1‹ TIPO

ÖA(x) < B(x)

(con sistema)

A(x) ³

B(x) >

A(x) < B(x)

ÖA(x) £ B(x)

(con sistema)

A(x) ³

B(x) ³

A(x) £ B(x)

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI 2‹ TIPO

ÖA(x) > B(x)

(con 2 sistemi da unire)

B(x) >

Ö A(x) > B(x)

B(x) <

A(x) >

ÖA(x) ³ B(x)

(con 2 sistemi da unire)

B(x) ³

Ö A(x) > B(x)

B(x) <

A(x) 0

GEOMETRIA

DEFINIZIONI
Altezza	Segmento perpendicolare al lato cui è riferita.
Baricentro	Punto di intersezione delle tre mediane di un triangolo.
Bisettrice	Segmento che divide un angolo in due parti uguali.
Incentro	Punto di intersezione delle tre bisettrici di un triangolo.
Mediana	Segmento che divide il lato cui è riferita a metà.
Ortocentro	Punto di intersezione delle tre altezze di un triangolo.
Punto Medio	Punto che divide un segmento a metà.
Triangolo Acutangolo	Ha tutti gli angoli acuti.
Triangoli Congruenti	Ha tutti i lati e tutti gli angoli ordinatamente congruenti.
Triangolo Equilatero	Ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti.
Triangolo Isoscele	Ha due alti e gli angoli alla base congruenti; lfaltezza, la bisettrice e la mediana relative al vertice coincidono.
Triangolo Ottusangolo	Ha un angolo ottuso.
Triangolo Rettangolo	Ha un angolo retto.
Triangolo Scaleno	Non ha lati congruenti.
Angolo Esterno	Ogni angolo esterno di un triangolo non degenere è maggiore di ognuno dei due angoli interni non adiacenti ad esso.
Bisettrice	In un angolo esiste sempre ed è unica.
Bisettrice Angolo Interno	In un triangolo, la bisettrice di un angolo interno interseca il lato opposto in un punto che divide il lato stesso in due parti direttamente proporzionali agli altri due lati del triangolo.
Bisettrice Angolo Esterno	In un triangolo, la bisettrice di un angolo esterno interseca il prolungamento del lato opposto in un punto tale che le distanze di quel punto dagli estremi del lato stesso siano proporzionali agli altri due lati del triangolo.
1‹ Congruenza dei Triangoli	Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e lfangolo tra essi compreso.
2‹ Congruenza dei Triangoli	Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due angoli e il lato compreso
3‹ Congruenza dei Triangoli	Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i lati.
1‹ Euclide	In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su di un cateto è equivalente ad un rettangolo che ha per lati la proiezione sullfipotenusa del cateto stesso e lfipotenusa stessa.
2‹ Euclide	Il quadrato costruito sullfaltezza relativa allfipotenusa è equivalente ad un rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sullfipotenusa.
Pitagora	La somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sullfipotenusa.
Punto Medio	In un segmento esiste sempre ed è unico.
Rette Parallele	Se formano con una trasversale angoli alterni interni congruenti, esteri congruenti, corrispondenti congruenti, coniugati (interni o esterni) supplementari.
1‹ Similitudine dei Triangoli	Due triangoli sono simili se hanno 2 angoli uguali.
2‹ Similitudine dei Triangoli	Due triangoli sono simili se hanno due lati in proporzione e lfangolo tra essi compreso uguale.
3‹ Similitudine dei Triangoli	Se hanno tutti e tre i lati in proporzione.
Triangolo non Degenere	Ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della differenza degli altri due.
Triangolo non Degenere con due Lati e due Angoli non Congruenti	A lato maggiore è opposto angolo maggiore; ad angolo minore è opposto angolo minore. Ad Angolo Maggiore è opposto lato maggiore; ad angolo minore è opposto lato minore.

FORMULE
Esagono Inscritto in un Cerchio	l = r
Quadrato	P = l4; A = l²; d = lÖ2; l = (d*Ö
Quadrato Inscritto in un Cerchio	P = l4; A = l²; d = lÖ2; l = (dÖ2)/2 r = (lÖ2)/2; l = r*Ö
Rombo	A = D*d/2; P = l+l+l+l
Trapezio	A = [(B+b)*h]/2; P = l+l+l+l
Triangolo Circoscritto ad un Cerchio	r = abc/4A
Triangolo Inscritto in un Cerchio	r = A/(P/2)
Triangolo Equilatero	h = ½(Ö3); l = h
Triangolo EquilateroInscritto in un Cerchio	l = r(Ö3); h = 3/2r; r = 2/3*h
Triangolo Rettangolo (angoli: 30‹- 60‹)	ipo. = (1/2)cat. min.; cat mag. = ipo.(Ö
Triangolo Rettangolo (angoli: 45‹)	AB = AC; BC = AB*(Ö

