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Grandezze proporzionali e teorema di Talete e sue conseguenze

matematica


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Grandezze proporzionali e teorema di Talete e sue conseguenze

Grandezze direttamente  proporzionali

Consideriamo due classi di grandezze e . Supponiamo che tra gli elementi di e di intercorra una corrispondenza biunivoca, ossia una relazione che faccia corrispondere ad ogni elemento di uno ed un solo elemento di e viceversa.




Due classi di grandezza e in corrispondenza biunivoca tra di loro sono dette direttamente proporzionali se, e solo se, il rapporto tra due qualunque grandezze di è uguale al rapporto tra le grandezze omologhe della classe


Proprietà delle proporzioni

Consideriamo una proporzione:


essa ha quattro proprietà: permutare, invertire, comporre e scomporre.

Permutare - scambiando fra loro i medi e gli estremi di una proporzione si ottiene ancora una proporzione:


Invertire - data una proporzione, è ancora una proporzione valida quella ottenuta scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente:


Comporre 252b18c - in una proporzione la somma fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo), come la somma del terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto):


Scomporre - in una proporzione la differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo), come la differenza del terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto):


purché nella prima e nella seconda.



In tal caso, dette e due elementi di , e e le loro corrispondenti grandezze della classe , possiamo scrivere la proporzione:


Le grandezze sono i termini della proporzione: e si dicono antecedenti, e conseguenti; poi, e sono detti estremi della proporzione, e e medi della proporzione.

Se quattro grandezze sono in proporzione, lo sono pure i numeri che esprimono le misure di queste grandezze.


Le grandezze geometriche godono delle proprietà del permutare, dell'invertire del comporre e dello scomporre.


Teorema 1: costante di proporzionalità

Se due classi di grandezze sono direttamente proporzionali, il rapporto tra la misura di una qualsiasi grandezza della prima e la misura della corrispondente grandezza della seconda è costante.


Siano e le misure di due grandezze della classe e e le misure di due qualsiasi grandezze corrispondenti della classe

Ne consegue che:


Detto il valore del rapporto tra e , ne  viene che il quoziente tra le misure di due grandezze corrispondenti è lo stesso per ogni coppia. Tale costante prende il nome di costante di proporzionalità.


Teorema 2: criterio di proporzionalità

Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi complete di grandezze in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che a grandezze uguali di una classe corrispondano grandezze uguali dell'altra e che alla somma di due grandezze qualunque di una classe corrisponda la somma delle grandezze corrispondenti dell'altra.


Dati due classi G e G' in corrispondenza biunivoca, siano e due misure di due elementi corrispondenti con , cioè : ne consegue che le due classi sono direttamente proporzionali per il teorema prima dimostrato. Infatti consideriamo le corrispondenze e , si ha:

a.     qualora risulti , ne consegue che

b.     se consideriamo la somma , a essa rimane associata l'espressione : per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione si ha che , cioè che

Per il criterio generale di proporzionalità le due classi sono direttamente proporzionali.


Grandezze inversamente proporzionale

Consideriamo due classi di grandezze e . Supponiamo che tra gli elementi di e di intercorra una corrispondenza biunivoca, ossia una relazione che faccia corrispondere ad ogni elemento di uno ed un solo elemento di e viceversa.



Due classi di grandezza e in corrispondenza biunivoca tra di loro sono dette inversamente proporzionali se, e solo se,prese due qualunque grandezze di , e due qualunque grandezze di , risulta:


cioè il rapporto fra due qualunque grandezze della prima classe è uguale all'inverso del rapporto delle due grandezze ad esse corrispondenti della seconda classe.


Le grandezze geometriche inversamente proporzionali godono delle stesse proprietà di quelle direttamente proporzionali.


Teorema 1

Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi di grandezza in corrispondenza biunivoca siano inversamente proporzionali è che sia costante il prodotto di grandezze corrispondenti.


