Grandezze proporzionali e teorema di Talete e sue conseguenze

Le grandezze sono i termini della proporzione: e si dicono antecedenti, e conseguenti; poi, e sono detti estremi della proporzione, e e medi della proporzione.

Se quattro grandezze sono in proporzione, lo sono pure i numeri che esprimono le misure di queste grandezze.

Le grandezze geometriche godono delle proprietà del permutare, dell'invertire del comporre e dello scomporre.

Teorema 1: costante di proporzionalità

Se due classi di grandezze sono direttamente proporzionali, il rapporto tra la misura di una qualsiasi grandezza della prima e la misura della corrispondente grandezza della seconda è costante.

Siano e le misure di due grandezze della classe e e le misure di due qualsiasi grandezze corrispondenti della classe

Ne consegue che:

Detto il valore del rapporto tra e , ne  viene che il quoziente tra le misure di due grandezze corrispondenti è lo stesso per ogni coppia. Tale costante prende il nome di costante di proporzionalità.

Teorema 2: criterio di proporzionalità

Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi complete di grandezze in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che a grandezze uguali di una classe corrispondano grandezze uguali dell'altra e che alla somma di due grandezze qualunque di una classe corrisponda la somma delle grandezze corrispondenti dell'altra.

Dati due classi G e G' in corrispondenza biunivoca, siano e due misure di due elementi corrispondenti con , cioè : ne consegue che le due classi sono direttamente proporzionali per il teorema prima dimostrato. Infatti consideriamo le corrispondenze e , si ha:

a. qualora risulti , ne consegue che

b. se consideriamo la somma , a essa rimane associata l'espressione : per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione si ha che , cioè che

Per il criterio generale di proporzionalità le due classi sono direttamente proporzionali.

Grandezze inversamente proporzionale

Consideriamo due classi di grandezze e . Supponiamo che tra gli elementi di e di intercorra una corrispondenza biunivoca, ossia una relazione che faccia corrispondere ad ogni elemento di uno ed un solo elemento di e viceversa.

Due classi di grandezza e in corrispondenza biunivoca tra di loro sono dette inversamente proporzionali se, e solo se,prese due qualunque grandezze di , e due qualunque grandezze di , risulta:

cioè il rapporto fra due qualunque grandezze della prima classe è uguale all'inverso del rapporto delle due grandezze ad esse corrispondenti della seconda classe.

Le grandezze geometriche inversamente proporzionali godono delle stesse proprietà di quelle direttamente proporzionali.

Teorema 1

Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi di grandezza in corrispondenza biunivoca siano inversamente proporzionali è che sia costante il prodotto di grandezze corrispondenti.

Si considerino le classi di grandezze inversamente proporzionali e si denotino con le misure di quante si vogliano grandezze della classe e , rispettivamente le corrispondenti grandezze delle classi . Sussistono, per definizione, le proporzioni numeriche:

dalle quali, moltiplicando rispettivamente i membri per , si deducono le uguaglianze:

Denotando con k il valore comune di tutti questi prodotti si ha:

cioè che il prodotto di grandezze corrispondenti è costante.

Teorema 2

Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca siano inversamente proporzionali è che le misure delle grandezze di una classe siano direttamente proporzionale agli inversi delle misure delle grandezze corrispondenti dell'altra.

Si considerino le classi di grandezze in corrispondenza biunivoca in cui le misure delle grandezze di una classe siano direttamente proporzionale agli inversi delle misure delle grandezze corrispondenti dell'altra. Quindi, considerati gli elementi della prima classe e gli elementi corrispondenti della seconda classe tra loro esiste la relazione:

da cui

Da cui, denotando con il valore del primo prodotto, per l'uguaglianza anche gli altri prodotti avranno come valore : quindi il loro prodotto è costante. E, poiché per il teorema prima dimostrato condizione necessaria e sufficiente affinché due classi di grandezza in corrispondenza biunivoca siano inversamente proporzionali è che sia costante il prodotto di grandezze corrispondenti, le due classi risultano inversamente proporzionale.

Teorema di Talete

Un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali.

Consideriamo un fascio di rette tutte parallele tra loro e due rette trasversali al fascio ed , che intercettano il fascio rispettivamente nei punti e A', B', C'. Mandiamo dal punto e dal punto due parallele alla retta : avremo in questo modo due triangoli e . Essendo i segmenti e paralleli tra loro tagliati dalla trasversale , gli angoli e sono congruenti perché corrispondenti; ma, anche gli angoli e sono congruenti perché formati da due rette parallele ( e ) tagliate da una trasversale ( ). Quindi, per il secondo criterio di similitudine dei triangoli, i due triangoli sono simili, e precisamente avremo che:

Ma e sono rispettivamente lati di due parallelogrammi e , e in quanto tale si ha che:

da cui, per la proprietà transitiva, si ha: