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CALCOLO COMBINATORIO

matematica


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CALCOLO COMBINATORIO: DEFINIZIONE INGENUA DI FUNZIONE (O APPLICAZIONE) Siano A e B due insiemi. Si chiamo funzione definita su A a valori in B e si indica con f:A→B x → f(x) una legge di natura qualunque che ad ogni elemento x Є A associa uno ed un solo elemento f(x) Є B. FUNZIONE INIETTIVA: una funzione f: A →B si dice iniettiva se x1 x2 f(x1) f(x2)  DEFINIZIONE DI IMMAGINE DI UN SOTTOINSIEME TRAMITE UNA FUNZIONE: sia f: A → B una funzione. Se A1 A si dice immagine di A1 tramite f (e si indica con f(A1) ) il sottoinsieme B così definito f(A1)= y B: x A1: f(x)=y FUNZIONE SURIETTIVA: se " y B x A : f (x)=y FUNZIONE BIETTIVA (O BIUNIVOCA): se una funzione è sia iniettiva che suriettiva.




ESTREMO SUPERIORE (INFERIORE): MAGGIORANTE (MINORANTE) di A R. Se esiste a tale che a a " a A; si dice che a è un maggiorante di A.INSIEME DI A r LIMITATO SUPERIORMENTE: se ammette almeno un maggiorante, LIMITATO INFERIORMENTE: se ammette almeno un minorante LIMITATO: se è limitato sia superiormente che inferiormente DEFINIZIONE DI MASSIMO (MINIMO) DI A R: se esiste un elemento a A tale che a a " a A. OSSERVAZIONI un insieme finito di numeri reali ha sempre sia massimo che minimo; ciò non è sempre vero se l'insieme è infinito, infatti può avere massimi ma non minimi [ A= ] e viceversa [B= , il numero 0 non ha né massimo né minimo!!! TEOREMA: sia B R superiormente limitato. Allora l'insieme B*= [1, + ) dei maggioranti di B ha minimo. Analogamente se A è inferiormente limitato l'insieme A*= (- , 0] dei minoranti di A ha massimo. ESTREMO SUPERIORE (INFERIORE): sia B R un insieme superiormente limitato. Si definisce estremo superiore di B il minimo maggiorante di B, cioè supB= min B* (vero l'inverso con A). OSSERVAZIONI: il max si B coincide con l'estremo superiore di B. Ad esempio se A= inf=A=0 mentre il minimo di A non esiste e supA=maxA=1. Viceversa se B= si ha infB=minB=0 e sup B=1 mentre il massimo di B non esiste. PROPRIETÀ CARATTERISTICHE: sia B R superiormente (inferiormente)  limitato. Se b=supB valgono le seguenti proprietà: i) b b "b B (b è un maggiorante di B) ii)"e>0  b B: b e<b (è il minimo maggiorante). Sia A R inferiormente limitato; sia a=infA; valgono allora le seguenti proprietà: i') a a " a A (a è un minorante di A) ii') )"e>0 a A: a<a e.(è il massimo minorante). Quindi b=supB i) e ii) valgono per b e a=infA i') e ii') valgono per a. SupB e infA esistono sempre e coincidono con maxB e col minA (sempre che quest'ultimi esistano) e di godere sempre delle proprietà sopra.


LIMITE: f: (a,b)/ x0 → R con a<x0<b (i casi con a= - oppure b= + non sono esclusi); diremo che lim x → x0 f(x)= l R se

*"e> de> < x-x0| < de f(x)-l|<e (x (a,b) / x0 (il valore che la f assume in x0 non viene considerato ai fini della determinazione

del limite. LIMITE DESTRO: lim x → x0+ f(x)=l (verificata solo per x (x0, x0+de) LIMITE SINISTRO: lim x → x0- f(x)=l


FUNZIONE CONTINUA: sia f: (a,b) → R e sia a<x0<b. se lim x →x0 f(x)= f (x0) diremo che la funzione f e continua in x0.


