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DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE

matematica




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DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE

Definizione e prime proprietà

Definizione   Sia , f si dice derivabile in x0 se esiste finito


\begin\lim_\;\frac.
\end


Tale numero si indica con

\beginf'(x_0),\quad Df(x_0),\quad \fracf}x}(x_0),
\end




ed è detto derivata prima di f in x0.

Osservazioni:

Il rapporto

\begin\frac,
\end


si chiama rapporto incrementale di f relativo a x0.

Poiché è lecito porre x=x0+h, se si ha che e dunque si può equivalentemente scrivere

\begin\lim_\;\frac.
\end


Se si considera il limite per  () si parla di derivata destra e si indica con f'+(x0). Analogamente si definisce la derivata sinistra, che si indica con f'-(x0).

Si dimostra che f è derivabile in x0 se e solo se f'+=f'-=f'.

Si dice che f è derivabile in un intervallo A se lo è in ogni punto di A.




Esempi:

v     La funzione f(x)=k con k costante è derivabile in $\mathbbm$ed f'(x)=0 per ogni x in $\mathbbm$. Infatti si ha

\begin\lim_\;\frac=0.
\end


v     La funzione f(x)=x è derivabile in $\mathbbm$ed f'(x)=1 per ogni. Infatti

\begin\lim_\;\frac=1.
\end


v     Ogni funzione lineare f(x)=ax+b, , è derivabile in $\mathbbm$ed f'(x)=a per ogni. Infatti

\begin\lim_\;\frac
=\lim_\;\frac=a.
\end


Controesempio

v     La funzione f(x)=|x| è derivabile per ogni x di $\mathbbm$diverso da zero. Infatti

\beginf(x)=\begin
x & \textx>0, \\
0 & \textx=0,\\
-x & \textx<0.
\end\end


Allora

\begin\frac=\begin
\dfrac...
...\textx,x_0<0\quad\Rightarrow\quad f'(x_0)=-1.
\end\end


Considerando x0=0 si ha

\begin\frac=\frac
=\begin
1 & \textx>0, \\
-1 & \textx<0.
\end\end


Quindi f'+(0)=1, mentre f'-(0)=-1 e dunque f non è derivabile in zero (esso è detto punto angoloso).

Vale il seguente importante teorema:

Teorema   Se f è derivabile in x0, allora f è continua in x0.


\beginOccorre provare che
\begin
\lim_f(x...
...im_f(x)-f(x_0)=0,
\end
come volevasi.
\end

Osservazione   Il teorema stabilisce la relazione fra la continuità e la derivabilità di una funzione. Vale la pena di sottolineare il contenuto del Teorema, poiché si tende spesso a dar per scontata proprio la parte non vera: nelle ipotesi del teorema, la derivabilità di f(x) (in un punto x0 o in un intero intervallo I) implica la sua continuità (nello stesso punto x0 o nello steso intervallo I), ma non vale il viceversa: ad esempio f(x)=|x| è continua in x0=0, ma è ivi non derivabile. Brevemente, si usa spesso scrivere

derivabilità

$\begin
\Longrightarrow \\
\Longleftarrow \makebox[0pt][l]
\end$

continuità

Un'ulteriore precisazione: quanto detto significa che dalla continuità non si può dedurre la derivabilità, ma non significa che una funzione continua non possa essere anche derivabile. Anzi, la maggior parte degli esempi di funzioni che incontriamo in questo libro sono funzioni continue e derivabili in tutto il loro dominio di definizione.

Infine si noti che se una funzione non è definita in un punto o in un intervallo, allora non ha senso parlare della sua continuità e/o derivabilità in quel punto o in quell'intervallo, semplicemente perchè essa ivi non esiste.

