TEOREMA DI CAUCHY

matematica

TEOREMA DI CAUCHY

Hp: f:[a;b] ; g:[a;b] ; g'(x) "x (a;b)

continue [a;b] ; derivabili [a;b] 555h78f

Th: x₀ in (a;b)/f'(x)=f(b)-f(a)

g'(x) g(b)-g(a)

Dim: a partire da f e g si costruisce una nuova funzione

F:[a;b] con F(x)=[g(b)-g(a)]f(x)-[f(b)-f(a)]g(x)

Si osservi che F è continua in [a;b] e derivabile in

(a;b) poiché lo sono f e g (per Hp) e F è differenza

di [g(b)-g(a)]f(x) e [f(b)-f(a)]g(x),entrambe continue

e derivabili,in quanto g(b)-g(a) e f(b)-f(a) sono

funzioni costanti.

Applicando LAGRANGE a F x₀ in (a;b) tale che

F'(x₀)=F(b)-F(a)

b-a

Si calcoli ora:F'(x)=[g(b)-g(a)]f'(x)-[f(b)-f(a)]g'(x)

F(a)=[g(b)-g(a)]f(a)-[f(b)-f(a)]g(a)

F(b)=[g(b)-g(a)]f(b)-[f(b)-f(a)]g(b)

poi svolgendo F(b)-F(a)=0

allora F'(x₀)=c=F(b)-F(a)

b-a

ma F'(x₀)=[g(b)-g(a)]f'(x₀)-[f(b)-f(a)]g'(x₀)=0

e allora [g(b)-g(a)]f'(x₀)-[f(b)-f(a)]g'(x₀)=0

poiché g'(x) 0,A x (a;b) e x₀ è in (a;b),allora g'(x₀)

ed è lecito dividere l'uguaglianza ottenuta per g'(x₀)

Si ottiene [g(b)-g(a)]f'(x₀)-[f(b)-f(a)]=0

g'(x₀)

In più anche g(b)-g(a) 0 poiché se fosse g(b)-g(a)=0

sarebbe possibile applicare ROLLE alla funzione g ed

ottenere l'esistenza di un punto y₀ in (a;b)/g'(y₀)=0,

mentre per Hp g'(x) " x (a;b).

dividendo per g(b)-g(a) si ottiene

f'(x₀)=f(b)-f(a)    come volevasi dimostrare .

g'(x₀) g'(b)-g(a)