GEOMETRIA ANALITICA

DEFINIZIONI

Fasci di Rette

Quando nellfequazione compare un parametro. Esempio: Y = 2KX + 2 – K

K può avere infiniti valori e lfequazione infinite rette rispetto a K

Fasci Impropri

Il parametro compare solo nel termine improprio e quindi cambia solo lui. Le rette sono sempre parallele tra loro. Esempio: Y = 2X + K – 2

Fasci Propri

Il parametro compare in entrambi i termini Esempio: Y = 2KX + K + 4

Parabola

Luogo geometrico di punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice. La sua e 747i81h quazione è: y = ax²+bx+c

Asse	Retta passante per il fuoco perpendicolare alla direttrice.
Vertice	Punto di intersezione tra asse e parabola.

Circonferenza

FORMULE

FASCI IMPROPRI (y = 2x + k – 2)

Retta Base

(fasci impropri)

Eguagli il termine improprio a zero, trovi K e lo sostituisci allfequazione

FASCI PRORPI (y = 2kx + k + 4)
Centro del Fascio	Dare 2 valori a piacere a K e sostituirli nellfequazione. Poi mettere le equazioni trovate sotto sistema
Perpendicolare alla Retta Data	Trasformare entrambe le equazione in forma esplicita, trovare i coefficienti angolari usare la seguente formula: M * M₁ = -1
Parallela alla Retta Data	Trasformare entrambe le equazione in forma esplicita, trovare i coefficienti angolari usare la seguente formula: M = M₁
Valori di K per la Retta Passante per un punto	Sostituire le coordinate del punto alla retta. Se si chiede la retta sostituire K allfequazione

RETTA

Distanza di due Punti

Ö (X₂- X₁)²+ (Y₂- Y₁)²/ 2

Coordinate del Punto Medio di un Segmento

Xm = X₁+ X₂/ 2

Ym = Y₁+ Y₂/ 2

Retta Passanteper lfOrigine

Y = MX

Quadranti 1 e 3 M >

Quadranti 2 e 4 M <

Equazione di una Retta Generica

Y = MX + Q

Equazione di una Retta Passante per 2 Punti

A (1,2)

B (-3,0)

0 = -3M + Q

2 = M + Q

sostituire e mettere le equazioni sotto sistema

Intersezione di due Rette

Mettere a sistema le equazioni delle due rette

Rette Parallele

Coefficiente angolare uguale (M)

Formula per una Retta Parallela ad unfaltra Passante per un Punto

Y - Y₀= M (X - X₀)

Rette Perpendicolare

M * M₁ = -1 o M₁ = -(1/M)

Formula per una Retta Perpendicolare ad unfaltra Passante per un Punto

Y-Y₀ = -(1/M) (X – X₀)

Distanza Perpendicolare di un Punto da una Retta

AX₀ + BX₀ + C Ö A² + B²

PARABOLA (y=x²+x+1)

Vertice.

-(b/2a); -(/4a)

Fuoco.

-(b/2a): (1-/4a

Direttrice.

Y = -[(1+)/4a]

delta).

b²-4*a*c

Equazione della Parabola Passante per 3 Punti.

Sostituzione dei punti allfequazione generica e metterli a sistema

a (2;4) b (3;6) c (1;2)

A	4 = 4a+2b+c
B	6 = 6a+3b+c
C	2 = a+b+c

Equazione della Parabola

se cfè il Vertice.

Guarda riga 5 + usare uguaglianza tra formula x del vertice e la x del vertice

a (2;4) V (3;6)

A	4 = 4a+2b+c
V	6 = 6‹+3b+c
V	-(b/2a) = 3

Equazione della Parabola

se cfè il Fuoco.

Guarda riga 5 + usare uguaglianza tra formula x del fuoco e la x del fuoco

2 Punti e Fuoco		1 Punto e Fuoco
a (2;4) b (3;6) F (2;1)		a (2;4) F (2;1)
A	4 = 4a+2b+c	A	4a+2b+c
B	6 = 6‹+3b+c	F	-(b/2a) = 2
F	-(b/2a) = 2	F	-(b/2a) = 14

Equazione della Parabola

se cfè la Direttrice.

Guarda riga 5 + usare uguaglianza tra formula della direttrice e la direttrice

a (2;4) b (3;6) Dir. (y = 3)

A	4 = 4a+2b+c
B	-(b/2a) = 3
D	-[(1+)/4a] = 3

Retta Tangente una Parabola Passante per 1 Punto

Sistema tra lfEquazione della Parabola e quella delle Rette Parallele y-y₀ = m(x-x₀) sostituendo le coordinate del punto.

