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SCHEMA PER LO STUDIO DI TRASFORMAZIONI

matematica



SCHEMA PER LO STUDIO DI TRASFORMAZIONI 

  • Calcolo del modulo della trasformazione =

<0 trasformazione inversa

>0 trasformazione diretta

=0 non è una trasformazione

||=k2 che è il rapporto di affinità e quindi il rapporto tra le aree di figure corrispondenti

Se =1 l'affinità si dice equivalente perché conserva le aree di figure corrispondenti.


  • Si controlla se l'affinità è una similitudine guardando se muta circonferenze in circonferenze.

Si considera l'equazione X2+Y2=r2 e si guarda se la trasformata è ancora una circonferenza. Si dimostra che per una similitudine si ha

Una particolare similitudine è l'omotetia che ha equazioni  in cui |k| è il rapporto di omotetia. Se |k|>1 si ha un ingrandimento, se |k|<1 si ha un rimpicciolimento.

L'omotetia ha un punto unito che è il centro di omotetia e un fascio proprio di rette unite avente centro nel centro di omotetia.

Se una similitudine ha ||=1, allora è una isometria. La classificazione avviene in base agli elementi uniti.

  • Ricerca degli elementi uniti

Gli elementi uniti sono soluzione del sistema  e cioè .

Tale sistema è di primo grado e quindi può ammettere

0 soluzioni--------- nessun elemento unito

1 soluzione-------- 1 punto unito

Infinite soluzioni------ una retta luogo di punti uniti


Si devono poi ricercare le rette unite del tipo Y=mX+q e X=t applicando la trasformazione



NB: quando hai una curva del tipo y=f(x) e devi trovarne la trasformata , spesso sei costretto a determinare la trasformazione inversa. Per determinarla basta risolvere il sistema

 rispetto alle incognite x y.







Classificazione delle isometrie in base agli elementi uniti



Punti uniti

Rette unite

Isometrie dirette










=1

Traslazione

Non ha punti uniti

Un fascio improprio di rette unite che dà la direzione della traslazione

Rotazione

Un solo punto unito detto centro di rotazione

Dipende dall'angolo di rotazione

Simmetria centrale

Si ottiene imponendo che il punto medio tra due corrispondenti sia il centro di simmetria


È una rotazione con angolo

Un punto unito

Un fascio proprio di rette unite di centro il centro di simmetria

Isometrie inverse




=-1

Simmetria assiale  Per determinare le equazioni di una simmetria assiale di asse la retta ax+by+c=0 si deve

Imporre che il coefficiente angolare della retta che unisce due punti corrispondenti sia l'antireciproco di quello dell'asse di simmetria

Imporre che il punto medio tra i due corrispondenti appartenga all'asse di simmetria


Una retta luogo di punti uniti

Un fascio improprio di rette unite perpendicolari all'asse di simmetria

Glissosimmetria


Si ottiene componendo una traslazione con una simmetria assiale: l'asse della simmetria diventa l'asse della glissosimmetria

Non ha punti uniti

Una retta unita detta asse di glissosimmetria





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