Significato geometrico di derivata

Per introdurre graficamente il concetto di derivata, fissiamo un punto x0nel piano cartesiano che appartenga all'insieme di definizione di y=f(x) e consideriamo il punto P0(x0,f(x0)) che appartiene al grafico Gf della funzione. Consideriamo inoltre un nuovo punto P(x,f(x)) sul grafico di f, distinto da P0, la cui ascissa x appartenga ancora all'insieme di definizione di f. Per come abbiamo scelto le cose (figura 3.1) la retta s passante per P0 e Pè una secante del grafico di f.


Figure 3.1: retta secante il grafico della funzione f(x).

\includegraphics[width=.5\textwidth]


Fissato P0, immaginiamo di poter avvicinare P a P0sul grafico Gf: la posizione della retta secante cambia progressivamente fino a raggiungere una posizione limite quando P coincide con P0: quella della retta t tangente al grafico di f in P0 (figura 3.2. )


Figure 3.2: passaggio dalla retta secante alla retta tangente in P0 al grafico della funzione f(x).

\includegraphics[width=.65\textwidth]


Il coefficiente angolare della retta secante s è

\begin\frac=\tan(\alpha)
\end


e lo si rappresenta mediante il rapporto degli incrementi $\Delta y=f(x) - f(x_0)$e $\Delta x = x - x_0$. Questa frazione è nota come rapporto incrementale di f(x) in x0. Nel caso in esame, al tendere di P a P0 si ha che tendono a zero sia la differenza $\Delta x$(cioè la distanza di x da x0), che la differenza $\Delta y$(cioè la distanza di f(x)da f(x0)). Portando il ragionamento al limite, si deve calcolare il limite del rapporto incrementale

\begin\lim_\frac =
\lim_\frac.
\end


Se questo limite esiste esso è chiamato derivata di f in x0 ed è dunque il coefficiente angolare della retta tangente t al grafico di f in P0.





Precisazioni sul significato geometrico

Abbiamo dimostrato che se f è derivabile in (a,b) allora è anche continua in (a,b): quindi Gf è un arco di curva continua nel piano cartesiano ed è perciò lecito in fig. 3.1 immaginare di poter avvicinare P a P0.

Pertanto se f è derivabile in x0, allora geometricamente esiste la retta tangente a Gf in P0, di coefficiente angolare finito dato da $f'(x_0)=\tan(\beta)$(fig3.2) L'equazione di tale retta è:


y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)



dove il termine noto q=f(x0) si ottiene immediatamente da

\beginy=f'(x_0)x+q\ \Rightarrow\ f(x_0)=f'(x_0)x_0+q\
\Rightarrow\ q=f(x_0)-f'(x_0)x_0.
\end


Osservazioni:


Il secondo membro della (3.2) può essere usato per approssimare la funzione f(x):



Tale approssimazione è detta approssimazione del prim'ordine (fig.3.3) Il valore a secondo membro di (3.2) approssima tanto meglio f(x) quanto più x è vicino ad x0 (poichè in x0 si ha $f(x)\equiv f(x_0)$






Figure 3.3: significato geometrico dell'approssimazione del prim'ordine della funzione f(x) in un intorno di x0.

\includegraphics[width=.6\textwidth]

Se

\begin\lim_\frac=\pm \infty,
\end

per definizione f non è derivabile in x0, ma geometricamente esiste ugualmente la retta tangente a Gf in (x0,f(x0)) ed è una retta parallela all'asse delle ordinate. Si dice in questo caso che f ha un flesso a tangente parallela all'asse delle ordinate, ossia a tangente verticale.   


Figure 3.4: punto di flesso a tangente parallela all'asse delle ordinate.

\includegraphics[width=.6\textwidth]


Due applicazioni importanti della nozione di derivata, come accennato all'inizio del capitolo, sono la nozione di velocità e quella di accelerazione in meccanica.