Y = 2x²+5x-3; P (-2;-7)

Y+7 = m(x+2)

Y = 2x²+5x-3

2x²+(5-m)x+4-2m = 0

Sostituire alla formula del ƒ¢ = 0

(5-m)²-8(4-2m) = 0

Trovato m sostituire alla prima

Intersezione Retta-Parabola

Mettere a Sistema le 2 Equazioni

Intersezione Parabola-Parabola

Mettere a Sistema le 2 Equazioni

Intersezione

Parabola-Fascio Proprio

Mettere a Sistema le 2 Equazioni, Svolgerlo, Trovare ∆=0, sostituire le m.

Disegnare Parabola

Trova il vertice; Dai 2 valori alla x e li sostituisci allfequazione

DISCUSSIONE

Realtà

Segno della Radice

∆≥0; A≥0; B≥0; C≥0

Permanenze = negativo; Variazioni = positivo

Su C 1 sol neg o pos e x=0

Su ƒ¢, se 1 perm e 1 var = no sol

TEOREMI GEOMETRIA
Angolo Esterno	Ogni angolo esterno di un triangolo non degenere è maggiore di ognuno dei due angoli interni non adiacenti ad esso.
Bisettrice	In un angolo esiste sempre ed è unica.
Bisettrice Angolo Interno	In un triangolo, la bisettrice di un angolo interno interseca il lato opposto in un punto che divide il lato stesso in due parti direttamente proporzionali agli altri due lati del triangolo.
Bisettrice Angolo Esterno	In un triangolo, la bisettrice di un angolo esterno interseca il prolungamento del lato opposto in un punto tale che le distanze di quel punto dagli estremi del lato stesso siano proporzionali agli altri due lati del triangolo.
1‹ Congruenza dei Triangoli	Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e lfangolo tra essi compreso.
2‹ Congruenza dei Triangoli	Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due angoli e il lato compreso
3‹ Congruenza dei Triangoli	Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i lati.
1‹ Euclide	In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su di un cateto è equivalente ad un rettangolo che ha per lati la proiezione sullfipotenusa del cateto stesso e lfipotenusa stessa.
2‹ Euclide	Il quadrato costruito sullfaltezza relativa allfipotenusa è equivalente ad un rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sullfipotenusa.
Pitagora	La somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sullfipotenusa.
Punto Medio	In un segmento esiste sempre ed è unico.
Rette Parallele	Se formano con una trasversale angoli alterni interni congruenti, esteri congruenti, corrispondenti congruenti, coniugati (interni o esterni) supplementari.
1‹ Similitudine dei Triangoli	Due triangoli sono simili se hanno 2 angoli uguali.
2‹ Similitudine dei Triangoli	Due triangoli sono simili se hanno due lati in proporzione e lfangolo tra essi compreso uguale.
3‹ Similitudine dei Triangoli	Se hanno tutti e tre i lati in proporzione.
Triangolo non Degenere	Ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della differenza degli altri due.
Triangolo non Degenere con due Lati e due Angoli non Congruenti	A lato maggiore è opposto angolo maggiore; ad angolo minore è opposto angolo minore. Ad Angolo Maggiore è opposto lato maggiore; ad angolo minore è opposto lato minore.

DEFINIZIONI DI TRIGONOMETRIA

Seno	Rapporto tra il segmento BH e il raggio OB. Ordinata dellfestremo B (Misura del segmento BH)
Coseno	Rapporto tra il segmento OH e il raggio OB. Ascissa dellfestremo B (Misura del segmento OH)
Tangente	Rapporto tra il segmento AT e il raggio OA. Ordinata del punto di intersezione T tra la tangente geometria in A e il prolungamento del raggio OB (Misura del segmento AT)
Cotangente	Rapporto tra il segmento CT' e il raggio OC. Ascissa del punto di intersezione T' tra la tangente geometria in C e il prolungamento del raggio OB (Misura del segmento CT')
Secante	Rapporto tra il segmento OS e il raggio OB. Ascissa del punto di intersezione S tra la tangente geometria in B con lfasse delle gXh (Misura del segmento OS)
Cosecante	Rapporto tra il segmento BH e il raggio OB. Ordinata del punto di intersezione S' tra la tangente geometria in B con lfasse delle gYh (Misura del segmento OS')

Prima Relazione Fondamentale	cos² a+ sen²a	sen² = 1-cos²
		cos² = 1-sen²
Seconda Relazione Fondamentale	tga = sena / cosa
Terza Relazione Fondamentale	cotga = cosa / sena
Quarta Relazione Fondamentale	seca = 1/ cosa
Quinta Relazione Fondamentale	coseca = 1/ sena

TABELLA DELLE FUNZIONE DEGLI ANGOLI PRINCIPALI
a (a‹)	Seno	Coseno	Tangente	Cotangente	Secante	Cosecante