TEOREMA: f: (a,b)/ x0 → R con a<x0<b; vale la seguente equivalenza: lim x → x0 f(x)=l lim x → x0 f(x)=l = lim x → x0- f(x)=l

F: (x0, b) → R. Diremo che lim x → x0+ f (x)= +/- se " M dM: f(x)>/<M " x (x0, x0+dM)

f: (a,b)/ x0 → R con a<x0<b diremo che lim x → x0 f(x)

Alcuni esempio di funzioni: f(x)= x/|x|: 1 se x>0 NON ESISTE IL                f(x)= 1/x, f: R/ → R ESISTE LIMITE DX E SX, QUINDI ESISTE IL

-1 se x<0 LIMITE (DX E SX LIMITE


f(x)= 1 se 0<x<1 lim x → x0 f(x)=1 f(x)= c FUNZIONE COSTANTE E CONTINUA

0 se x=0 QUINDI NON CONTINUA

1 se -1<x<1 IN X0 XKÉ 1 f(0)=0                 f(x)=x CONTINUA; PRENDO de e


LIMITI ED OPERAZIONI ALGEBRICHE: siano f,g: (a,b)/ x0 → R. Se si ha lim x → x0 f(x)=l1 e lim x → x0 g(x)=l2 si ha

SOMMA= l1 + l2 DIFFERENZA: l1-l2 PRODOTTO: l1 l2. Inoltre se g(x) "x (a,b)/ x0 e l2

QUOZIENTE: l1/l2

Così è facile dimostrare che tutti i polinomi sono funzioni continue e che lo sono anche le funzioni razionali fratte (rapporto fra due polinomi P(x)/Q(x)) tranne che ngli zeri dei denominatore. Anche le funzioni fondamentali: e , lgx, cosx, sinx, x sono continue nei rispettivi insiemi di definizione. TEOREMA: siano f: (a,b) → (c,d) con x → y= f(x) e g: (c,d) → R con y → z= g (y) due funzioni continue nei rispettivi insiemi di definizione. Allora anche la funzione composta h: (a,b) → R con x → h(x) = (per def.) g (f(x)) è continua su tutto (a,b).


DERIVATA: se lim x → x0 h(x)= lim x → x0 f(x)-f(x0)/x-x0= l R si dice che la funzione f è derivabile nel punto x0 con derivata uguale ad l. se la funzione f è derivabile in ogni punto x0 (a,b) nasce una nuova funzione f', detta la derivata di f, che x0 → f'(x0). Esempio: lim x → x0 h(x)= x0 (1+1+.1 [n volte])= n x . ne segue che f(x) derivabile su tutto R ed f'(x)= n x

VELOCITÀ ISTANTANEA IN UN PUNTO MOBILE (NEWTON): il rapporto s(t)-s(t0)/t-t0 esprime la VELOCITÀ MEDIA del punto relativamente all'intervallo [t,to], quindi: lim t → to s(t)-s(t0)/t-t0= v(to) RETTA TG AD UNA CURVA IN UN SUO PUNTO (LIEBNITZ): l'equazione di una generica retta del fascio di centro (xo, f(xo)) è y= m (x-xo) + f(xo), m R (una retta che approssima meglio delle altre la funzione f vicino al punto (xo, f(xo)). m dev'essere tale che lim x → xo |f(x) - (m (x-xo) + f(xo))|/ |x-xo|=0

Equivale a : lim x → xo |[f(x)-f(xo)/x-xo]-m|=0

lim x → xo [f(x)-f(xo)/x-xo]-m=0

lim x → xo [f(x)-f(xo)/x-xo]=m

Quindi una retta sarà tg al grafico m=l

Definizione: sia f: (a,b) → R, x0 (a,b) Consideriamo: F: (a,b)/ x0 → R con x → F(x)= f(x)-f(x0)/x-x0. Se finito il lim x → xo F(x). La funzione f è derivabile nel punto x0 (a,b), con derivata uguale ad l. OSSERVAZIONI: Se il limite " xo (a,b) si potrà definire: f': (a,b) → R con xo → f' (xo)= lim x →xo f(x)-f(xo)/x-xo. La derivata di una funzione costante è la funzione nulla [c-c/x-xo]; la derivata di una funzione identità è 1 [x-xo/x-xo]. CASO GENERICO: x → f(x)= x con n 2. [x²-xo²/x-xo= x+xo]. In generale la fattorizzazione seguente: x  -xo = (x-xo) (S da k=0 a n-1 di xo x

