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Teoria e applicazione Circonferenza
Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro
Il suo raggio è il segmento che ha per estremi il centro della circonferenza e un punto qualsiasi della circonferenza.
Equazione della circonferenza
CON CENTRO NELL'ORIGINE
=r
ELEVO
(X-0)2+(Y-0) 2=r2 (X)2+(Y) 2=r2
CON CENTRO NON NELL'ORIGINE
=r (q = centro della circonferenza)
ELEVO
(X- Xq)2+(Y-Xq) 2=r2
Dimostrazione equazione generale della retta
(X- Xq)2+(Y-Xq) 2=r2
X2+ Y2-(2XqX) (2YqY) +(Xq) +(Yq) 2 -r 2 =0
Se pongo
a = -2Xq Xq=
b = -2Yq Yq=
c = (Xq) 2+(Yq)
2-r 2
r=
Diventa quindi :
X2+Y2+aX+bY+c=0 EQUAZIONE GENERALE CIRCONFERENZA
Condizioni perché esista l'equazione
Devono essere presenti sempre i termini X2+ Y2
Non devono esserci termini rettangolari es.XY
(Xq) +(Yq) 2 -r 2>0 affinché il raggio esista
un punto appartiene a un a una circonferenza se sostituendo le coordinate del punto nell'equazione della circonferenza ottengo un'identità.
Circonferenza passante per tre punti A(X1;Y1); B(X 2;Y 2);C(X 3;Y 3)
X2+Y2+aX 1+bY 1+c=0
Sistema: X2+Y2+aX 2+bY 2+c=0
X2+Y2+aX 3+bY 3+c=0
Trovo a, b, c che sostituisco nell'equazione
X2+Y2+aX+bY+c=0
POSIZIONE RECIPROCA RETTA TANGENTE-CIRCOFERENZA
: X2+Y2+aX+bY+c=0
Sistema
s: Y=mX+q
Che risolta dà i valori di x che possono essere
2 DELTA >0 SECANTI
1 DELTA =0 TANGENTI
0 DELTA <0 ESTERNE
Circonferenza in posizioni particolari
Se nell'equazione generale: x+y2+ax+bx+c=0
a=0 Centro appartiene all'asse y
b=0 Centro appartiene all'asse x
c=0 Circonferenza passante per l'origine
a=0 & c=0 Centro appartiene all'asse y &Circonferenza passante per l'origine
b=0 & c=0 Centro appartiene all'asse x &Circonferenza passante per l'origine
a=0 & b=0 Centro appartiene all'asse y & Centro appartiene all'asse x
CONDIZIONI DI TANGENZA di due rette che passano da un punto
Per trovare e rispettive equazioni :
Due metodi:
A)
Trovo l'equazione della circonferenza
Trovo l'equazione del fascio proprio di rette per il punto P
(Y-Y0)=m(X-X0)
Le metto a sistema.
Trovo l'equazione risolvente del tipo: X2 +m X +nX-2mX+c=0 Dove n e c corrispondono a dei valori trovati dalla risoluzione del sistema.
Raccogliendo X e X trovo un'equazione di secondo grado di cui pongo il delta uguale a 0
X2 (1+m )+X(n-2m)+c=0
=0= (n-2m) -4((1+m )*c)
I valori di m trovati che soddisfano l'uguaglianza DELTA=0 si sostituiscono nell'equazione del fascio.
B)
1. Trovo il centro della circonferenza
2. Trovo l'equazione del fascio proprio di rette per il punto P
3. Trasformo l'equazione del fascio in forma implicita
4. Trovo la distanza tra il fascio e il centro della circonferenza
5. Sostituisco nell'equazione
che pongo uguale al raggio e da cui ricavo i valori di m.
6. I valori di m trovati si sostituiscono nell'equazione del fascio.
FACOLTATIVO
Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza
Per
verificare che tre punti non sono
allineati la seguente diseguaglianza
deve essere verificata .
Inoltre per trovare l'equazione di una circonferenza per tre punti secondo metodo
Trovare le equazioni degli assi dei segmenti AB e AC
Determinare l'intersezione che il centro della circonferenza Q
Determinare la distanza tra A e Q
Scrivere l'equazione della circonferenza di centro Q e raggio AQ
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