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MATEMATICA FINANZIARIA - CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

matematica




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MATEMATICA FINANZIARIA


OPERAZIONI FINANZIARIE: le operazioni in cui avviene uno scambio di capitali, intesi come somme di denaro, riferiti a epoche diverse, in condizioni di certezza.


Risultano dallo scambio fra una sola  o più prestazioni e una sola o più controprestazioni.

 
Operazioni finanziarie semplici                   Operazioni finanziarie complesse





Risultano dallo scambio fra una sola                            

prestazione e una controprestazione.



Le operazioni finanziarie sono sempre legate al fattore TEMPO.

La durata di un'operazione finanziaria è il tempo che intercorre tra la cessione del capitale e la sua completa restituzione.

L'anno si considera:

  • anno civile: di 365 giorni
  • anno commerciale:di 360 giorni, in cui i mesi si considerano tutti di 3° gg


CAPITALE INIZIALE (C) è il valore del capitale impiegato all'inizio dell'operazione finanziaria, cioè il capitale messo a frutto.

L'INTERESSE (I) è compenso che spetta a colui che presta un capitale per un certo tempo.

TASSO D'INTERESSE (i) è l'interesse prodotto dall'unità di capitale nell'unità di tempo.

MONTANTE (M) è il valore del capitale al tempo (t), cioè al termine dell'operazione finanziaria.



CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE


Interesse semplice


I = C * i * t da questa formula si possono ricavare altre formule:

C = I / i * t t = I / C * i i = I / C * t



Montante a interesse semplice la capitalizzazione viene effettuata solo una volta alla fine del periodo


M = C(1+i*t) FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

C = M / (1+ i*t)           t = M - C / C*i i = M - C / C*i


CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA


Montante composto: la capitalizzazione degli interessi è periodica


M =C(1+i) n FATTORE FINANZIARIO DI MONTANTE


C =M/(1+i)n = M*(1+i) - n   FATTORE FINALE DI SCONTO


C                          M M* v n TRASFERIMENTO INDIETRO NEL TEMPO

C                          M C* u n TRASFERIMENTO IN AVANTI NEL TEMPO


FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE u n = (1+i)n

FATTORE DI SCONTO                         v n = (1+i)-n



I n √ (M/C) - 1


n = log M / C (applico i logaritmi perché l'incognita è all'esponente)

log(1+i)



CAPITALIZZAZIONE FRAZIONATA: operazioni finanziarie ad un tasso frazionato


TASSI EQUIVALENTI: due tassi sono equivalenti se, investendo lo stesso capitale per uno stesso periodo di tempo diversamente frazionato, si ottiene lo stesso montante

Ik = k√1+i -1 (ex: se si passa dai mesi agli anni)


I = (1+ik)k -1 ( ex: se si passa dagli anni ai mesi)





LA COSTITUZIONE DI CAPITALE

Volendo disporre, fra un certo numero di anni, di una somma per l'acquisto di un bene, è necessario accantonare periodicamente dei capitali affinché il loro montante sia pari alla somma stabilita.

Un'operazione finanziaria di questo tipo ha una durata piuttosto lunga e può essere utile sapere dopo un certo numero di anni l'entità dei versamenti effettuati fino a quella durata.

FONDO DI COSTITUZIONE: si indica con fk, è il montante dei primi k versamenti effettuati.

Per visualizzare l'andamento nel tempo dell'operazione finanziaria, bisogna redigere un piano di costituzione.


anni

Fondo inizio anni

rata

interessi

Fondo fine anno


Calcolo della rata:

versamenti anticipati                                             versamenti posticipati

S = Ra i R = S S = Rs i R = S

s i s i



RENDITE FRAZIONATE: sono le rendite in cui il periodo che intercorre tra il pagamento di una rata e la successiva è una frazione costante di anno.


Una volta fissata la rata del periodo è possibile utilizzare uno dei seguenti tassi: ik tasso periodale effettivo, jk tasso nominale convertibile, i tasso annuo.


