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Definizione Sia , f si dice derivabile in x0 se
esiste finito
Tale numero si indica con
ed è detto derivata prima di f in x0.
Osservazioni:
Il rapporto
si chiama rapporto incrementale di f relativo a x0.
Poiché
è lecito porre x=x0+h, se si ha che
e dunque si può equivalentemente scrivere
Se
si considera il limite per (
) si parla di derivata destra e si indica con f'+(x0).
Analogamente si definisce la derivata sinistra, che si indica con f'-(x0).
Si dimostra che f è derivabile in x0 se e solo se f'+=f'-=f'.
Si dice che f è derivabile in un intervallo A se lo è in ogni punto di A.
Esempi:
v La funzione f(x)=k con k costante è
derivabile in ed
f'(x)=0 per ogni x in
.
Infatti
si ha
v La funzione f(x)=x è derivabile in ed f'(x)=1 per ogni
. Infatti
v Ogni funzione lineare f(x)=ax+b, , è derivabile in
ed
f'(x)=a per ogni
. Infatti
Controesempio
v La funzione f(x)=|x| è derivabile per ogni x
di diverso
da zero. Infatti
Allora
Considerando x0=0 si ha
Quindi f'+(0)=1, mentre f'-(0)=-1 e dunque f non è derivabile in zero (esso è detto punto angoloso).
Vale il seguente importante teorema:
Teorema Se f è derivabile in x0, allora f è continua in x0.
Osservazione Il teorema stabilisce la relazione fra la continuità e la derivabilità di una funzione. Vale la pena di sottolineare il contenuto del Teorema, poiché si tende spesso a dar per scontata proprio la parte non vera: nelle ipotesi del teorema, la derivabilità di f(x) (in un punto x0 o in un intero intervallo I) implica la sua continuità (nello stesso punto x0 o nello steso intervallo I), ma non vale il viceversa: ad esempio f(x)=|x| è continua in x0=0, ma è ivi non derivabile. Brevemente, si usa spesso scrivere
derivabilità |
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continuità |
Un'ulteriore precisazione: quanto detto significa che dalla continuità non si può dedurre la derivabilità, ma non significa che una funzione continua non possa essere anche derivabile. Anzi, la maggior parte degli esempi di funzioni che incontriamo in questo libro sono funzioni continue e derivabili in tutto il loro dominio di definizione.
Infine si noti che se una funzione non è definita in un punto o in un intervallo, allora non ha senso parlare della sua continuità e/o derivabilità in quel punto o in quell'intervallo, semplicemente perchè essa ivi non esiste.
Per introdurre graficamente il concetto di derivata, fissiamo un punto x0nel piano cartesiano che appartenga all'insieme di definizione di y=f(x) e consideriamo il punto P0(x0,f(x0)) che appartiene al grafico Gf della funzione. Consideriamo inoltre un nuovo punto P(x,f(x)) sul grafico di f, distinto da P0, la cui ascissa x appartenga ancora all'insieme di definizione di f. Per come abbiamo scelto le cose (figura 3.1) la retta s passante per P0 e Pè una secante del grafico di f.
Figure 3.1: retta secante il grafico della funzione f(x). |
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Fissato P0, immaginiamo di poter avvicinare P a P0sul
grafico Gf: la posizione della retta secante cambia
progressivamente fino a raggiungere una posizione limite quando P
coincide con P0: quella della retta t tangente al
grafico di f in P0 (figura 3.2. )
Figure 3.2: passaggio dalla retta secante alla retta tangente in P0 al grafico della funzione f(x). |
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Il coefficiente
angolare della retta secante s è
e
lo si rappresenta mediante il rapporto degli incrementi e
.
Questa frazione è nota come rapporto incrementale di f(x) in x0.
Nel caso in esame, al tendere di P a P0 si ha che
tendono a zero sia la differenza
(cioè
la distanza
di x da x0), che la differenza
(cioè
la distanza di f(x)da f(x0)). Portando
il ragionamento al limite, si deve calcolare il limite del rapporto incrementale
Se questo limite esiste esso è chiamato derivata di f in x0 ed è dunque il coefficiente angolare della retta tangente t al grafico di f in P0.
Abbiamo dimostrato che se f è derivabile in (a,b) allora è anche continua in (a,b): quindi Gf è un arco di curva continua nel piano cartesiano ed è perciò lecito in fig. 3.1 immaginare di poter avvicinare P a P0.