Si considerino le classi di grandezze inversamente proporzionali e si denotino con le misure di quante si vogliano grandezze della classe e , rispettivamente le corrispondenti grandezze delle classi . Sussistono, per definizione, le proporzioni numeriche:


dalle quali, moltiplicando rispettivamente i membri per , si deducono le uguaglianze:



Denotando con k il valore comune di tutti questi prodotti si ha:


cioè che il prodotto di grandezze corrispondenti è costante.


Teorema 2

Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca siano inversamente proporzionali è che le misure delle grandezze di una classe siano direttamente proporzionale agli inversi delle misure delle grandezze corrispondenti dell'altra.


Si considerino le classi di grandezze in corrispondenza biunivoca in cui le misure delle grandezze di una classe siano direttamente proporzionale agli inversi delle misure delle grandezze corrispondenti dell'altra. Quindi, considerati gli elementi della prima classe e gli elementi corrispondenti della seconda classe tra loro esiste la relazione:


da cui



Da cui, denotando con il valore del primo prodotto, per l'uguaglianza anche gli altri prodotti avranno come valore : quindi il loro prodotto è costante. E, poiché per il teorema prima dimostrato condizione necessaria e sufficiente affinché due classi di grandezza in corrispondenza biunivoca siano inversamente proporzionali è che sia costante il prodotto di grandezze corrispondenti, le due classi risultano inversamente proporzionale.


Teorema di Talete

Un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali.


Consideriamo un fascio di rette tutte parallele tra loro e due rette trasversali al fascio ed , che intercettano il fascio rispettivamente nei punti e A', B', C'. Mandiamo dal punto e dal punto due parallele alla retta : avremo in questo modo due triangoli e . Essendo i segmenti e paralleli tra loro tagliati dalla trasversale , gli angoli e sono congruenti perché corrispondenti; ma, anche gli angoli e sono congruenti perché formati da due rette parallele ( e ) tagliate da una trasversale ( ). Quindi, per il secondo criterio di similitudine dei triangoli, i due triangoli sono simili, e precisamente avremo che:


Ma e sono rispettivamente lati di due parallelogrammi e , e in quanto tale si ha che:


da cui, per la proprietà transitiva, si ha:

Osservazione

Oltre a questa dimostrazione, se ne può utilizzare anche un'altra.



Consideriamo sempre fascio di rette tutte parallele tra loro e due rette trasversali al fascio ed , che intercettano il fascio rispettivamente nei punti e A', B', C'. Considerando un'incognita ausiliaria , dividiamo il segmento in parti e il segmento in parti. Così avremo che:


Ora consideriamo un'incognita ausiliaria e dividiamo i segmenti e rispettivamente in e parti. Ne segue che:


da cui, per la proprietà transitiva segue che:



Al teorema di Talete seguono due corollari.


Corollario 1

Se per il punto di mezzo di un lato di un triangolo si tira la parallela ad un altro lato, essa dimezza il lato rimanente.


Consideriamo un triangolo e tracciamo la retta parallela ad e passante per . Dal punto di mezzo del lato tracciamo un'altra retta parallela a e al lato . Detto il punto di intersezione tra la retta passante per e il lato , per il teorema di Talete avremo:


Ma, poiché è il punto di mezzo del lato , si ha:


di conseguenza si avrà:


cioè il punto è il punto di mezzo del lato , e quindi il segmento divide il lato opposto in due parti uguali.


Corollario 2

Il segmento congiungente i punti di mezzo di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e congruente alla metà di esso.


Consideriamo sempre un triangolo , con ed i punti medi rispettivamente dei lati e . La parallela ad per , per il teorema dimostrato in precedenza, deve passare per il punto , punto di mezzo del lato . Sempre per il teorema prima dimostrato, il segmento condotto da al lato e parallelo al lato , divide il lato in due pari uguali: . Quindi si ha:


Ma, poiché il segmento è parallelo e congruente al segmento , il quadrilatero risulta essere un parallelogramma, e in quanto tale:


E, per la proprietà transitiva, si ha:

















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