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DERIVATE
DERIVATE
Per trovare il coefficiente angolare m
h → incremento della x
f (x + h) → incremento della funzione
f (x + h) f (x)
→ rapporto incrementale 
h
f (x + h) - f (x)
m = lim
h → 0 h
Il coeff. angolare della retta tangente alla funzione nel punto "p" è il lim del rapporto incrementale.
Il limite del rapporto incrementale lo chiameremo Derivata della Funzione.
FORMULA SULLE DERIVATE
DERIVATA DEL PRODOTTO
Quando c'è un prodotto: f (x) = g (x) . h (x) La derivata si trova:
f (x) = g' (x) h (x) + h' (x) g (x)
DERIVATA DEL QUOZIENTE
N (x)
Quando c'è un quoziente:
f (x) = La derivata si trova:
D (x)
N' (x) D (x) - D' (x) N (x)
f ' (x) =
[D (x)]
Derivate delle funzioni elementari
y = c (costante)
y' = 0
y = x y' = 1
y = xα, α Є R y' = αx α-1
y = sin (x) y' = cos (x)
y = cos (x) y' = - sin (x)
1
y = arcsin (x) y' =
1 - x2
1
y = arccos (x) y' = -
1 - x2
y = ex y' = ex
1
y = ln (x) y' =
x
Esempi:
(Derivata del Prodotto)
1
y = arctg x - 3x2 +
¼ y' = - 6x
1 + x2
1 1 1
y = ln x . 1/x
y' = . - . ln x =
x x x2
1 1 1 ln x
= - . ln x = -
x2 x2 x2 x2
(Derivata del Quoziente)
2x 2x . x ln 2 - 1 . 2x 2x . (x ln 2 - 1)
y = y' = =
x x2 x2
cos x - 1 - sin x . sin x - cos x . (cos x - 1) - sin2 x - cos2 x + cos x
y = y'
= =
sin x (sin x)2 sin2 x
FUNZIONI COMPOSTE (DERIVATE)
y = F (G (x)) y ' = F' (G (x)) . G' (x)
y = F (G (h(x))) y ' = F' (G (h(x))) . h' (x)
Esempi:
1 cos x
y = log (sin x) y' = . (cos x) = = cotg x
sin x sin x
1
y = cos (log x)
y' = - sin (log x) .
x
1
y = \ ex + 2 y' = . ex
2 \ ex + 2
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