Algebra di Boole - DEFINIZIONE DI UN'ALGEBRA DI BOOLE

e sono entrambe operazioni commutative. Cioè, presa una coppia qualunque di elementi x, y appartenenti all'insieme B, vale la proprietà per cui x y = y x e x y = y x

2. Sussiste per entrambe le operazioni e la proprietà distributiva. Cioè, per ogni terna di elementi x, y e z appartenenti all'insieme B, sono verificate le relazioni x (y z) = (x y (x z) e x (y z) = (x y (x z

3. Nell'insieme B esistono due particolari elementi, indicati generalmente con i simboli 0 e 1, tali che 0 ≠ 1, 0 x = x e 1 x = x per ogni elemento x dell'insieme B. 0 e 1 sono gli elementi identità, o elementi neutri, rispettivamente per le operazioni e

4. Per ogni elemento x dell'insieme B esiste un elemento corrispondente detto il complemento di x, di solito indicato con il simbolo x'. Rispetto alle operazioni e , l'elemento x' gode della proprietà per cui x x' = 1 e x x'

Un'algebra di Boole può essere definita da gruppi di assiomi diversi, ma pur sempre equivalenti a quelli sopra elencati. In questa voce ci siamo attenuti alla formulazione adottata dal matematico statunitense Edward Huntington nel suo lavoro Postulates for the Algebra of Logic (Postulati per l'algebra della logica, 1904). Quest'ultimo contiene una esposizione strettamente assiomatizzata e perfezionata dell'algebra booleana, pubblicata per la prima volta nel 1854 in un originale trattato del matematico britannico George Boole.

I simboli per le operazioni e possono essere scelti con grande libertà; in particolare +, , e sono talvolta usati in luogo di , e ×, ^, , ·, e O invece di

Dalle proprietà di simmetria degli assiomi rispetto alle due operazioni e dall'esistenza delle loro rispettive identità, si può dimostrare il cosiddetto principio di dualità, secondo cui qualunque affermazione algebrica deducibile dagli assiomi dell'algebra di Boole conserva validità solo se le operazioni e e le identità 1 e 0 sono interscambiabili all'interno dell'affermazione stessa. Dei molti teoremi che si possono dedurre dagli assiomi di un'algebra di Boole, sono degne di essere menzionate le leggi di Morgan, secondo cui (x y)' = x' y' e (x y)' = x' y'

ESEMPI  Come esempio di algebra di Boole, si consideri un insieme generico X e sia P(X) la collezione di tutti i possibili sottoinsiemi di X, detto insieme delle parti, o insieme potenza dell'insieme X. P(X), con le due operazioni insiemistiche di unione ( ) e intersezione ( ), forma un'algebra di Boole. Infatti, ogni algebra di Boole può essere rappresentata come un'algebra di insiemi. 

Gli elementi dell'insieme B di un'algebra di Boole possono essere astratti o concreti; ad esempio possono essere numeri, proposizioni, insiemi o reti elettriche. Originariamente, nello studio di Boole gli elementi dell'algebra booleana erano proposizioni, o semplici dichiarazioni, aventi la caratteristica di poter essere o vere o false, con la completa esclusione di casi ambigui. Le operazioni erano essenzialmente la congiunzione e la disgiunzione, indicate rispettivamente con i simboli ^ e . Se x e y rappresentano due proposizioni, allora l'espressione x y (leggi "x o y") è vera se e solo se è vera una delle due proposizioni x o y, oppure se lo sono entrambe. L'affermazione x ^ y (leggi "x e y") è vera se e solo se sono vere entrambe le proposizioni x e y . In questo tipo di algebra di Boole, il complemento di ogni elemento è semplicemente la negazione della proposizione.  .

Un'algebra di Boole di proposizioni e una di insiemi sono strettamente connesse. Ad esempio, sia p l'affermazione "la palla è blu" e P l'insieme di tutti gli elementi per i quali è vera l'affermazione p, cioè l'insieme di tutte le palle blu. P è chiamato insieme delle verità per la proposizione p. Quindi, se P e Q sono gli insiemi delle verità per le proposizioni p e q, allora l'insieme delle verità per l'espressione p q è chiaramente P Q, e per p ^ q è P Q.

APPLICAZIONI L'algebra di Boole trova numerose applicazioni nelle scienze fisiche, in particolare nel campo dei computer e dell'elettronica. Un noto esempio di applicazione alla teoria dei circuiti elettrici è il seguente: siano p e q due proposizioni dichiarative, che possono essere solo o vere o false. Se si associa un interruttore a ciascuna delle due proposizioni p e q, che si chiude se la proposizione è vera e si apre se la proposizione è falsa, allora l'espressione p ^ q si può associare a due interruttori collegati in serie. La corrente fluisce nel circuito se e solo se entrambi gli interruttori sono chiusi, ossia se e solo se entrambe le proposizioni p e q sono vere. Analogamente, all'espressione p q si può associare un circuito che contiene un elemento con due interruttori connessi in parallelo, che permette il flusso di corrente se almeno uno dei due interruttori è chiuso, o se lo sono entrambi. Proposizioni più complicate danno luogo a circuiti interruttori più articolati.