TABELLA DEGLI ARCHI ASSOCIATI
	Archi Compl.	Archi Suppl.	Archi Espl.	Archi Opp.	Archi 90‹	Archi 180‹
	a	a	a	a	a	a
senb	(cosa	(sena	(-sena	(-sena	(cosa)	(-sena
cosb	(sena)	(-cosa	(cosa	(cosa	(-sena)	(-cosa
tgb	(cotga	(-tga	(-tga	(-tga	(-cotga	(tga
cotgb	(tga	(-cotga	(-cotga	(-cotga)	(-tga)	(cotga
secb	(coseca	(-seca	(seca	(seca	(-coseca)	(-seca
cosecb	(seca	(coseca	(-coseca	(-coseca)	(seca	(-coseca

TABELLA DELLE FUNZIONE DELLfANGOLO DI 45‹ E MULTIPLI
		Arco Suppl.	Arco 180‹	Arco Opp.

sen	Ö	Ö	Ö2/2	Ö2/2
cos	Ö	Ö	Ö2/2	Ö2/2
tg
cotg
sec	(Ö2)	(-Ö2)	(-Ö2)	(Ö2)
cosec	(Ö2)	(Ö2)	(-Ö2)	(-Ö2)

TABELLA DELLE FUNZIONE DELLfANGOLO DI 60‹ E MULTIPLI
		Arco Suppl.	Arco 180‹	Arco Opp.

sen	Ö	Ö	Ö	Ö
cos
tg	Ö	Ö	Ö	Ö
cotg	Ö	Ö	Ö	Ö
sec
cosec	[(2*Ö3)/3]	[(2*Ö3)/3]	[-(2*Ö3)/3]	[-(2*Ö3)/3]

TABELLA DELLE FUNZIONI DELLfANGOLO DI 30‹ E MULTIPLI
		Arco Suppl.	Arco 180‹	Arco Opp.

sen
cos	Ö	Ö	Ö	Ö
tg	Ö	Ö	Ö	Ö
cotg	Ö	Ö	Ö	Ö
sec	Ö	Ö	Ö	Ö
cosec

EQUAZIONE GEOMETRICA DI SECONDO GRADO COMPLETA

Formula Base

asen²x}bsenxcosx}ccos²x = 0

Svolgimento

sen²x+2senxcosx–3cos²x = 0 ¨ (sen²x/cos²x)+(2senxcosx/cos²x)–(3cos²x/cos²x) = 0 ¨ tg²x+2tgx–3 = 0 ¨ tgx_1,2 = -1}ã(1+3) ¨ -1}2 ¨ tgx₁= -3; tgx₂= 1; x₁= ƒÎ/4+kƒÎ; x₂= actg(-3)+kƒÎ

sen²x+2senxcosx–3cos²x = 0 ¨ (sen²x/sen²x)+(2senxcosx/sen²x)–(3cos²x/sen²x) = 0 ¨ 3cotg²x-2cotgx–1 = 0 ¨ cotgx_1,2 = [1}ã(1+3)]/3 = (1}2)/3 ¨ cotgx₁= -1/3; cotgx₂= 1; x₁= actg (-1/3)+kƒÎ; x₂= ƒÎ/4+kƒÎ

EQUAZIONE GEOMETRICA DI SECONDO GRADO INCOMPLETA
Formula Base	asen²x}bsenxcosx}ccos²x = 0 o asen²x}bsenxcosx = 0 o asen²x}ccos²x = 0
Svolgimento	sen²x+ã(3)senxcosx = 0 ¨ (sen²x/cos²x)+[ã(3)senxcosx /cos²x] = 0 ¨ tg²x+ã(3)tgx = 0 ¨ tgx[tgx+ã(3)] = 0 ¨ tgx₁ = 0; tgx₂= -ã3 ¨ tgx₁ = kƒÎ; tgx₁ = 2/3ƒÎ+kƒÎ sen²x+ã(3)senxcosx = 0 ¨ (sen²x/sen²x) + [ã(3)senxcosx/sen²x] = 0 ¨ 1+ã(3)cotgx = 0 ¨ cotgx+ã(3)] = 0 ¨ cotgx₁ = -ã3/3; senx = 0 ¨ cotgx₁ = 2/3ƒÎ+kƒÎ; senx = kƒÎ
P.S.: Se nella trasformazione lfequazione si abbassa di grado, vuol dire che abbiamo perso delle soluzioni, quindi si eguaglia a g0h ciò con cui abbiamo diviso lfequazione iniziale.