Calcolo della derivata

Teorema (Regole di derivazione)   Siano f e g due funzioni derivabili in $x_0\in (a,b)$e k una costante: allora

\beginf\pm g,\quad fg,\quad kf,\quad \frac,\quad \frac
\end

sono derivabili in x0s e valgono le seguenti relazioni:

i)

$(f \pm g)'(x_0)=f'(x_0)\pm g'(x_0)$,

ii)

(fg)'(x0)=f'(x0)g(x0)+f(x0)g'(x0),

iii)

(kf)'(x0)=kf'(x0),

iv

$\left(\dfrac\right)'(x_0)=-\dfrac(x_0)}$(per $g(x_0)\neq 0$),v) $\left(\dfrac\right)'(x_0)=
\dfrac(x_0)}$(per $g(x_0)\neq 0$).

Le formule date nel teorema 9per una coppia di funzioni si estendono al caso di n>2 funzioni.


Esempi:


La funzione f(x)=xn, $n\in\mathbbm$, è derivabile per ogni x0 e la derivata è

f'(x0)=nx0n-1.



Più in generale, se la funzione è un polinomio di grado n si scrive

\beginf'(x_0)=\bigl(a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n\bigr)'(x_0)
=a_1+a_2x_0+\ldots+na_n x_0^.
\end


Ad esempio è Dx3=3x2.


La derivata del reciproco di una potenza, cioè di $f(x)=x^=\frac}$, si ottiene da v) e risulta

\beginD\left(\frac}\right)(x_0)=\frac{-nx_0^}}=-nx_0^.
\end


Così ad esempio Dx-3=-3x-4.

Esercizi: .

Calcolare$D(\tan(x))$in x0, ove $\cos(x_0)\neq 0$.
Soluzione:

\beginD\left(\frac\right)_
=\frac
=\frac=1+\tan^2(x_0).
\end






Dire se la funzioni $x^2\sin(x)$ed $x\sin^2(x)$sono derivabili e determinarne la derivata.
Soluzione: sono derivabili come prodotto di funzioni derivabili e si ha

\begin\begin
D(x^\sin(x))_&=2x_0\sin(x_0)+x_0^...
...(x))_&=\sin^(x_0)+2\sin(x_0)\cos(x_0).
\end\end



Determinare la retta tangente al grafico di $f(x)=\frac$nel punto di ascissa uguale a uno.
Soluzione:

\beginD\left(\frac\right)_
=\left(\frac{(x+3)^}\right)_=\frac,
\end


allora

\beginy=\frac(x-1).
\end


Teorema (Derivata della funzione composta)   Se f(x) e g(x) sono funzioni derivabili e ha senso considerare $g\circ f$, allora tale funzione composta è derivabile in x0(g lo è in f(x0)) e risulta

\begin\bigr(g(f(x))\bigl)'_=(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0).
\end





La formula (3.3) è anche nota come regola della catena.

Esempi:


Per la funzione $\sin(ax+b)=g(f(x))$, ponendo f(x)=y=ax+b e $g(y)=\sin(y)$, si ottiene

\begin\begin
D(\sin(ax+b))_
&=D(\sin(y))_\;D(ax+b)_\\
&=a\cos(y_0)=a\cos(x_0+b).
\end\end



$D\left(\sin^2(kx)\right)=2k\sin(kx)\cos(kx)$.


$D(\tan(3x))=D(\tan(y))\cdot D(3x)=3(1+\tan^2(3x))$.


$
D\left(\dfrac\right)
=\dfrac
=\dfrac$.


Teorema (Derivata della funzione inversa)  

Sia f invertibile e sia f-1 l'inversa. Se f è derivabile in x0 con $f'(x_0)\neq 0$, allora f-1 è derivabile in y0=f(x0) e

\begin(f^)'_=\frac,
\end



dove x0=f-1(y0). 

Figure 3.5: interpretazione geometrica della derivata della funzione inversa f-1 di una funzione derivabile f.

