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SCHEMA PER LO STUDIO DI TRASFORMAZIONI
<0 trasformazione inversa
>0 trasformazione diretta
=0 non è una trasformazione
||=k2 che è il rapporto di affinità e quindi il
rapporto tra le aree di figure corrispondenti
Se =1 l'affinità si dice equivalente perché conserva le aree di
figure corrispondenti.
Si considera
l'equazione X2+Y2=r2 e si guarda se la
trasformata è ancora una circonferenza. Si dimostra che per una similitudine si
ha
Una particolare
similitudine è l'omotetia che ha equazioni in cui |k| è il
rapporto di omotetia. Se |k|>1 si ha un ingrandimento, se |k|<1 si ha un
rimpicciolimento.
L'omotetia ha un punto unito che è il centro di omotetia e un fascio proprio di rette unite avente centro nel centro di omotetia.
Se una similitudine
ha ||=1, allora è una isometria. La classificazione avviene in
base agli elementi uniti.
Gli elementi uniti
sono soluzione del sistema e cioè
.
Tale sistema è di primo grado e quindi può ammettere
0 soluzioni--------- nessun elemento unito
1 soluzione-------- 1 punto unito
Infinite soluzioni------ una retta luogo di punti uniti
Si devono poi ricercare le rette unite del tipo Y=mX+q e X=t applicando la trasformazione
NB: quando hai una curva del tipo y=f(x) e devi trovarne la trasformata , spesso sei costretto a determinare la trasformazione inversa. Per determinarla basta risolvere il sistema
rispetto alle
incognite x y.
Classificazione delle isometrie in base agli elementi uniti
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Punti uniti |
Rette unite |
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Isometrie dirette |
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Traslazione |
Non ha punti uniti |
Un fascio improprio di rette unite che dà la direzione della traslazione |
Rotazione |
Un solo punto unito detto centro di rotazione |
Dipende dall'angolo di rotazione |
||
Simmetria centrale Si ottiene
imponendo che il punto medio tra due corrispondenti sia il centro di
simmetria È una rotazione con
angolo |
Un punto unito |
Un fascio proprio di rette unite di centro il centro di simmetria |
||
Isometrie inverse |
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Simmetria assiale Per determinare le equazioni di una simmetria assiale di asse la retta ax+by+c=0 si deve Imporre che il coefficiente angolare della retta che unisce due punti corrispondenti sia l'antireciproco di quello dell'asse di simmetria Imporre che il punto medio tra i due corrispondenti appartenga all'asse di simmetria |
Una retta luogo di punti uniti |
Un fascio improprio di rette unite perpendicolari all'asse di simmetria |
Glissosimmetria Si ottiene componendo una traslazione con una simmetria assiale: l'asse della simmetria diventa l'asse della glissosimmetria |
Non ha punti uniti |
Una retta unita detta asse di glissosimmetria |
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