EQUAZIONE GEOMETRICA DI SECONDO GRADO NON UGUALE A ZERO

asen²x}bsenxcosx}ccos²x = d

d	d(cos²x+ sen²x)

FORMULE DI ADDIZIONE		FORMULE DI SOTTRAZIONE
sen (a b	senasenb+cosacosb	sen (a b	senasenb-cosacosb
cos (a b	cosacosb-senasenb	cos (a b	cosacosb+senasenb

FORMULE DI DUPLICAZIONE
sen2	2sen cos
cos2	cos²–sen²
tg2	(2tg)/(1-tg²)	‚(ƒÎ/2)+kƒÎ ‚(ƒÎ/2)+kƒÎ ¨‚(ƒÎ/4)+(kƒÎ/2)
cotg2	(1-tg²)/(2tg)	‚(ƒÎ/2)+kƒÎ ‚(ƒÎ/2)+kƒÎ ¨‚(ƒÎ/4)+(kƒÎ/2)

LOGARITMI
log(m * n)	logm + logn
log(m/n)	logm – logn
log(mⁿ)	n * logm
log(ⁿãm)	1/n * logm
logx = 0	logx = log1
logx = 1	logx = log10
2logx = 2	logx² = 2
Logx = -1	logx = 1/10

FUNZIONI

Funzione	Formula	Dominio
F.A.R.I.	y=x²+3x+2	D:
F.A.R.F.	y=(x2+2)/(x+1)	D:
F.A.I.I.	y=ã(x+4)	D:
F.A.I.I.	y=³ã(x+4)	D:
F.A.I.F.	y=ã(x+3)/x	D:
F.T.G.	y=sen(x)	D:
	y=cos(x)	D:
	y=tg(x)	D:
	y=cotg(x)	D:
F.T.L.	y=log(x+1)	D:
F.T.E.	y=(x-2)^x+3	D:

TANGENTE FUNZIONE
Rapporto Incrementale	[f(x₀+h)-f(x)]/h
Derivata	lim 2+h h ¨ 0
Formula Tangente	y-f(x₀)=ff(x₀)(x-x₀)

ASINTOTI
NOME	SVOLGIMENTO
Verticale	lim f(x) = ‡ x ¨ dominio
Orizzontale	lim f(x) = numero intero x ¨ ‡
Obliquo (se non cfè lforizzontale) y = mx+q	m =	lim f(x)/x x ¨ ‡
	q =	lim f(x)-mx x ¨ ‡

DERIVATE
NOME	FORMULA
Derivata della Somma	D[f(x)+g(x)] = D[f(x)]+D[f(x)]
Derivata del Prodotto	D[f(x)·g(x)] = D[f(x)]·g(x)+f(x)·D[g(x)]
Derivata del Quoziente	D = /[g(x)]²

DERIVATE NOTEVOLI
FUNZIONE	DERIVATA
y = K	yŒ = 0
y = x	yŒ = 1
y = xⁿ	yŒ = nx^(n-1)
y = senx	yŒ = cosx
y = cosx	yŒ = -senx
y = tgx	yŒ = 1/cos²x
y = cotgx	yŒ = -(1/sen²x)

DERIVATE NOTEVOLI FUNZIONI INVERSE
FUNZIONE	DERIVATA
y = arcsenx	yŒ = 1/ã(1-x²)
y = arccosx	yŒ = -[1/ã(1-x²)]
y = arctgx	yŒ = 1/(1+x²)
y = arccotgx	yŒ = -[1/(1+x²)]
y = lnx	yŒ = 1/x
y =e^x	yŒ = e^x

DERIVATE DI FUNZIONI COMPOSTE
FUNZIONE	DERIVATA
y = [f(x)]ⁿ	yf = n[f(x)]^n-1·[fŒ(x)]
y = sen[f(x)]	yŒ = cos[f(x)]·[fŒ(x)]
y = cos[f(x)]	yŒ = -
y = tg[f(x)]	yŒ = [fŒ(x)]/
y = cotg[f(x)]	yŒ = -[fŒ(x)]/
y = arcsen[f(x)]	yŒ = fŒ(x)/ã
y = arctgx[f(x)]	yŒ = fŒ(x)/
y = arccotgx[f(x)]	yŒ = -[fŒ(x)]/
y = ln[f(x)]	yŒ = fŒ(x)/f(x)
y = e^[f(x)]	yŒ = [fŒ(x)]e^[f(x)]
y = ã[f(x)]	yŒ = fŒ(x)/2ã [f(x)]

MASSIMI E MINIMI

1) derivata della funzione;

2) derivata maggiore e uguale a 0

3) grafico numeratore e denominatore;

4) + crescono /, - diminuiscono \;

5) vedere i punti di massimo e minimo;

6) sostituire i punti alla f(x) per trovare y

FLESSI

1) derivata seconda della funzione;

2) derivata maggiore e uguale a 0;

3) grafico numeratore e denominatore;

4) + concavità verso lfalto U, - concavità verso il basso ¿;

