Ellisse

matematica

Ellisse:dati due punti,F1 e F2,appartenenti al piano π, si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti (P) per cui è costante la somma di F1 e F2 che si dicono fuochi. E=(Pappartenente π|PF1+PF2=2a; 2 353e46d a>F1F2) F1F2=distanza focale=2c equazione canonica dell'ellisse:

x²∕a² + y²∕b²=1 dimostrazione: dati F1(c,0) e F2(-c,0) i fuochi e un punto P(x,y) appartenenti al piano tale che PF1+PF2=2°, considerato il triangolo PF1F2 si ha che PF1+PF2>F1F2 quindi 2a>2c cioè a>c

(√(x+c)²+y²)+(√(x-c)²+y²)=2a √(x+c)²+y²=2ª-√(x-c)²+y² elevo tutto a quadrato: x²+2cx+c²+y²=4a²+x²+c²-2cx+y²-4a√(x-c)²+y² semplificando a√(x-c)²+y²=a²-cx si eleva tutto al quadrato di nuovo a²((x-c)²+y²)=a²²+c²x²-2a²cx a²(x²+c²-2cx+y²)=a²²+c²x²-2a²cx

a²x²+a²c²-2a²cx+a²y²=a²²+c²x²-2a²cx a²x²-c²x²+a²y²+a²c²-a²²=0 (a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²) siccome a²>c² quindi a²-c²>0 e si pone a²-c²=b²così l'equazione diventa b²x²+a²y²=a²b² e dividendo tutto per a²b² si ottiene l'equazione canonica. Proprietà: 1) se P(x,y) appartiene a E anche P1(x,-y), P2(-x,y), P3(-x,-y) appartengono a E. 2)x²/a²+y²/b²=1 x²/a²<1 0<x²/a²<1 -a<x<a l'ellisse è sempre iscritta in una circonferenza di dimensioni 2a, 2b. 3)eccentricità:c/a=costante=distanza focale/asse focale.

b²=a²-c² c²=a²-b² c=√a²-b² e=(√a²-b²)/a 0<e<1 se e =0 circoferenza, se e=1 parabola. 5)area= πab

se i fuochi sono sull'asse y e=c/b PF1+PF2=2b a²=b²-c² 2b=semiasse.

Curve deducibili dall'ellisse: x²/a²+y²/b²=1   y²/b²=1-x²/a² y²=b²/a² y²=(b²/a²)(a²-x²) per -a<x<a ammette due soluzion y=b/a√a²-x² e y=-b/a√a²-x²