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Teorema degli 0
Definizione: Sia f continua in [a ; b], allora se f (a)* f(b) < 0, esisterà un punto C Є [a ; b] tale che
f (c) = 0
Dimostrazione: Per il teorema di Weirstrass la funzione ha max e min assoluto m;M .
Se f (a) * f(b) < 0 vuol dire che il condominio di f, contiene almeno un numero positivo ed un numero negativo, quindi m (minimo) deve essere < 0 e M (massimo) deve essere > 0.
Il min assoluto m<0 ed il max assoluto M>0, allora per il teorema di W. , poiché f assume tutti i valori compresi fra M ed m, assumerà anche il valore 0.
(m < 0 < M).
Teorema di Weirstrass
Definizione: sia f unas funzione continua i un intervallo a,b chiuso e limitato. Allora:
Teorema di Rolle
Definizione: Sia f continua nell'intervallo chiuso e limitato [a ; b] e sia derivabile in (a , b) e f(a) = f(b) allora Э un punto C Є (a , b) tale che f' (c) = 0
Dimostrazione: Poiché f è continua in [a ; b] cioè intervallo chiuso e limitato, per il teorema di W. ha massimo M e minimo m.
I Caso
Se m = M allora la f è costante in tutto l'intervallo e allora la sua derivata prima è 0 in tutti i punti dell'intervallo [a ; b].
II Caso
Se M>m allora il punto di max assoluto o il punto di min assoluto cadono all'interno dell'intervallo [a ; b]. Infatti se entrambi fossero sul bordo ( cioè uno in a l'altro in b) poiché f(a) = f(b) dovrebbe risultare che M = m, questo non è possibile.
Dunque avrei trovato un punto di min\max che è interno ad [a ; b], dove la funzione è derivabile, allora per il teorema della derivata nulla, in quel punto f' è nulla, quindi questo punto è quello cercato
C = max\min = 0
N.B. (Il teorema di Rolle mi da la sicurezza che nel caso di f continua e derivabile in [a ; b] e f(a) = f(b), che esiste un punto interno con derivata nulla.
Questo però non vuol dire che se f(a) ≠ f(b) non si verifichi la stessa cosa. Dipende dal tipo di funzione.
Teorema della derivata nulla
Definizione: Sia f definita su A a valori R, e siano verificate le seguenti ipotesi:
Xo è max\min relativo di f
f sia derivabile in Xo
Xo sia punto interno di A
Allora segue che: f' (Xo) = 0.
Dimostrazione:
Supponiamo che Xo sia punto di max relativo. Cioè che esiste un intorno di Xo (I xo) tale che:
f (Xo) > f (X) per ogni X Є (I xo) intersecato con A.
Devo dimostrare che:
f (X) - f (Xo)
lim _________________ = 0
x→Xo X - Xo
Considero un intorno destro di Xo (cioè x>Xo)
f(X)- f (Xo)
R(x) = ____________ ( f (Xo)≥ f (X) per ogni x Є I xo
X - Xo
f(X)- f (Xo)
R(x) = ____________ > 0 ( X > Xo sono a destra
X - Xo
R(x) ≤ 0 Per ogni X > Xo X Ixo per il teorema del confronto fra limiti che :
lim R(x) ≤ 0
x→Xo+
Considero un intorno sinistro di Xo, cioè prendo X<Xo
f(X)- f (Xo)
R(x) = ____________ ( f (Xo)≥ f (X) per ogni x Є I xo
X - Xo
f(X)- f (Xo)
R(x) = ____________ 0 ( X < Xo sono a sinistra)
X - Xo
R(x) ≥ 0 per ogni X < Xo per il teorema del confronto fra limiti che :
lim -R(x) ≥0
x→Xo-
Poiché f è derivabile in Xo, allora dico che lim R(x) = lim R(x)
x→Xo+ x→Xo-
Questa affermazione è possibile solo se:
lim R(x) = 0 e lim R(x) = 0
x→Xo+ x→Xo-
Teorema del valor medio
LAGRANGE
(con dimostrazione)
Se:
Implica che:
f (b) - f (a)
c [a ; b] / f ' (c) = __________
b - a
f (b) - f (a)
__________ è il coefficiente angolare della retta secante il grafico nei punti
b - a ( a ; f (a) ) e ( b ; f (b) )
Può essere infatti considerato come un rapporto incrementale:
f(x) - f (x°)
R = ___________
x - x°
Significato geometrico: esiste un punto c Є [a ; b] tale che la retta tangente il grafico nel
punto ( c ; f (c) ) ha lo stesso coefficiente angolare della retta secante il grafico nel punto
( a ; f (a) ) e ( b ; f (b) )
DIMOSTRAZIONE
costruisco la seguente funzione g (x)
( f (a) - f (b))
g (x) = f (x) - ____________ * (x - a)
(b - a)
VERIFICHIAMO SE g (x) SODDISFA LE IPOTESI DEL TEOREMA DI ROLLE:
f (x) è continua per ipotesi.
( f (a) - f (b) )
____________ * (x - a) → è continua in [a ; b]
(b - a)
f è derivabile in ( a ; b )
( f (a) - f (b) )
____________ * (x - a) → è derivabile ovunque in [a ; b]
(b - a)
Calcolo g (a ) :
( f (b) - f (a))
g (x) = f (x) - ____________ * (x - a)
(b - a)
sostituisco a alle
x:
f (b) - f (a) * (a - a)
g (a) = f (a) - ___________ =
b - a
g ( b ) = f ( a )
QUINDI SE:
g ( a ) = f (a )
→ g ( a ) = g ( b )
g ( b ) = f (a )
Poiché g ver4ifica tutte le ipotesi del teorema di Rolle allora esiste un punto c appartenente ad
( a ; b ) tale che g' (c) = 0
Verifico calcolando g' :
(x - a) = è una funzione f(b) - f (a)
_________ = è uyna costante k
b - a
g' = f ' (x) - k - 1
( La derivata di una costante per una funzione è uguale alla costante k per la derivata della funzione)
f(b) - f(a)
g' ( c ) = f ' ( c ) - ______________ → g' ( c ) = 0
b - a
f(b) - f(a)
f ' ( c ) = ____________
b - a
Teorema dell HỒPITAL
Definizione: Siano f e g due funzioni derivabili in un intorno di Xo sia:
f (x)
lim ____ una forma indeterminata del tipo 0/0 o ∞/∞
x→Xo g (x)
f (x) f ' (x)
allora, se esiste il lim _____ = lim _______
x→Xo g (x) x→Xo g ' (x)
N.B. se esiste
f ' (x)
lim _______
x→Xo g ' (x)
f (x)
potrebbe ancora esistere il lim ______
x→Xo g ' (x)
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