EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Questa è un'equazione di secondo grado le cui radici (o soluzioni) sono due, rispettivamente x = 4 e x = -4, dato che 42 = 16 e - 42 = 16.

Poiché non ha senso parlare di quadrati con lato negativo, abbiamo che la soluzione del nostro problema è:

lato del quadrato = x = 4.

@Fig. 1

Mentre le equazioni di primo grado posso avere una o infinite soluzioni, e si dicono indeterminate, oppure possono non avere soluzioni, e allora si dicono impossibili, le equazioni di secondo grado hanno due soluzioni, in alcuni casi coincidenti, oppure nessuna soluzione.

Le equazioni di secondo grado si possono presentare in tre forme e cioè:

1. ax2 + c = 0 - equazione di tipo "pura"

2. ax2 + bx = 0 - equazione di tipo "spuria"

3. ax2 + bx + c = 0 - equazione di tipo "completa"

Il numero "a" prende il nome di "coefficiente del termine di secondo grado"; il numero "b" prende il nome di "coefficiente del termine di primo grado", mentre il numero "c" prende il nome di "termine noto".

L'equazione di secondo grado vista nel nostro problema x² = 16 è un'equazione di tipo pura.

Se un'equazione non è in una delle tre forme viste si può sempre ricondurla a una di quelle tre forme; prendiamo, per esempio, l'equazione 2 - 3x + 5x2 = 3x2 + 1 + 4x.

Trasportando a primo membro tutti i termini avendo cura di cambiare il segno ai termini che vengono spostati dal secondo membro al primo otteniamo:

2 - 3x + 5x2 - 3x2+ 1 + 4x = 0

e sommando fra di loro i termini in x2, i termini in x e i termini noti risulta:

2x2+ x + 3 = 0

che è un'equazione nella forma completa.

EQUAZIONE DI SECONDO GRADO PURA

Per risolvere un'equazione di secondo grado pura del tipo ax2+ c = 0 isoliamo il termine x2 cioè:

ax2= - c

e dividiamo ambo i membri per a, che è sicuramente diverso da zero altrimenti non sarebbe un'equazione di secondo grado. Otteniamo:

x2 = -c/a

Estraendo le radici quadrate di ambo i membri otteniamo le soluzioni dell'equazione che sono:

x = Ö-c/a

e

x = -Ö-c/a

Poiché, come sappiamo, nell'insieme dei numeri reali non esistono le radici quadrate dei numeri negativi (a differenza dei numeri complessi), affinché l'equazione sia risolubile la quantità -c/a deve essere positiva.

Quindi per le equazioni di secondo grado pure possiamo dire che: un'equazione di secondo grado pura, cioè della forma ax2+ c = 0 ha due soluzioni distinte se, e solo se, il coefficiente del termine di secondo grado " a" ha segno opposto al termine noto "c".

L'equazione 4x2 - 1 = 0 è risolubile perché il coefficiente del termine di secondo grado ha segno positivo, mentre il termine noto ha segno negativo, e le sue soluzioni sono:

x = 1/2 e

x = -1/2

L'equazione 4x2 + 1 = 0 non ha invece soluzioni perché il coefficiente del termine di secondo grado ha lo stesso segno del termine noto.

EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SPURIA

Per risolvere un'equazione di secondo grado spuria del tipo ax2+ bx = 0 raccogliamo a fattore comune il termine x ottenendo:

x (ax + b) = 0

Per la "legge dell'annullamento del prodotto", la quale afferma che il prodotto di due o più fattori è nullo se, e solo se, almeno un fattore è nullo, ne segue che il prodotto dei fattori x e (ax + b) sarà nullo se, e solo se,

x = 0 oppure

(ax + b) = 0 o entrambi.

Le soluzioni di un'equazione di secondo grado spuria sono quindi:

x = 0 che è sempre presente e

ax + b = 0 che è un'equazione di primo grado la cui soluzione è:

x = - b/a.

Quindi per le equazioni di secondo grado spurie possiamo affermare che: "un'equazione di secondo grado spuria della forma ax2+ bx = 0 è sempre risolubile e una sua soluzione è sempre x = 0, mentre l'altra è x = -b/a.

L'equazione 4x2- 8x = 0 ha soluzioni

x = 0 e

x = 8/4 = 2

Infatti se sostituiamo questi valori all'incognita dell'equazione otteniamo:

per x = 0 abbiamo 4(0)2- 8(0) = 0 - 0 = 0 e quindi x = 0 è una soluzione dell'equazione;

per x = 2 abbiamo 4(2)2- 8(2) = 4(4) - 16 = 16 - 16 = 0 e quindi x = 2 è una soluzione dell'equazione.

EQUAZIONE DI SECONDO GRADO COMPLETA

Per risolvere un'equazione di secondo grado completa della forma ax2+ bx + c = 0 dobbiamo far ricorso a una formula nota col nome di "formula risolutiva delle equazioni di secondo grado". Introduciamo dapprima una qualità importante delle equazioni di secondo grado: il "discriminante". Il discriminante di un'equazione di secondo grado si indica con la lettera greca D(delta) ed è dato da:

D= b2- 4 ac

In base al discriminante dell'equazione noi possiamo determinare se l'equazione è risolubile o no e, nel caso di risolvibilità, se le sue soluzioni sono due oppure due coincidenti. Una volta calcolato il discriminante dell'equazione, nell'ipotesi che il coefficiente del termine di secondo grado "a" sia positivo (ipotesi che è sempre lecito fare perché se così non fosse basterebbe cambiare segno a tutti i termini dell'equazione), possono succedere solo tre casi: Dpositivo, Dnullo o Dnegativo.

Nel primo caso avremo che l'equazione è risolubile e le soluzioni saranno due e distinte; nel secondo caso l'equazione sarà ancora risolubile ma le soluzioni coincideranno, mentre nel terzo caso l'equazione non sarà risolubile ovvero non esisterà nessun numero reale tale che, sostituito nell'equazione al posto dell'incognita, renda il primo membro uguale al secondo (cioè nullo). Calcolato il discriminante e, in base al suo segno, determinato se l'equazione è risolubile, le soluzioni sono date da:

x = (-b + Ö D) / 2a

x = (-b - Ö D) / 2a

E' bene far notare che la formula risolutiva permette di calcolare anche le soluzioni delle equazioni di secondo grado pure e spurie; infatti per un'equazione pura il discriminante vale:

D= -4ac in quanto nell'equazione pura b = 0.

Le soluzioni sono quindi:

x = (Ö-4ac )/ 2a = Ö(-4ac / 4a2 ) = Ö(-c/a)

e analogamente per l'altra soluzione.