Possiamo quindi dire che f(x)=x allora f'(x)= n x " n DERIVATE DELLE FUNZIONI FONDAMENTALI: f(x)= e → f'(x)= e

lgx → 1/x [x>0] sinx →cosx cosx →-sinx arcsinx → 1/ 1-x² arccosx → -1/ 1-x²  arctgx → 1/1+x² x → ax TEOREMA DELLA DERIVAZIONE DI FUNZIONE COMPOSTA: siano f (a,b) → (c,d) con x →y=f(x) e g (c,d) →R con y →g(y) derivabili rispettivamente in xo (a,b) e yo=f(xo) (c,d). Allora la funzione composta h:(a,b) →R con x →h(x)=g(f(x)) è derivabile in xo (a,b) e si ha: h'(xo)=g'(f(xo))f'(xo) (CHAIN RULE). Quindi: f(x):sin(x²+1)  f:R → R con x → f(x)=x²+1 e con g: R → R con y → g(x)=sin y. Avremo: h'(x)= (cos (x²+1))2x → 2x cos(x²+1)



REGOLE DI DERIVAZIONE DI  OPERAZIONI ALGEBRICHE: (f g)' (xo)= f'(xo) g' (xo) (f g)'(xo)= f'(xo)g(xo) + f(xo)g'(xo

(f/g)'(xo)= f'(xo)g(xo) - f(xo)g'(xo)/g² (xo) Se le due funzioni sono derivabili in ogni punto anche le varie operazioni sono derivabili in ogni punto


