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Teorema degli 0, di Weirstrass, di Rolle

matematica




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Teorema degli 0


Definizione: Sia f continua in [a ; b], allora se f (a)* f(b) < 0, esisterà un punto C Є [a ; b] tale che

f (c) = 0


Dimostrazione: Per il teorema di Weirstrass la funzione ha max e min assoluto m;M .

Se f (a) * f(b) < 0 vuol dire che il condominio di f, contiene almeno un numero positivo ed un numero negativo, quindi m (minimo) deve essere < 0 e M (massimo) deve essere > 0.

Il min assoluto m<0 ed il max assoluto M>0, allora per il teorema di W. , poiché f assume tutti i valori compresi fra M ed m, assumerà anche il valore 0.

(m < 0 < M).








Teorema di Weirstrass

Definizione: sia f unas funzione continua i un intervallo a,b chiuso e limitato. Allora:


  1. f è limitata (il condominio di f è un insieme limitato)
  2. f ha max e min (il condominio di f  ha un valore max e min)
  3. f assume tutti i valori compresi fra il suo max il suo min





Teorema di Rolle

Definizione: Sia f continua nell'intervallo chiuso e limitato [a ; b] e sia derivabile in (a , b) e f(a) = f(b) allora Э un punto C Є (a , b) tale che f' (c) = 0


Dimostrazione: Poiché f è continua in [a ; b] cioè intervallo chiuso e limitato, per il teorema di W. ha massimo M e minimo m.


I Caso

Se m = M allora la f è costante in tutto l'intervallo e allora la sua derivata prima è 0 in tutti i punti dell'intervallo [a ; b].


II Caso

Se M>m allora il punto di max assoluto o il punto di min assoluto cadono all'interno dell'intervallo [a ; b]. Infatti se entrambi fossero sul bordo ( cioè uno in a l'altro in b) poiché f(a) = f(b) dovrebbe risultare che M = m, questo non è possibile.

Dunque avrei trovato un punto di min\max che è interno ad [a ; b], dove la funzione è derivabile, allora per il teorema della derivata nulla, in quel punto f' è nulla, quindi questo punto è quello cercato

C = max\min = 0


N.B. (Il teorema di Rolle mi da la sicurezza che nel caso di f continua e derivabile in [a ; b] e f(a) = f(b), che esiste un punto interno con derivata nulla.

Questo però non vuol dire che se f(a) ≠ f(b) non si verifichi la stessa cosa. Dipende dal tipo di funzione.

Teorema della derivata nulla


Definizione: Sia f definita su A a valori R, e siano verificate le seguenti ipotesi:


Xo è max\min relativo di f

f sia derivabile in Xo

Xo sia punto interno di A


Allora segue che: f' (Xo) = 0.


Dimostrazione:

Supponiamo che Xo sia punto di max relativo. Cioè che esiste un intorno di Xo (I xo) tale che:


f (Xo) > f (X) per ogni X Є (I xo) intersecato con A.


Devo dimostrare che:


f (X) - f (Xo)

lim _________________ = 0

x→Xo X - Xo


Considero un intorno destro di Xo (cioè x>Xo)


f(X)- f (Xo)

R(x) =     ____________ ( f (Xo)≥ f (X) per ogni x Є I xo


X - Xo




f(X)- f (Xo)

R(x) =     ____________ > 0 ( X > Xo sono a destra


X - Xo


R(x) ≤ 0 Per ogni X > Xo X Ixo per il teorema del confronto fra limiti che :

lim R(x) ≤ 0

x→Xo+




Considero un intorno sinistro di Xo, cioè prendo X<Xo


f(X)- f (Xo)

R(x) =     ____________ ( f (Xo)≥ f (X) per ogni x Є I xo


X - Xo






f(X)- f (Xo)

R(x) =     ____________ 0 ( X < Xo sono a sinistra)


X - Xo


R(x) ≥ 0 per ogni X < Xo      per il teorema del confronto fra limiti che :

lim -R(x) ≥0

x→Xo-


Poiché f è derivabile in Xo, allora dico che lim R(x) = lim R(x)

x→Xo+ x→Xo-


Questa affermazione è possibile solo se:


lim R(x) = 0 e lim R(x) = 0

x→Xo+                           x→Xo-






Teorema del valor medio

LAGRANGE

(con dimostrazione)


Se:

  • f continua in [a ; b]
  • f derivabile in [a ; b]

Implica che:

f (b) - f (a)

c [a ; b] / f ' (c) = __________

b - a




f (b) - f (a)

__________ è il coefficiente angolare della retta secante il grafico nei punti

b - a ( a ; f (a) )      e ( b ; f (b) )


Può essere infatti considerato come un rapporto incrementale:


f(x) - f (x°)



R = ___________

x - x°


Significato geometrico: esiste un punto c Є [a ; b] tale che la retta tangente il grafico nel

punto ( c ; f (c) ) ha lo stesso coefficiente angolare della retta secante il grafico nel punto

( a ; f (a) ) e ( b ; f (b) )



DIMOSTRAZIONE


costruisco la seguente funzione g (x)


( f (a) - f (b))

g (x) = f (x) - ____________ * (x - a)

(b - a)


VERIFICHIAMO SE g (x) SODDISFA LE IPOTESI DEL TEOREMA DI ROLLE:

  • g è continua in (a ; b ) perché somma di funzioni continue ( 1° ipotesi teorema di Rolle)

f (x) è continua per ipotesi.



( f (a) - f (b) )

____________ * (x - a) → è continua in [a ; b]

(b - a)


  • g è derivabile in ( a ; b ) perché somma di funzioni derivabili ( 2° ipotesi teorema di Rolle)

f è derivabile in ( a ; b )



( f (a) - f (b) )

____________ * (x - a) → è derivabile ovunque in [a ; b]

(b - a)


  • Verifichiamo se g ( b ) = g ( a )

Calcolo g (a ) :


( f (b) - f (a))

g (x) = f (x) - ____________ * (x - a)

(b - a)


sostituisco a alle x:                 

f (b) - f (a) * (a - a)

g (a) = f (a) - ___________ =

b - a



g ( b ) = f ( a )



QUINDI SE:          

g ( a ) = f (a )

g ( a ) = g ( b )

g ( b ) = f (a )


Poiché g ver4ifica tutte le ipotesi del teorema di Rolle allora esiste un punto c appartenente ad

( a ; b ) tale che g' (c) = 0

Verifico calcolando g' :


(x - a) = è una funzione            f(b) - f (a)

_________ = è uyna costante k

b - a

g' = f ' (x) - k - 1


( La derivata di una costante per una funzione è uguale alla costante k per la derivata della funzione)


f(b) - f(a)

g' ( c ) = f ' ( c ) - ______________ → g' ( c ) = 0

b - a


f(b) - f(a)

f ' ( c ) = ____________

b - a





Teorema dell HỒPITAL

Definizione: Siano f e g due funzioni derivabili in un intorno di Xo sia:


f (x)

lim          ____ una forma indeterminata del tipo 0/0 o ∞/∞

x→Xo          g (x)




f (x) f ' (x)

allora, se esiste il     lim _____ = lim _______

x→Xo g (x)                         x→Xo         g ' (x)







N.B. se esiste

f ' (x)

lim _______

x→Xo g ' (x)


f (x)

potrebbe ancora esistere il lim ______

x→Xo g ' (x)








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