DERIVATE - Infinitesimi

matematica

DERIVATE  

Rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto Xo e all'incremento h.

Derivata di una funzione f(x) in un punto Xo è il limite, se esiste, del rapporto incrementale, al tendere a zero dell'incremento dato alla variabile indipendente 757j97h .

La derivata di una funzione in un punto Xo è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f(x) nel suo punto d'ascissa Xo.

La derivata di una funzione in un punto Xo è la tangente goniomentrica dell'angolo formato dalla retta tangente al grafico di f(x) nel suo punto d'ascissa Xo con il semiasse delle ascisse positive.

Continuità delle funzioni derivabili - Ogni funzione, che ammette derivata finita in un punto, è continua in quel punto.

La continuità di una funzione è condizione necessaria, ma non sufficiente, per la sua derivibilità.

Derivate

fondamentali  

y = f(x) = c , dove c è una costante (derivata di una costante è 0),

y = f(x) = x (derivata della variabile indipendente 757j97h è 1)

y = f(x) = xⁿ , con n intero e positivo e si ha y = xⁿ y1 = nx^n-1

y = f(x) = rad x e si ha y = rad x   y1= 1/ 2 rad x

y = f(x) = sen x e si ha  y = sen x y1= cos x (derivata di senx e cosx)

y = f(x) = cos x e si ha  y = cos x y1= -senx (derivata di cosx è -senx)

y = f(x) = log_ax

y = f(x) = a^x

Infinitesimi

Una funzione y=f(x) si dice infinitesima per x -> c se  lim f(x) = 0

Infinitesimi simultanei y=f(x) e y=g(x)

Se lim f(x)/g(x)=0, si dice Y=f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x), se f(x) tende a zero + rapidamente.

Se lim f(x)/g(x)= si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x), se f(x) tende a zero - velocemente.

Se lim f(x)/g(x)= l diverso da 0, si dice che f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine, perché tendono a 0 con la stessa rapidità.

Se lim f(x)/g(x) non esiste gli infinitesimi non sono confrontabili.

Dati 2 infinitesimi simultanei per x -> c f(x) e g(x), si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine a a>0) rispetto a g(x), assunto come infinitesimo campione o principale.

G(x) = x  se x -> 0

G(x) = 1/x   se x ->

G(x) = x - c    se x -> c