CALCOLO DIFFERENZIALE: TEOREMA DI FERMANT: sia f: [a,b] → R e sia xo (a,b) un punto di massimo o minimo per f. se la funzione f è derivabile in xo si ha f'(xo)=0. DIMOSTRAZIONE CON TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO: sia h: (xo, b] → R e supponiamo che lim x → xo+ h(x) = l 0. esiste allora un intorno d destro di xo in cui la funzione ha lo stesso segno del limite, cioè d0 tale che x (xo, xo+d h(x)>0 se l>o ed h(x)<0 se l<0. DIMOSTRAZIONE: per hp si ha che l-e<h(x)<l+e. Se l>0 scegliamo e = l/2 >0. Se l<0 scegliamo e= -l/2>0. Stessa cosa vale per il limite sx. COROLLARIO: se esiste il limite dx = l deve essere necessariamente l 0 (ovviamente il contrario per il limite sx). si dimostra pensando per assurdo alla negazione della permanenza del segno .DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO: supponiamo che xo sia un punto di max relativo per f. quindi : x (xo-d, xo+d → f(x) f(xo) quindi h(x) " x (xo, xo+d) e h(x) " x (xo-d, xo). Pertanto per il corollario della permanennza del segno f'(xo) 0 per il lim dx e viceversa. Di conseguenza f'(xo)=0 e questo prova il teorema.  Se fosse un minimo relativo per f basterebbe porre xo massimo relativo per g(x)= -f(x) e quindi g'(xo) = -f'(xo)=0 che implica che f'(xo)=0. TEOREMA DI ROLLE: sia f: [a,b] →R una funzione continua su [a,b] e derivabile su (a, b) e che assume gli stessi valori agli estremi dell'intervallo, cioè f(a)=f(b), allora siste almeno un punto c (a,b) tale che f'(c)=0. DIMOSTRAZIONE: siccome f è una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato per il TEOREMA DI WEIERSTRASS assume sia massimo che minimo assoluto su [a,b]. Prendiamo x1 come minimo assoluto e diciamo f(x1)=m e prendiamo x2 come massimo assoluto e diciamo f(x2)=M. CASO 1: X1=a, x2=b (cadono agli estremi): f(x1)=m=M=f(x2), quindi la funzione è costante su [a,b] e quindi f'(c)=0 " c (a,b). CASO 2: almeno uno dei due punti è interno all'intervallo: il punto che appartiene all'intervallo (a,b) ha, per il teorema di Fermant la f'(xo)=0; provato il teorema di Rolle con c=x. TEOREMA DI COUCHY siano f,g: [a,b] →R due funzioni continue su [a,b] e derivabili su (a,b). almeno un punto c (a,b) tale che f'(c) (g(b)-g(a)) = g'(c) (f(b)-f(a)). DIMOSTRAZIONE: prendiamo la combinazione lineare h(a)= l f(a)+m (g(a)= l f(b)+m g (b)= h(b) l (f(a)-f(b)) = m (g(b)-g(a)) applicando il teorema di Rolle si ha: h'(c)= l f'(c) + m g'(c)=0 Il teorema è quindi dimostrato. TEOREMA DI LAGRANGE: siano f,g: [a,b] →R due funzioni continue su [a,b] e derivabili su (a,b). allora almeno un punto c (a,b) tale che f(b)-f(a)= f'(c) (b-a) DIMOSTRAZIONE: basta scegliere g(x)=x nel teorema di Couchy e si vede che le due formule coincidono. INTERPRETAZIONE GEOMETRIACA: esiste almeno un punto del grafico della funzione f in cui la retta tg al grafico è parallela alla secante, cioè alla retta che congiunge i punti (a, f(a)) e (b, f(b)). COROLLARIO 1 se f'(x)>0 " x (a,b) f è strettamente crescente su [a,b].(decrescente nell'ipotesi contraria!!) DIMOSTRAZIONE: siano a x1< x2 b; se si applica il Teorema di Lagrange si ha che f(x2)-f(x1)= f'(c) (x2-x1); poiché f'(c)>0 per ipotesi segue che f(x2)-f(x1)>0 f (x2) > f (x1) (da qui ritorno alla tesi quindi dimostro quanto detto in precedenza!!)  COROLLARIO 2: se f'(x)=0 " x (a,b) la funzione f è costante su [a,b]. DIMOSTRAZIONE: sia a<x b; applicando il teorema di Lagrange si ha f(x)-f(a)=f'(c)(x-a). Ma per hp f'(c)=0 e quindi f(x)-f(a)=0, cioè f(x)=f(a); di conseguenza la funzione è continua. TEOREMA DI DE L'HOSPITAL: siano f,g: [xo,b] →R continue su [xo,b] e derivabili su (xo,b), con f(x0)=g(x0)=0 e g'(x) " x (xo,b). Se esiste il lim x → xo f'(x)/g'(x) (finito o infinito) allora esiste anche il limite della funzione ed i due limiti sono uguali. DIMOSTRAZIONE: lim xo →xo+ f'(x)/g'(x)=l R; applichiamo il teorema di Cauchy per l'intervallo [xo,x] ed abbiamo |[f(x)/g(x)]-l|=|[f(x)-f(xo)/g(x)-g(xo)]-l|= |[f'(c)/g'(c)]-l|. partendo dalla definizione di limite, se fessiamo ad arbitrio un e>0, corrispondentemente esiste un de>0 tale che t (xo, xo+de |[f'(t)/g'(t)]-l|<e se al posto di t scgliamo x segue che |[f(x)/g(x)]-l|<e. Questo vale nel caso in cui l R ma vale anche per . TEOREMA: f,g funzioni derivabili in [a, + ]. Se i)lim x → + f(x) = lim x → + g(x) =0 ii) g(x) e g'(x) sono " x [a, + iii) esiste il lim x → + f'(x)/g'(x) allora esiste anche il rapporto tra le funzioni e si ha lim x → + f(x)/g(x)= lim x → + f'(x)/g'(x) TEOREMA: siano f,g funzioni derivabili in (xo,b]. se i)f e g divergono per x → xo+ ii) g'(x) " x (xo, b]            iii) lim x → xo- f'(x)/g'(x) (finito o infinito)    allora esiste anche il lim del rapporto tra le funzioni, ed è lim x → xo+ f(x)/g(x) = lim x → xo+ f'(x)/g'(x)


CALCOLO INTEGRALE: IL PROBLEMA DELL'AREA: sia f:[a,b] → R una funzione continua e positiva. Consideriamo il trapezio T: T= . Come si può definire l'area di T? Suddividiamo l'intervallo [a,b] in sottointervalli mediante i punti a≡xo<x1<x2<.<xn≡b