\includegraphics[width=.7\textwidth]


Geometricamente, l'equazione (3.4) dice che il coefficente angolare $\tan(\beta)$della retta tangente al grafico della funzione inversa f-1 nel punto Q di coordinate (yQ,f1(yQ))=(f(xP),xP), è il reciproco del coefficente angolare $\tan(\alpha)$della retta tangente al grafico di f(x) nel generico punto P(xP,f(xP)), cioè (fig. ):

\begin\tan(\beta)=\tan\left(\dfrac-\alpha\right)=\frac.
\end


Esempi:


Consideriamo $\sqrt$, che è l'inversa di y=x2: allora

\beginD(\sqrt)_=\frac{D(x^2)_{x_0=f^(y_0)}}
=\frac}}=\frac}.
\end



Per la funzione potenza y=xn l'inversa è $x=\sqrt[n]=y^$, quindi

\beginD(y^)_=\frac}}
=\fr...
...nx_0^}=\frac}=\fracy_0^.
\end




La funzione $x=\arcsin(y)$è l'inversa di $y=\sin(x)$, $y \in [-1,1]$, $x\in [-\pi/2,\pi/2]$, allora

\beginD(\arcsin(y))_
=\frac{D(\sin(x))_}
=\frac=\frac}.
\end


Questo risultato discende dal fatto che $cos(x)\geq 0$per $x\in [-\pi/2,\pi/2]$e dunque dalla relazione trigonometrica fondamentale si ricava

\begin\sin^2(x_0)+\cos^2(x_0)=1\quad\Rightarrow\quad
\cos(x_0)=\sqrt.
\end



Analogamente, poiché $x=\arccos(y)$è l'inversa di $\cos(x)$si ha

\beginD(\arccos(y))_
=\frac{D(\cos(x))_}
=\frac=-\frac}.
\end


Esercizi:


Sono derivabili in x0=0 le funzioni $f(x)=\sqrt [3]$e $g(x)=\sqrt [3]$? Suggerimento: sia f che g sono funzioni composte: calcolando i limiti a destra e a sinistra del rapporto incrementale per f(x) si ha che valgono $+\infty$. Pertanto 0 è un punto dove esiste un flesso a tangente verticale. Per g(x) i due limiti valgono rispettivamente $+\infty$e $-\infty$: in tal caso si dice che 0 è un punto cuspidale.


Figure: grafici delle funzioni $f(x)=\sqrt [3]$(a) e $g(x)=\sqrt [3]$(b) in un intorno di x=0.

(a)

\includegraphics[width=.7\textwidth]

(b)

\includegraphics[width=.7\textwidth]



Osservazione   Se la derivata di f è una funzione derivabile, si può considerare la derivata di f': tale funzione si indica con f'' e si chiama derivata seconda di f, o anche derivata del second'ordine di f. Se f è derivabile tre volte (cioè se anche f''è derivabile) allora possiamo considerare la funzione f''', che si chiama derivata terza di f, e così via.



Esempio:

Le funzioni $\sin(x)$e $\cos(x)$sono entrambe derivabili risulta:

\beginf(x)=\sin(x),\ f'(x)=\cos(x),\ f''(x)=-\sin(x),\ f'''(x)=-\cos(x),
\ldots
\end

ossia sono entrambe derivabili infinite volte. Per le funzioni potenza con esponente intero $n\in\mathbbm$risulta


\beginf(x)=x^n,\quad f'(x)=nx^,\quad f''(x)=n(n-1)x^,\quad\ld...
...)\cdots 2\,x,\quad f^(x) = n!,
\quad f^=0\ \forall m>n.
\end
In pratica, la derivata di ordine n di una potenza n-esima è la costante n! e tutte le derivate di ordine superiore ad n sono nulle. Ad esempio

\beginf(x)=x^3\Rightarrow f'(x)=3x^2\Rightarrow f''(x)=6x
\Rightarrow f'''(x)=6\Rightarrow f^(x)=0\quad\ldots.
\end








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