LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI - EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Risolvere, o integrare, un'equazione differenziale significa trovare tutte le sue soluzioni, ovvero quelle funzioni che verificano l'uguaglianza; esse sono infinite e dipendono da un numero di costanti pari all'ordine n dell'equazione stessa.

L'insieme di tutte le soluzioni è detto Integrale Generale espresso come:

y = Φ (x,c₁,c₂....c_n)

Ogni funzione che si ottiene dall'integrale generale assegnando particolari valori alle costanti c₁,c₂....c_n viene chiamata Integrale particolare.

TEOREMA DI CHAUCHY

Se la funzione f(x,y) e la sua derivata parziale sono continue nei punti interni ad un certo dominio D e se è un punto interno a D, allora esiste une ed una sola soluzione dell'equazione:

definita in un certo intorno di x₀, per la quale risulta cioè per il punto passa una sola curva integrale dell'equazione.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

Si definisce equazione differenziale del primo ordine un equazione del tipo:

F (x,y,y') = 0

Nella quale la x e la y possono anche non comparire , mentre la y' deve esplicitamente figurare (altrimenti l'equazione non risulterebbe di natura differenziale.

Prendiamo in esame 5 tipi di equazioni differenziali del primo ordine con i rispettivi metodi per la risoluzione:

• EQUAZIONI A VARIABILI SEPARATE O SEPARABILI
• EQUAZIONI LINEARI
• EQUAZIONI OMOGENEE
• EQUAZIONI DI BERNOULLI
• EQUAZIONI DIFFERENZIALI ESATTE

METODI DI RISOLUZIONE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE

EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI

Questo tipo di equazioni hanno la proprietà di ridursi alla seguente forma:

Essendo:   si ottiene che:

Dividendo i due membri per g(y) e integrando si ottiene il valore di y:

ESEMPIO 1

EQUAZIONI LINEARI

Prende il nome di equazione differenziale lineare quella equazione che è di primo grado rispetto alla funzione incognita y e alla sua derivata prima y'; può essere scritta così:

Dove f(x) e g(x) sono funzioni continue della variabile x in un intervallo [a,b]:

Posto,

L'integrale generale è dato dalla relazione:

ESEMPIO 2

EQUAZIONI OMOGENEE

Si chiama equazione differenziale omogenea del primo ordine, un'equazione che si può scrivere sotto la forma:.

Per risolverla si pone:

   ovvero la cui derivata è

Sostituita nell'equazione si ottiene:

   un'equazione a variabili separabili.

ESEMPIO 3

EQUAZIONI DI BERNOULLI

E' definita equazione di Bernoulli un'equazione differenziale del primo ordine che si può ricondurre alla forma:

Le funzioni f(x) e g(x) sono continue in un certo intervallo [a,b].

Si può essere trasformata in un equazione lineare di primo grado, dividendo entrambi i membri per y^a:

si pone:  

sostituendo si ottiene: 

ESEMPIO 4

EQUAZIONI ESATTE

Un'equazione del primo ordine del tipo:

con M(x,y) ed N(x,y) due funzioni continue, insieme alle loro derivate parziali prime, in un intorno R del punto , si dice esatta quando il suo primo membro è esatto, ovvero quando risulta:

, in tutti i punti interni ad R.

Il suo integrale generale è dato dalla funzione:

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE

Si definisce equazione differenziale del secondo ordine un equazione del tipo:

F (x,y,y',y'') = 0

Nella quale la x, la y e la y' possono anche non comparire , mentre la y'' deve esplicitamente figurare (altrimenti l'equazione non risulterebbe del secondo ordine, ma di uno inferiore o del tutto non differenziale.

EQUAZIONI OMOGENEE A COEFFICIENTI COSTANTI

Sono equazioni del tipo:

con a, b e c costanti reali.

Per determinare l'integrale generale si risolve un'equazione di 2° grado, detta "equazione caratteristica dell'equazione differenziale", avente per coefficienti a, b e c:

Ricordando che un'equazione di II grado può avere soluzioni:

o    REALI E DISTINTE

o    REALI E COINCIDENTI

o    COMPLESSE CONIUGATE

si distinguono i 3 casi.

• Soluzioni reali e distinte

In questo caso l'integrale generale dell'equazione differenziale è dato da:

ESEMPIO

• Soluzioni reali e coincidenti

In questo caso l'integrale generale dell'equazione differenziale è dato da:

ESEMPIO

• Soluzioni complesse

In questo terzo caso le soluzioni della equazione differenziale sono di natura complessa, ovvero costituite da una parte reale e una parte immaginaria.

Trovate le due soluzioni:

Si scrive l'integrale generale:

ESEMPIO

EQUAZIONI NON OMOGENEE A COEFFICIENTI COSTANTI

Sono equazioni differenziali del tipo:

Nella quale g(x) viene detto "termine forzante".

L'integrale generale è dato dalla formula:

Dove è l'integrale generale dell'equazione omogenea associata:e è un integrale particolare.

Nel caso in cui g(x) è un polinomio di grado n l'integrale particolare, è:

• Un polinomio dello stesso grado di g(x) se C ≠ 0
• Un polinomio di grado n+1 se C = 0
• Un polinomio di grado n+2 se b = C = 0

ESEMPIO SPIEGAZIONE

Si sostituisce nell'equazione originaria

Si confrontano i risultati

Non compare nessun valore per c quindi esso può assumere qualsiasi valore