Poniamo: [mi=min f(x) xi-1 x xi] e [Mi=max f(x) xi-1 x xi] per i=1,2,.,n, cioè rispettivamente minimo e massimo assoluti. Consideriamo poi il rettangolo R1 costituito dall'unione dei due rettangoli  che hanno per base l'intervallo [xi-1,xi] e per altezza mi, ed il plurirettangolo R2 costituito dall'unione dei rettangoli che hanno per base l'intervallo [xi-1,xi] e per altezza Mi. Quindi: 1) R1 T R2; 2) area R1= S i=1 ad m di mi(xi - xi-1)= s (f,P) [somma delle aree di tutti e rettangoli inscritti; somma inferiore relativa alla partizione P); 3) area di R2= S i=1 ad m di Mi(xi - xi-1)= S (f,P) (somma delle aree di tutti i rettangoli circoscritti; somma superiore relativa alla partizione P). Al variare della posizione P≡ dell'intervallo [a,b] si ottengono i due insiemi numerici seguenti: A, costituito dalle aree di tutti i plurirettangoli R1 T, e B costituito dalle aree di tutti i plurirettangoli R2 T. Considero la relazione 1 quindi il numero Area di T soddisfa la condizione Area R1 area T area R2 " R1 T e R2 T. quindi siamo a considerare i due numeri l=supA e L=infB, per i quali si ha l L. Il trapezio T è misurabile se: l Led in tal caso definiremo area T=l L. Possiamo dimostrare che l'uguaglianza è sempre continua e positiva. In questo modo l'area di T viene definita come l'unico elemento di separazione tra le due classi continue A e B, costituite rispettivamente dalle aree dei due plurirettangoli. DEFINIZIONE DI INTEGRALE SECONDO RIEMAN: supponiamo che f:[a,b] R sia una funzione limitata su [a,b] (ciò significa che M>0:-M f(x) M, " x [a,b]; poniamo poi [mi=min f(x) xi-1 x xi] e [Mi=max f(x) xi-1 x xi] per i=1,2,.,n. Sia P= con a≡xo<x1<x2<.<xn≡b una partizione di [a,b]. DEFINIZIONE 1 DI SOMME SUPERIORI E INFERIORI: sia f:[a,b] → R limitata. Definiamo somma inferiore relativa ad f ed alla partizione P= , a≡xo<x1<x2<.<xn≡b la s(f,P)= S da i=1 ad n di mi(xi- xi-1). Analogamente definiremo somma superiore la S(f,P)= S da i=1 ad n di Mi(xi- xi-1). Se P è la famiglia di tutte le possibili partizioni P di [a,b] definiremo anche A= e B= ; cioè A e B sono rispettivamente l'insieme (numerico) di tutte le somme inferiori e tutte le somme superiori. DEFINIZIONE DI FUNZIONE INTEGRABILE E DI INTEGRALE: detti l=supA=sup s (f,P) e L=infB=inf S(f,P) diremo che f è integrabile su [a,b] se l L, p . Se vale questa relazione definiremo integrale della funzione d nell'intervallo [a,b] (e scriveremo (a,b) f(x)dx il valore comune di l e L cioè porremo l L (a,b) f(x) dx. OSSERVAZIONI: se f:[a,b] → R è continua e positiva, il numero (a,b) f(x)dx definito dalla relazione rappresenterà proprio l'area del trapezoide T. TEOREMA 1 FONDAMENTALE: ogni funzione f:[a,b] → R continua su [a,b] è ivi integrabile; cioè, per ogni funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a,b] vale l L. COME SI PU0' CACLOLARE IL NUMERO (a,b) f(x)dx? TEOREMA (FORMULA DI TORRICELLI-BARROW) Sia f:[a,b] →R una funzione continua e sia G: [a,b] →R una sua primitiva (cioè G'(x)=f(x) " x [a,b]). Si ha allora: (a,b) f(x)dx= G(b)-G(a).. DIMOSTRAZIONE PER GRADI: TEOREMA 3 DELLA MEDIA INTEGRABILE: sia f:[a,b] → R continua su [a,b]. allora esiste almeno un punto c [a,b] tale che 1/(b-a)= (a,b) f(x)dx = f(c). DIMOSTRAZIONE: m è il minimo valore assoluto di f su [a,b] ed M il massimo. Ricordando la definizione di integrale si ha: m(b-a) (a,b) f(x)dx M(b-a). Segue: m 1/(b-a) (a,b) f(x)dx M. Dunque il numero 1/(b-a) (a,b) f(x)dx è compreso tra m ed M; siccome una funzione continua nell'intervallo [a,b] assume tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo, segue l'esistenza di un punto c [a,b] tale da verificare il ns. teorema. OSSERVAZIONE IMPORTANTE: il teorema ci consente di definire la funzione integrale di un'assegnata funzione continua f: [a,b] → R nel modo seguente: F: [a,b] → R; x → F(x) = (a,x) f(t)dt si chiama funzione integrale di f. significato geometrico di F(x): se f(x) " x [a,b], allora F(x) rappresenta l'area del trapezoide Tx relativo ad f e di base [a,x]. F(x)= (a,x) f(t)dt= area di Tx. ESEMPI: f costante su [a,b], f(x)=c quindi F(x)= (a,x) f(t)dt =area Tx=(x-a)c= cx-ac. Se invece f(x)=x ed [a,b]=[0,b] si ha: F(x)= (0,x) f(t)dt= (0,x) t dt= ½ x x= ½ x². È un fatto di estrema importanza che questa proprietà sia sempre vera nel caso delle funzioni continue. Vale infatti il seguente TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE: sia f: [a,b] → R, continua su [a,b] e sia F:[a,b] → R; x → F(x)= (a,x) f(t)dt la funzione integrabile di f. allora la funzione integrale F è derivabile in ogni punto xo [a,b] e si ha F'(xo)= f(xo). DIMOSTRAZIONE: consideriamo il rapporto incrementale F(x)-F(xo)/x-xo= (a,x) f(t)dt- (a,xo) f(t)dt/x-xo= (xo,x) f(t)dt/x-xo. Applicando il torema della media integrabile alla funzione f nell'intervallo [xo,x] otteniamo (xo,x) f(t)dt/x-xo= f(cx) dove xo<cx<x. Segue: F(x)-F(xo)/x-xo = f (cx) con xo<cx<x. Facendo il limite per x → xo si ha la continuità di f:= lim x → xo f(cx)= f(xo). DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI T.B.: se f:[a,b] → R è continua e G è una sua primitiva si ha: G(x)= (a,x) f(t)dt+c " x [a,b]. ponendo H(x)= G(x)-F(x) dove F(x)= (a,x) f(t)dt ed osservando che per il teorema lilla si ha H'(x)= G'(x)+F'(x)= f(x)-f(x)=0, " x [a,b]. Dunque la funzione H(x), avendo la H'(x) identicamente nulla du [a,b] è costante (corollario del teor. Di Lagrange). Calcolando la relazione in x=b e x=a si ottiene: G(b)= (a,b) f(t)dt+c esottraendo si ha:



