TEOREMA DI ROLLE

matematica

TEOREMA DI ROLLE

Enunciato: Data una funzione f(x) continua nell'intervallo (a; b) aperto e derivabile nei punti interni di detto intervallo. Diremo che se la funzione nel punto a è uguale alla funzione nel pu 535c22f nto b ovvero f(a)=f(b) allora esisterà un punto x₀ interno all'intervallo [a; b] tale che f '(x₀)=0

Dimostrazione algebrica : Per dimostrare il teorema di Rolle, dobbiamo applicare il teorema di Weirstrass (Una funzione continua e derivabile in [a; b] ammette punti di minimo e massimo assoluto). Prendiamo in esame x₁ come punto di minimo e x₂ come punto di massimo in modo che f(x₁) f(x) f(x₂ per ogni x appartenente a [a; b] Si possono verificare 2 casi

1) Uno dei due punti x₁ o x₂ è interno all'intervallo (a; b) => applicando il teorema di Fermat la derivata prima in tal punto è uguale a zero f '(x₀)=0

2) x₁ e x₂ entrambi non interni ad esempio x₁=a e x₂=b => Se f(a)=f(b) allora f(a) f(x) f(b) => f(x)=f(a), ovvero che la funzione è costante e quindi la derivata prima di una funzione costante è in qualsiasi punto uguale a zero f '(x₀)=0