Pertanto
se f è derivabile in x0, allora geometricamente esiste
la retta tangente a Gf in P0, di
coefficiente angolare finito dato da (fig3.2)
L'equazione di tale retta è:
y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) |
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dove il termine noto q=f(x0) si ottiene immediatamente da
Osservazioni:
Il secondo membro della (3.2) può essere usato per approssimare la funzione f(x):
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Tale approssimazione è detta approssimazione del prim'ordine
(fig.3.3) Il valore a secondo membro di (3.2) approssima tanto meglio f(x)
quanto più x è vicino ad x0 (poichè in x0
si ha
Figure 3.3: significato geometrico dell'approssimazione del prim'ordine della funzione f(x) in un intorno di x0. |
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Se
per definizione f non è derivabile in x0, ma geometricamente esiste ugualmente la retta tangente a Gf in (x0,f(x0)) ed è una retta parallela all'asse delle ordinate. Si dice in questo caso che f ha un flesso a tangente parallela all'asse delle ordinate, ossia a tangente verticale.
Figure 3.4: punto di flesso a tangente parallela all'asse delle ordinate. |
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Due applicazioni importanti della nozione di derivata, come accennato all'inizio del capitolo, sono la nozione di velocità e quella di accelerazione in meccanica.
Teorema (Regole di derivazione)
Siano f e g due funzioni derivabili in e
k una costante: allora
sono derivabili in x0s e valgono le seguenti relazioni:
i)
,
ii)
(fg)'(x0)=f'(x0)g(x0)+f(x0)g'(x0),
iii)
(kf)'(x0)=kf'(x0),
iv
(per
),v)
(per
).
Le formule date nel teorema 9per una coppia di funzioni si estendono al caso di n>2 funzioni.
Esempi:
La funzione f(x)=xn, ,
è derivabile per ogni x0 e la derivata è
f'(x0)=nx0n-1.
Più in generale, se la funzione è un polinomio di grado n si scrive
Ad esempio è Dx3=3x2.
La derivata del reciproco di una potenza, cioè di , si ottiene da v) e risulta
Così ad esempio Dx-3=-3x-4.
Esercizi: .
Calcolarein
x0, ove
.
Soluzione:
Dire
se la funzioni ed
sono
derivabili e determinarne la derivata.
Soluzione: sono derivabili come prodotto di funzioni derivabili e si ha
Determinare
la retta tangente al grafico di nel punto di ascissa uguale a uno.
Soluzione:
allora
Teorema (Derivata della funzione
composta) Se f(x) e g(x) sono funzioni
derivabili e ha senso considerare ,
allora tale funzione composta è derivabile in x0(g lo
è in f(x0)) e risulta
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La formula (3.3) è anche nota come regola della catena.
Esempi:
Per la funzione ,
ponendo f(x)=y=ax+b e
,
si ottiene
.
.
.
Teorema (Derivata della funzione inversa)
Sia
f invertibile e sia f-1 l'inversa. Se f è
derivabile in x0 con ,
allora f-1 è derivabile in y0=f(x0)
e
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dove x0=f-1(y0).
Figure 3.5: interpretazione geometrica della derivata della funzione inversa f-1 di una funzione derivabile f. |
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Geometricamente, l'equazione (3.4)
dice che il coefficente angolare della
retta tangente al grafico della funzione inversa f-1 nel
punto Q di coordinate (yQ,f1(yQ))=(f(xP),xP),
è il reciproco del coefficente angolare
della
retta tangente al grafico di f(x) nel generico punto P(xP,f(xP)),
cioè (fig. ):
Esempi:
Consideriamo ,
che è l'inversa di y=x2: allora
Per la funzione potenza y=xn l'inversa è , quindi
La funzione è
l'inversa di
,
,
,
allora
Questo risultato discende dal fatto che per
e
dunque dalla relazione trigonometrica fondamentale si ricava
Analogamente, poiché è
l'inversa di
si
ha
Esercizi:
Sono
derivabili in x0=0 le funzioni e
? Suggerimento: sia f che g
sono funzioni composte: calcolando i limiti a destra e a sinistra del rapporto
incrementale per f(x) si ha che valgono
.
Pertanto 0 è un punto dove esiste un flesso a tangente verticale. Per g(x)
i due limiti valgono rispettivamente
e
:
in tal caso si dice che 0 è un punto
cuspidale.
Figure:
grafici delle funzioni |
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Osservazione Se la derivata di f è una funzione derivabile, si può considerare la derivata di f': tale funzione si indica con f'' e si chiama derivata seconda di f, o anche derivata del second'ordine di f. Se f è derivabile tre volte (cioè se anche f''è derivabile) allora possiamo considerare la funzione f''', che si chiama derivata terza di f, e così via.
Esempio:
Le
funzioni e
sono
entrambe derivabili risulta:
ossia sono entrambe
derivabili infinite volte. Per le funzioni potenza con esponente intero risulta
In pratica, la derivata di ordine n di una potenza n-esima è la
costante n! e tutte le derivate di ordine superiore ad n sono
nulle. Ad esempio
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