G(a)= (aax) f(t)dt+c=c

G(b)-G(a)= (a,b) f(t)dt che è la formula di T.B.


INTEGRABILITÀ DELLE FUNZIONI MONOTONE NEGLI INTERVALLI CHIUSI E LIMITATI: TEOREMA: sia f:[a,b] →R una funzione monotona (cioè crescente o decrescente). Allora f è integrabile su [a,b]. DIMOSTRAZIONE: (supponendo f crescente): consideriamo la partizione dell'intervallo [a,b] costituita dai punti xi= a+i (b-a/n), i= 0,1,.,n (chiamiamo questa partizione Pn). Dato che xi- xi-1= b-a/n le somme superiori e inferiori relative alla funzione f  ed all partizione data sono rispettivamente, S da i=1 ad n di mi(xi- xi-1)= S da i=1 ad n di f(xi-1) (b-a/n)= s(f,Pn) e S da i=1 ad n di Mi(xi- xi-1)= S da i=1 ad n di f(xi) (b-a/n)= S(f,Pn) (visto che per la crescenza di f si ha mi=f (xi-1) e Mi= f(xi). Osservando che: S(f,Pn)-s(f,Pn)= S da i=1 ad n ( f(xi)-f (xi-1) (b-a/n)= (f(xn)-f(xo)) (b-a/n)= (f(b)-f(a)) (b-a/n). la prova che la funzione f è integrabile su [a,b], cioè che sup s(f,P)=l L=inf S (f,P), P . Infatti se fosse l<L si avrebbe: S(f,Pn)-s(f,Pn) L l>0. Si ha S(f,Pn)-s(f,Pn)<L l n> (f(b)-f(a))(b-a)/L l