5) vedere i punti di flesso

6)sostituire i punti alla f(x) per trovare le y

METODO DERIVATE SUCCESSIVE
Massimi, Minimi, Flessi a Tangente Orizzontale	f ¹ (x₀) = 0	f ² (x₀) > 0 ¨ x₀= min
		f ² (x₀) > 0 ¨ x₀ = MAX
		f ² (x₀) = 0	f ³ (x₀) > 0 ¨ x₀ = flesso tg or
			f ³ (x₀) < 0 ¨ x₀ = flesso tg or
			f ³ (x₀) = 0	f ⁴ = vedere la derivata 2‹
Flessi Ascendenti, Discendenti, Concavità Verso il Basso e lfAlto	f ² (x₀) = 0	f ³ (x₀) > 0 ¨ x₀= flesso ascendente
		f ³ (x₀) > 0 ¨ x₀ = flesso discendente
		f ³ (x₀) = 0	f ⁴ (x₀) > 0 ¨ x₀ = concavità alta
			f ⁴ (x₀) < 0 ¨ x₀ = concavità bassa
			f ⁴ (x₀) = 0	f ⁵ = vedere la derivata 3‹

GRAFICO FUNZIONI NORMALI
Esempio	y =x-2
Cose da Fare	Spiegazione
Dominio	Vedere dominio delle funzioni
Positività	f(x) > 0
Intersezioni con gli Assi	Sistema tra f(x) e	Y = 0
		X = 0
Asintoti	Vedi asintoti
Massimi, Minimi	Vedi massimi e minimi
Flessi	Vedi flessi
Grafico

GRAFICO FUNZIONI IRRAZIONALI
Esempio	Y = ã(x–2)
Cose da Fare	Spiegazione
Dominio	Vedere dominio delle funzioni
Positività	f(x) > 0 ¨ +++
Intersezioni con gli Assi	Sistema tra f(x) e	Y = 0
		X = 0
		X ‚ numero
Asintoti	Asintoto Verticale	Vedere Asintoti Verticale Vedere se è destro o sinistro dal dominio Se è ‡ vedere sul grafico del dominio se è + o -
	Asintoto Orizzontale	Vedere Asintoto Orizzontale Vedere sul dominio se tende a ‡ e dove Se tende fare il limite per x tendente a dove cfè lf‡ Se non tende ad ‡ non cfè Asintoto Orizzontale
	Asintoto Obliquo	Vedere Asintoti Obliqui Far tendere la x allf‡ dellfAsintoto Orizzontale Se non tendeva ad ‡, non cfè Asintoto Obliquo
Massimi, Minimi	Vedi Massimi e Minimi, escludendo la parte in cui la funzione non è verificata (vedi dominio)
Flessi	Vedi Flessi, escludendo la parte in cui la funzione non è verificata (vedi dominio)
Grafico

GRAFICO FUNZIONI GONIOMETRICHE
Esempio	y = (cosx)/(senx-1) [0,2ƒÎ]
Cose da Fare	Spiegazione
Dominio	Vedere dominio delle funzioni Trasformare i senx e cosx in x
Positività	f(x) > 0 Trasformare i cosx e senx in x Grafico di numeratore e denominatore (cerchio) Grafico dei Segni tra le x
Intersezioni con gli Assi	Sistema tra f(x) e	X = 0
		Y = 0
		X = 2ƒÎ
Asintoti	Asintoto Verticale	Vedere Asintoti Verticali Se da come risultato 0 è un Punto di Discontinuità Eliminabile da mettere nel grafico
Massimi, Minimi	Vedere Massimi e Minimi
Flessi	Vedere Flessi
Grafico

GRAFICO FUNZIONI ESPONENZIALI
Base	y = e^{-x^2}¨ y = e^f(x)
Cose da Fare	Spiegazione
Dominio	Dominio ¨ Dominio di f(x)
Positività	e^f(x) > 0 ¨ +++
Intersezioni con gli Assi	Sistema tra e^x e	X = 0
Asintoti	Asintoto Verticale	Vedere Asintoti Verticali
	Asintoto Orizzontale	Vedere Asintoti Orizzontali Per x ¨ a + o - ‡
	Asintoto Obliquo	Vedere Asintoti Obliqui Per x ¨ a lf‡ non asintoto orizzontale
Massimi, Minimi	Vedere Massimi e Minimi
Flessi	Vedere Flessi
Grafico
Regole	lim e^f(x)= e ^{lim (fx)}
	lim e^f(x) = +‡ f(x) ¨ +‡	lim e^f(x) = 0 f(x) ¨ -‡

