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Teoria e applicazione Circonferenza

matematica


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Teoria e applicazione Circonferenza

Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro

Il suo raggio è il segmento che ha per estremi il centro della circonferenza e un punto qualsiasi della circonferenza.


Equazione della circonferenza

CON CENTRO NELL'ORIGINE

=r

ELEVO

(X-0)2+(Y-0) 2=r2                (X)2+(Y) 2=r2




CON CENTRO NON NELL'ORIGINE

=r      (q = centro della circonferenza)

ELEVO

(X- Xq)2+(Y-Xq) 2=r2


Dimostrazione equazione generale della retta

(X- Xq)2+(Y-Xq) 2=r2

X2+ Y2-(2XqX) (2YqY) +(Xq) +(Yq) 2 -r 2 =0


Se pongo

a = -2Xq                    Xq=

b = -2Yq                    Yq=

c = (Xq) 2+(Yq) 2-r 2                             r=


Diventa quindi :

X2+Y2+aX+bY+c=0 EQUAZIONE GENERALE CIRCONFERENZA

Condizioni perché esista l'equazione

Devono essere presenti sempre i termini X2+ Y2

Non devono esserci termini rettangolari es.XY

(Xq) +(Yq) 2 -r 2>0 affinché il raggio esista

un punto appartiene a un a una circonferenza se sostituendo le coordinate del punto nell'equazione della circonferenza ottengo un'identità.



Circonferenza passante per tre punti A(X1;Y1); B(X 2;Y 2);C(X 3;Y 3)


X2+Y2+aX 1+bY 1+c=0

Sistema: X2+Y2+aX 2+bY 2+c=0

X2+Y2+aX 3+bY 3+c=0


Trovo a, b, c che sostituisco nell'equazione

X2+Y2+aX+bY+c=0

POSIZIONE RECIPROCA RETTA TANGENTE-CIRCOFERENZA


: X2+Y2+aX+bY+c=0

Sistema

s: Y=mX+q




Che risolta dà i valori di x che possono essere

2 DELTA >0 SECANTI

1 DELTA =0 TANGENTI

0 DELTA <0 ESTERNE


Circonferenza in posizioni particolari

Se nell'equazione generale: x+y2+ax+bx+c=0

a=0         Centro appartiene all'asse y

b=0         Centro appartiene all'asse x

c=0          Circonferenza passante per l'origine


a=0 & c=0         Centro appartiene all'asse y &Circonferenza passante per l'origine


b=0 & c=0         Centro appartiene all'asse x &Circonferenza passante per l'origine


a=0 & b=0         Centro appartiene all'asse y & Centro appartiene all'asse x







CONDIZIONI DI TANGENZA di due rette che passano da un punto

Per trovare e rispettive equazioni :

Due metodi:

A)

Trovo l'equazione della circonferenza

Trovo l'equazione del fascio proprio di rette per il punto P

(Y-Y0)=m(X-X0)

Le metto a sistema.

Trovo l'equazione risolvente del tipo: X2 +m X +nX-2mX+c=0 Dove n e c corrispondono a dei valori trovati dalla risoluzione del sistema.

Raccogliendo X e X trovo un'equazione di secondo grado di cui pongo il delta uguale a 0

X2 (1+m )+X(n-2m)+c=0



=0= (n-2m) -4((1+m )*c)

I valori di m trovati che soddisfano l'uguaglianza DELTA=0 si sostituiscono nell'equazione del fascio.

B)

1. Trovo il centro della circonferenza

2. Trovo l'equazione del fascio proprio di rette per il punto P

3. Trasformo l'equazione del fascio in forma implicita

4. Trovo la distanza tra il fascio e il centro della circonferenza

5. Sostituisco nell'equazione

che pongo uguale al raggio e da cui ricavo i valori di m.

6. I valori di m trovati si sostituiscono nell'equazione del fascio.



FACOLTATIVO


Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza

Per verificare che tre punti non sono allineati la seguente diseguaglianza deve essere verificata .

Inoltre per trovare l'equazione di una circonferenza per tre punti secondo metodo

Trovare le equazioni degli assi dei segmenti AB e AC

Determinare l'intersezione che il centro della circonferenza Q

Determinare la distanza tra A e Q

Scrivere l'equazione della circonferenza di centro Q e raggio AQ








































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