METODO DI INTEGRAZIENE PER PARTI: siano f,g C¹[a,b]: vale la formula seguente: (a,b) f'(x)g(x)dx= [f(x)g(x)] (x=a; x=b) - (a,b) f(x) g'(x)dx. DIMOSTRAZIONE: sia F(x)= f(x) g(x); derivando si ottiene F'(x)= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)*. Integrando *si ha: F(b)-F(a)= (a,b) F'(x)dx= (a,b) f'(x)g(x)dx- (a,b)f(x)g'(x)dx; formula che è evidentemente uguale a *. OSSERVAZIONI: accanto a *(formula d'integrazione definita per parti) abbiamo: (f'(x)g(x)dx= f(x)g(x) - f(x)g'(x)dx (formula d'integrazione indefinita per parti )


METODO D'INTEGRAZIENE PER SOSTITUZIONE: TEOREMA: sia f: [a,b] →R continua su [a,b] e sia j a b] →[a,b] con t →j(t)=x con j continua su j' (cioè f C°[a,b] e j C¹[a b]). Se t1, t2 a b] vale la formula: j(t1), j(t2)) f(x) dx= (t1, t2) f(j(t)) j'(t) dt.


INTEGRALI GENERALIZZATI: sia f:[a,+ ] →R, f integrabile su ogni intervallo [a,b]. Se esiste finito il limite lim b →+ (a,b) f(x)dx= l R ; si dice che f è integrabile in senso generalizzato su [a,b] e si scrive lim b → + (a,b) f(x)dx= (a,+ )f(x)dx= l. DEFINIZIONE 2: sia f:[a,+ ] →R, f integrabile si ogni sottointervallo [a,b] (a,b]. Se f è non limitata in un intorno di a ed esiste finito il limite lim a →a+ a,b)f(x)dx= l R. Si dice che f è integrabile in senso generalizzato su (a,b] e si scrive: lim a →a+ a,b)f(x)dx= (a,b) f(x)dx. ) 1/x  dx= + se 0<a (0,1) 1/x dx= 1/1-a se 0<a<1

1/ a-1 se a>1                         + se a

TEOREMA FONDAMENTALE SUL LIMITE DELLE FUNZIONI MONOTONE: sia F:[a,+ ) → R una funzione monotona crescente. Per quanto riguarda il lim x → + F(x) si ha la situazione seguente: i) se F è superiormente limitata si ha lim x →+ F(x)=l=sup F(x) x [a,+ ) ii) se F non è superiormente limitato si ha lim x →+ F(x)=+ CRITERIO DEL CONFRONTO PER GLI INTEGRALI GENERALIZZATI: siano f,g:[a,+ ) →R due funzioni integrabili su ogni sottointervallo [a,b] [a,+ ), tali che: 0 f(x) g(x), "x [a,+ Se g è integrabile in senso generalizzato su [a, + ) anche f lo è. DIMOSTRAZIONE: da formula segue: F(b)= (a,b) f(x)dx (a,b)g(x)dx (a,+ )g(x)dx=c. Dunque la funzionw F(b) è monotona crescente (poiché f(x) 0) e superiormente limitata (poiché F(b) c, " b [a,+ )). Perciò per il teorema precedente esiste finito il lim b →+ F(b), cioè f è integrabile in senso generalizzato su [a,+ ). DECOMPOSIZIONE DI f IN PARTE POSITIVA f+(x)E PARTE NEGATIVA f-(x): se f:A R →R definiamo f+(x)=max (f(x1,0) e f'(x)=-min(f(x1,0))




y=f(x)                   y=f+(x) y= |f(x)| y= f-(x)






I grafici precedenti sono illustrativi: per una certa funzione f: [a,b] → R riportiamo l'andamento di f, f+, f-, |f|. È facile dimostrare che: 0 f+(x) |f(x)|; 0 f-(x) |f(x)|; f+(x)+f-(x)= |f(x)|; f+(x)-f-(x)=f(x) Si può anche dimostrare che se f è integrabile su un certo intervallo I anche f+, f- ed |f| lo sono. ASSOLUTA INTEGRABILITÀ IN SENSO GENERALIZZATO: sia f:I R →R (dove I è un intervallo anche infinito). La funzione f si dice assolutamente integrabile in senso generalizzato su I, se |f| è integrabile in senso generalizzato su I. TEOREMA: se f è assolutamente integrabile in senso generalizzato su I allora è anche integrabile (in senso generalizzato) su I.