GRAFICO FUNZIONI LOGARITMICHE
Esempio	y = lnf(x)
Cose da Fare	Spiegazione
Dominio	f(x) > 0 Dominio f(x)
Positività	ln[f(x)] > 0 ¨ f(x) > 1
Intersezioni con gli Assi	Sistema tra f(x) e	Y = 0
Asintoti	Asintoto Verticale	Vedere Asintoti Verticali Vedere dal grafico del dominio se hanno il limite destro o sinistro
	Asintoto Orizzontale	Vedere Asintoti Orizzontali Vedere se lf‡ tende a + o -
	Asintoto Obliquo	Vedere Asintoti Obliqui La x tende a quello che tende nellfasintoto orizzontale Se la m=0 è una retta parallela allfasse delle x, Non cfè asintoto, si sa che allfinfinito la f(x) tende ad essere parallela allfasse delle x
Massimi, Minimi	Vedere Massimi e Minimi
Flessi	Vedere Flessi
Grafico
Regole	ln[f(x)] = 0 ¨ f(x) = 1
	lim ln[f(x)] = ln [limf(x)]
	lim ln[f(x)] = -‡ f(x) ¨ 0
	lim ln[f(x)] = +‡ f(x) ¨ +‡

LIMITI

LIMITI

NOME

DEFINIZIONE

Intervallo

Insieme dei numeri compresi tra a e b.

NOME	FORMULA
Intervallo Aperto (a;b)
Intervallo Chiuso [a;b]
Intervallo Chiuso su a Aperto su b [a;b)
Intervallo Aperto su a Chiuso su b (a;b]

Intorno

Si chiama intorno di un numero reale finito x₀ un qualunque intervallo

aperto (x₀-ƒÂ, x₀+ƒÂ) di centro x₀ e semi-ampiezza ƒÂ.

Un generico intorno del numero a verrà indicato con I(x₀).

Formula: I(x₀) =

Punto di

Accumulazione

Un punto x₀ di R é di accumulazione per lfinsieme A R quando per

ogni intorno contiene esiste un punto x appartenente ad A tale che

x appartiene allfintorno.

Formula: Ix₀ xєA/xєIx₀

Limite Finito

per x¨x₀

lim f(x)=l

x¨x₀

Per ogni epsilon (numero molto piccolo) positivo esiste un Intorno di x₀ tale che per ogni x appartenente allfintorno il valore assoluto di f(x)-l sia minore di epsilon

Formula: ƒÃ>0 Ix₀/xєIx₀ |f(x)-l|<ƒÃ ¨ l-ƒÃ<f(x)<l+ƒÃ

Limite Infinito

per x¨x₀

lim f(x)=‡

x¨x₀

Per ogni M (numero molto grande) positivo esiste un intorno di x₀tale che per ogni x appartenente allfintorno il valore assoluto di f(x) sia maggiore di M

Formula: M>0 Ix₀/xєIx₀ |f(x)|>M

Limite Finito

per x¨‡

lim f(x)=l

x¨‡

Per ogni epsilon (numero molto piccolo) negativo esiste una N (numero molto grande) positivo tale che per ogni x maggiore di N il valore assoluto di f(x)-l sia minore di epsilon

Formula: ƒÃ<0 N>0/x>N |f(x)-l|<ƒÃ ¨ l-ƒÃ<f(x)<l+ƒÃ

Limite Infinito

per x¨‡

lim f(x)=‡

x¨‡

Per ogni M (numero molto grande) positivo esiste una N (numero molto grande) positivo tale che per ogni x maggiore di N il valore assoluto di f(x) sia maggiore di M

Formula: M>0 N>0/x>N |f(x)|>M

Limite + Infinito

per x¨+‡

lim f(x)=+‡

x¨+‡

Per ogni M (numero molto grande) positivo esiste una N (numero molto grande) positivo tale che per ogni x maggiore di N il valore assoluto di f(x) sia maggiore di M

Formula: M>0 N>0/x>N |f(x)|>M

Limite - Infinito

per x¨+‡

lim f(x)=-‡

x¨+‡

Per ogni M (numero molto grande) positivo esiste una N (numero molto grande) positivo tale che per ogni x minore di -N il valore assoluto di f(x) sia maggiore di M

Formula: M>0 N>0/x<-N |f(x)|>M

Limite + Infinito

per x¨-‡

lim f(x)=+‡

x¨-‡

Per ogni M (numero molto grande) positivo esiste una N (numero molto grande) positivo tale che per ogni x maggiore di N il valore assoluto di f(x) sia minore di -M

Formula: M>0 N>0/x>N |f(x)|<-M

Limite - Infinito

per x¨-‡

Lim f(x)=-‡

x¨-‡

Per ogni M (numero molto grande) positivo esiste una N (numero molto grande) positivo tale che per ogni x minore di -N il valore assoluto di f(x) sia minore di -M

Formula: M>0 N>0/x<-N |f(x)|<-M

Asintoto

Retta a cui la funzione tende senza mai toccare, ovvero, la funzione e lfasintoto si incontrano allfinfinito.

