SUCCESSIONI - GENERALITA' SULLE SUCCESSIONI

matematica

SUCCESSIONI

GENERALITA' SULLE SUCCESSIONI

Definizione: Si dice successione una qualsiasi funzione a : N  R. spesso per indicare una successione si usa la sequenza delle immagini:

a₀ = a(0), a₁ = a(1),., a_n = a(n),.

Esempio: La successione a_n = n² è la successione dei quadrati dei n^° naturali:

a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 4, a₃ = 9, a₄ = 16,.

Spesso è usato un modo per assegnare una successione, quello ricorsivo; che consiste nell'assegnare alcuni termini iniziali.

Esempio: La successione data da a₀ = 3 e a_n = 2a_n-1 -1 è:

a₀ = 3, a₁ = 2 . 3 - 1 = 5, a₂ = 5 . 2 - 1 = 9, a₃ = 9 . 2 - 1 = 17,.

SUCCESSIONI ARITMETICHE

Definizione: Si dice successione aritmetica di termine iniziale a₀ e ragione d (con a₀, d Є R) la funzione a : N R così definita:

a(n) = a_n = a0 + nd

si scrive:

a₀, a₁ = a₀ + d, a₂ = a₀ + 2d, a₃ = a₀ + 3d,.

La successione aritmetica a_n = a₀ + nd si esprime in forma ricorsiva assegnando il termine iniziale a₀ e per ogni n ≥ 1 la formula:

a_n = a_n-1 + d

Una successione a_n è aritmetica la differenza tra 2 termini consecutivi è costante ossia a_n - a_n-1 = d.

Esempio: La successione dei n°pari 0, 2, 4, 6,.. è la successione aritmetica di termine iniziale 0 e ragione 2, definita dalla legge a_n = 2n.

a_n = a_n-1 + 2, (n ≥ 1), specificando che il termine iniziale a₀ vale 0.

SUCCESSIONI GEOMETRICHE

Definizione: Si dice successione geometrica di termine iniziale a₀ e ragione q (q Є R) la funzione

a : N R così definita:

a(n) = a_n = a₀qⁿ

si scrive:

a₀, a₁ = a₀q, a₂ = a₀q², a₃ = a₀q³,.

Una successione a_n è geometrica il rapporto tra 2 termini consecutivi è costante ossia

a_n

= q.

a_n-1

APPLICAZIONI DELLE SUCCESSIONI

Esempio: Trovare la formula che dia il valore dello stipendio di un lavoratore dopo n anni, conoscendone il valore iniziale S₀ e l'aumento annuale pari al 2% di S₀.

Stip. iniziale: S(0) = S_{0 2}

Stip. dopo 1 anno: S(1) = S₀ + S₀

¹⁰⁰

_{2 2 2 2}

Stip. dopo 2 anni: S(2) = S(1) + S₀ = S₀ + S₀ + S₀ = S₀ + 2 S₀

^{100 100 100}

_{2 2}

Stip. dopo n anni: S(n) = S(n - 1) + S₀ = S₀ + n S₀

¹⁰⁰

Lo stipendio cresce in modo lineare.

PERCENTUALI

Se su 75 grammi di sostanza misuriamo 9 grammi di un dato sale, diciamo che quel sale ha nella soluzione una concentrazione di 9/75; esprimere questo rapporto in percentuale significa trasformare la frazione in quella equivalente di denominatore 100, cioè 9/75 = 12/100. Diciamo che la concentrazione del sale è pari al 12%.

Per fare il passaggio alla forma % basta risolvere una proporzione:

9 : 75 = x : 100    da cui  x = 12

x = 12

Così, calcolare 1/20 di una grandezza significa calcolarne il 5% perché 1/20 = 5/100.