SUCCESSIONI: CONVERGENTE: si dice che la successione (an) n è convergente ad un numero reale l e si scrive lim n →+ an=l R se "e>0 ve tale che n>ve |an-l|<e quindi l-e<an<l+e DIVERGENTE: si dice che la successione (an) n è divergente a + (ed ha limite a + ) se "M>0 vM:n>vM an>M (o <-M). Si dice che (an) n diverge negativamente e si scrive lim n →+ an= - ; se bn=-an diverge positivamente LIMITATA: una successione (an) n si dice limitata se M R tale che |an|<M, " n . Si può dimostrare il risultato seguente: ogni successione convergente è limitata (non vale l'inverso). TEOREMA SUL LIMITE DI SUCCESSIONI CRESCENTI: sia (an) n una successione crescente. Se (an) n è superiormente limitata allora è convergente e si ha lim n →+ an= su pan=l (n 1). Se (an) n non è superiormente limitata allora lim n →+ an= + LIMITE DI SOMMA, DIFFERENZA, PRODOTTO E QUOZIENTE DI SUCCESSIONI CONVERGENTI: siano (an) n e (bn) n due successioni convergenti rispettivamente a l1 e l2. Si ha allora: lim n →+ sn= lim n →+ (an+bn)= l1+l2;       lim n →+ dn= lim n →+ (an-bn)= l1-l2;            lim n →+ pn= lim n →+ (an bn)= l1 l2; se si suppone inoltre che bn " n 1 e lim n →+ bn=l2 0 si ha anche: lim n →+ qn= lim n →+ an/bn= l1/l2.


SERIE: sia (an) n una successione di numeri reali. Formiamo una nuova successione definita come s1=a1; s2=a1,a2; sn=a1+a2+.+an.Se lim n→ + sn= s R si dice che la serie (da n=1 a ) an è convergente con somma s e si scrive s= (da n=1 a ) an. SERIE GEOMETRICA: an= cioè la serie il cui generico elemento è an=q , con q R fissato (il numero q si chiama ragione della serie). In questo caso si ha: sn= n se q=1

(1-q )/(1-q) se q

Ricordiamo che: lim n →+ q = + se q>1                       si ottiene il seguente importante TEOREMA: la serie geometrica (da n=0 a ) q =1+

1 se q=1 q+q²+.+q +. è divergente se e solo se |q|<1 ed, in tal caso: (da n=0 a ) q =1/1-q

0 se |q|<1 DIMOSTRAZIONE: la differenza tra sn e qsn( senza 1) è= 1-q =sn(1-q)= 1-q .

Non esiste se q -1 Per ipotesi: |q|<1 wuindi sn= 1/1-q. Dimostrando lg(|q|) =n lg|q| (→- |q| =e (→0)

Le somme dei numeri pari=0 e dei numeri dispari=1 quindi non esiste il limite; pari tende a + e dispari a - . Quindi sn= 1-q /1-q → q -1/q-1. SERIE A TERMINI POSITIVI: una serie an a termini non negativi o è convergente oppure è divergente a + . Essa converge se e solo se la successione delle ridotte n-esime è limitata. TEOREMA DEL CRITERIO DEL CONFRONTO: siano an bn due serie a termini non negativi e tali che an bn " n 0. allora vale la seguente applicazione: bn convergente an convergente. SERIE DI RIEMAN: (n=1 a ) 1/n con a>0.  con a reale 1 è divergente. Infatti l'affermazione è vera per a=1; per a<1 la serie data è maggiorante della serie armonica, perciò diverge. Con a 2 è convergente; infatti l'affermazione è vera per a=2 per confronto con la serie di Mengoli (infatti 1/n² 1/n(n-1); perciò per 1/n 1/n² e perciò la serie data è convergente.









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