Limite Destro

Limite Sinistro

Teorema della Permanenza del Segno

y=f(x)

Lim f(x)=l

x¨x₀

Esiste un intorno di x₀ tale che per ogni x appartenente allfintorno di x0 la funzione assume il segno del limite e viceversa

Formula: Ix₀/xєIx₀

l>0¨f(x)>0 o f(x)>0¨l>0

l<0¨f(x)<0 o f(x)<0¨l<0

Limite della Somma di Due Funzioni

Lim f(x)=l₁

x¨x₀

Lim [f(x)+g(x)]

x¨x₀

Lim f(x)

x¨x₀

Lim g(x)

x¨x₀

l₁+l₂

Lim g(x)=l₂

x¨x₀

Il limite della somma di due funzioni è uguale alla somma dei due limiti

Limite del Prodotto di Due Funzioni

Lim f(x)=l₁

x¨x₀

Lim [f(x)·g(x)]

x¨x₀

Lim f(x)

x¨x₀

Lim g(x)

x¨x₀

l₁·l₂

Lim g(x)=l₂

x¨x₀

Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei due limiti

Limite del Quoziente di Due Funzioni

Lim f(x)=l₁

x¨x₀

Lim [f(x)/g(x)]

x¨x₀

Lim f(x)

x¨x₀

Lim g(x)

x¨x₀

l₁/l₂

Lim g(x)=l₂

x¨x₀

Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei due limiti

TABELLE

NOME

TABELLA

Limite della Somma di Due Funzioni

l₁	l₂	l₁+l₂
l₁
l₁


		F.I.

Limite del Prodotto di Due Funzioni

l₁	l₂	l₁-l₂
l₁
l₁



		F.I.

Limite del Quoziente di Due Funzioni

l₁	l₂	l_1/l₂
	l₂
	l₂
l₁
l₁
		F.I.
		F.I.

‡/‡ cfè solo quando abbiamo:

lim (a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂^xn-3+c+an)/(b₀x^m+b₁x^m-1+b₂x^m-3+c+bm)= x¨‡

Limite di Fiunzioni Irrazionali

Lim ã(2x²-2)-ã(2x²-x-1)

x¨‡

Domino per veder se x¨ + 0 – ‡

Fare tutto fratto 1

Razzionalizzare il numeratore

ãx²	x quando x ¨ +‡
	0 quando x ¨ 0
	-x quando x ¨ -‡

Primo Limite Notevole

lim (senx)/(x)

x¨0

lim (x)/(senx)

x¨0

lim /[f(x)]

x¨0

PrimoLimite Notevole

lim [1+(1/x)]^x = e

x¨‡

lim = e

x¨‡

lim (1+x)^(1/x) = e

x¨‡

GRAFICI
NOME	GRAFICO	SPIEGAZIONE
Limite Finito per x¨x₀		Preso un punto x dellfIx₀, si crea sulla funzione un punto che si trova nellfIl. Se prendiamo dei valori sullfasse delle x che si avvicinano a x₀, sullfasse delle y i valori si avvicineranno a l.
Limite Infinito per x¨x₀		Preso un punto M sullfasse delle y, si formano sulla funzione due punti formanti, sullfasse delle x, gli estremi dellfIx₀. Preso un punto x dellfI x₀, esso stabilisce un punto della funzione che, sullfasse delle y, è maggiore di M. Più ci avviciniamo a x_0,più la funzione tende allfinfinito.
Limite Finito per x¨‡
Limite Infinito per x¨‡		Preso un punto M sullfasse delle y, esso forma un punto sulla funzione determinante, sullfasse delle x, un punto N. Preso un punto x maggiore di N, esso determina sulla funzione un punto che, sullfasse delle y, è maggiore di M.

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Soluzione

1‹: AX4+BX2+C > o ³ o < o £

2‹: AX2+BX+C = A(X X1)*(X X2)

DISEQUAZIONI

IRRAZIONALI 1‹ TIPO

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI 2‹ TIPO

GEOMETRIA ANALITICA

DEFINIZIONI

FORMULE

FASCI PRORPI (y = 2kx + k + 4)

RETTA

PARABOLA (y=x2+x+1)

TEOREMI GEOMETRIA

DEFINIZIONI DI TRIGONOMETRIA

TABELLA DELLE FUNZIONE DEGLI ANGOLI PRINCIPALI

FUNZIONI

Dominio

MASSIMI E MINIMI

1) derivata della funzione;

3) grafico numeratore e denominatore;

4) + crescono /, - diminuiscono \;

5) vedere i punti di massimo e minimo;

6) sostituire i punti alla f(x) per trovare y

LIMITI

FORMULA

Intorno

GRAFICO

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DISEQUAZIONI DI 4‹ GRADO

1‹: AX⁴+BX²+C > o ³ o < o £

2‹: AX²+BX+C = A(X X₁)*(X X₂)

IRRAZIONALI 1‹ TIPO

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI 2‹ TIPO

PARABOLA (y=x²+x+1)