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SUCCESSIONI - GENERALITA' SULLE SUCCESSIONI

matematica


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SUCCESSIONI



GENERALITA' SULLE SUCCESSIONI


Definizione: Si dice successione una qualsiasi funzione a : N      R. spesso per indicare una successione si usa la sequenza delle immagini:


a0 = a(0), a1 = a(1),., an = a(n),.


Esempio: La successione an = n2 è la successione dei quadrati dei n° naturali:


a0 = 0, a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, a4 = 16,.


Spesso è usato un modo per assegnare una successione, quello ricorsivo; che consiste nell'assegnare alcuni termini iniziali.


Esempio: La successione data da a0 = 3 e an = 2an-1 -1 è:


a0 = 3, a1 = 2 . 3 - 1 = 5, a2 = 5 . 2 - 1 = 9, a3 = 9 . 2 - 1 = 17,.


SUCCESSIONI ARITMETICHE


Definizione: Si dice successione aritmetica di termine iniziale a0 e ragione d (con a0, d Є R) la funzione a : N R così definita:


a(n) = an = a0 + nd

si scrive:

a0, a1 = a0 + d, a2 = a0 + 2d, a3 = a0 + 3d,.


La successione aritmetica an = a0 + nd si esprime in forma ricorsiva assegnando il termine iniziale a0 e per ogni n ≥ 1 la formula:


an = an-1 + d


Una successione an è aritmetica la differenza tra 2 termini consecutivi è costante ossia an - an-1 = d.


Esempio: La successione dei n°pari 0, 2, 4, 6,.. è la successione aritmetica di termine iniziale 0 e ragione 2, definita dalla legge an = 2n.


an = an-1 + 2, (n ≥ 1), specificando che il termine iniziale a0 vale 0.


SUCCESSIONI GEOMETRICHE


Definizione: Si dice successione geometrica di termine iniziale a0 e ragione q (q Є R) la funzione

a : N R così definita:


a(n) = an = a0qn

si scrive:

a0, a1 = a0q, a2 = a0q2, a3 = a0q3,.


Una successione an è geometrica il rapporto tra 2 termini consecutivi è costante ossia

an

= q.

an-1


APPLICAZIONI DELLE SUCCESSIONI


Esempio: Trovare la formula che dia il valore dello stipendio di un lavoratore dopo n anni, conoscendone il valore iniziale S0 e l'aumento annuale pari al 2% di S0.


Stip. iniziale: S(0) = S0 2

Stip. dopo 1 anno: S(1) = S0 + S0

100

2 2 2 2

Stip. dopo 2 anni: S(2) = S(1) + S0 = S0 + S0 + S0 = S0 + 2 S0

100 100 100


2 2

Stip. dopo n anni: S(n) = S(n - 1) + S0 = S0 + n S0

100


Lo stipendio cresce in modo lineare.


PERCENTUALI


Se su 75 grammi di sostanza misuriamo 9 grammi di un dato sale, diciamo che quel sale ha nella soluzione una concentrazione di 9/75; esprimere questo rapporto in percentuale significa trasformare la frazione in quella equivalente di denominatore 100, cioè 9/75 = 12/100. Diciamo che la concentrazione del sale è pari al 12%.

Per fare il passaggio alla forma % basta risolvere una proporzione:


9 : 75 = x : 100        da cui          x = 12



x = 12



Così, calcolare 1/20 di una grandezza significa calcolarne il 5% perché 1/20 = 5/100.






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