Per questo tipo di rendite è indispensabile uniformare le unità di misura delle varie grandezze riferendo tutto al periodo.





AMMORTAMENTO: pagamento periodico sia degli interessi maturati sia del                   

Capitale.


AMMORTAMENTO uniforme o a quote costanti di capitale (chiamato anche italiano)

Questo metodo consiste nel restituire, ad ogni scadenza quote di capitale tutte uguali ed interessi maturati durante il periodo trascorso.

C = quote capitali

anni

C

Ik

R (C+Ik)

Ek

Dk

O





A

Ik = quote

Ek = debito estinto

Dk = debito residuo


Text Box: C = A/n




NB. Le quote di capitali (C) sono costanti

Le quote decrescono in progressione aritmetica di ragione d = c * i


AMMORTAMENTO PROGRESSIVO (chiamato anche francese)

Le rate sono: tutte uguali fra loro

vengono pagate ad intervalli di tempo costanti

sono (di solito) annuali e posticipate

Le quote di capitale risultano crescenti in progressione geometrica di ragione (1+i)


anni

rata

quota

Debito

Interes Ik

Capitali Ck

Estinto Ek

Residuo Dk






A


Ck = R- Ik


Ek = somma delle Ck


Dk = S - Ek


AMMORTAMENTO AMERICANO (chiamato anche a due tassi)

con questo metodo il debitore deve costituire un capitale attraverso n versamenti periodici valutati ad un tasso i' (generalmente diverso da i), stipulato con una banca.

Ad ogni periodo, il debitore paga l'interesse al creditore e versa la rata (di costituzione del capitale) alla banca.





RENDITA è una successione di somme che si rendono disponibili in determinate scadenze;


RATA ciascuna somma versata

Rendita temporanea il numero delle rate è limitato

Rendita perpetua il numero delle rate è illimitato

Rendita anticipata: rendita nella quale ciascuna rata è esigibile all'inizio del periodo

Rendita posticipata: rendita nella quale ciascuna rata è esigibile alla fine del periodo


VALORE ATTUALE delle rendite è la somma dei valori attuali delle singole rate riferiti all'istante in cui viene costituita la rendita stessa

Va = R* 1-vn

i


 
Valore attuale è la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione (v) 




Valore attuale di una rendita anticipata Va = R* 1-(1+i)-n (1+i)

Valore della rendita all'atto del primo versamento            i



Valore attuale di una rendita posticipata Va = R* 1-(1+i)-n

Valore della rendita un anno prima del primo versamento                                 i



MONTANTE delle rendite è la somma dei montanti delle singole rate riferite alla fine dell'ultimo periodo

Montante è la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione (u)


M = R* un -1

i


 





Montante di una rendita anticipata M = R* (1+i)n -1 (1+i)

Valore della rendita un anno dopo l'ultimo versamento                            i



Montante di una rendita posticipata M = R* (1+i)n -1

Valore della rendita all'atto dell'ultimo versamento                                 i




SUCCESSIONE è una funzione fra numeri naturali e numeri reali


a1 a2 a3 a4 a5 .. an


progressionE aritmetica è ogni successione di tre o più numeri reali, tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente sia costante

I numeri della progressione si dicono termini


a1 a2 a3 a4 a5 .. an


La differenza costante tra un termine e il precedente si indica con la lettera d ed indica la ragione

Se ar e as sono due termini qualunque di una progressione aritmetica risulta che: an = a1+(n-1)*d

La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è:

sn = a1+an   * n

2


PROGRESSIONE GEOMETRICA ogni successione di tre o più numeri reali tali che il quoziente tra ciascuno di essi e il precedente sia costante.


Il quoziente costante tra un termine e il precedente si indica con la lettera q e viene detto ragione

Relazione fra i termini di una progressione geometrica

an = a1 * q n-1


Somma dei termini consecutivi di una progressione geometrica

Sn = a1 1- q n

1-q

























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