DERIVABILITA'

Questo numero l si dice derivate prima della funzione in Xo

SIGNIFICATO GEOMETRICO della derivata prima: è il coefficiente angolare della retta tangente, se esiste, è unica ed

ha equazione:

Y = f (Xo) + f' (Xo) * ( X - Xo)

↓

coefficiente angolare

n.b. Se la funzione non è continua non può essere derivabile

Teorema: Se f è derivabile in Xo allora deve essere continua in Xo

( la continuità è condizione necessaria per la derivabilità )

( l = finito cioè la funzione è derivabile)

Dimostrazione

f (X) - f (Xo)

IPOTESI: lim ____________ = l

x→Xo
X - Xo

TESI:   lim f (X) = f (Xo)

x→Xo

calcoli: [ f(X) - f(Xo) ]

f (X) = f (Xo) + _____________ * (X - Xo) per ogni x ≠ Xo

( X - Xo)

f (X) = f(Xo) + f(X) - f(Xo)

f (X ) = f (X) è un'identità. quindi vera sempre.

lim f(X) = lim [ f(Xo) + ( f(X) - f(Xo) ) * (X-Xo) ]

x→Xo x→Xo ___________ =

X - Xo

lim f(X) + lim [ f(X) - f(Xo) ] * ( X - Xo)

x→Xo x→Xo _____________ =

X - Xo

f (Xo) + lim f(X) - f(Xo) * lim (X - Xo) = f (Xo)

x→Xo ___________ x→Xo ↓

0

X - Xo

↓

ℓ

ℓ è finito per definizione, quindi ℓ * 0 è sempre uguale a 0 e mai forma indeterminata ±∞

( i punti di non derivabilità devono essere comunque appartenenti al campo di esistenza)

DERIVATE

Derivate di funzioni elementari:

D senx = cosx D log X = 1/x

x x

D cosx = - senx D a = a log a

x x

D loga X = 1/x loga X   D e = e

REGOLE DI DERIVAZIONE

Somma

D [f (x) + f (x)] = f' (x ) + f' (x

Prodotto

D [f (x) * f (x)] = f' (x ) * f (x) + f (x) * f' (x

Esponenziale

n n - 1

D [f (x)] = n [f (x)] * f' (x)

Quoziente

f (x ) f' (x ) * f (x ) - f (x ) * f' (x

D ── = _____ _______ ______ ___________

f (x [f (x

DERIVATE DI FUNZIONE COMPOSTA

Se t = f (x) è derivabile in X Є I, e la funzione y = g (t) è derivabile in t = f (x) Є f ( I )

La funzione composta y = g [f (x)] è derivabile in X e si ha:

D g [f (x)] = g' (t) * f' (x)

g(x)    g(x)

N.B. D [f (x)] = [f (x)] * [ g'(x) log f(x) + g (x) * f' (x)]

───

f (x)

Esempio

x x

D x = x [log x + 1]

cos x cos x

D (sen x) = (sen x ) [- sen x * log (sen x) + cos²x ]

───

sen x

In particolare se α = ½

1 f' (x)

D √x = ── → D √ f (x) = ──

2 √x 2√ f (x)

Esempio

⅓ 1

D ³√ x = D x = ⅓ x = ______

3x ³√x²

DERIVATE DI UNA FUNZIONE PARI E DISPARI

Sia f : Df → R | x → f (x)

Sappiamo che la f è pari se:

x Є Df → -x Є Df e f (-x) = f (x) (PARI)

Ed è dispari se:

x Є Df → -x Є Df e f (-x) =- f (x) (DISPARI)

Supponiamo che la f sia derivabile in x Є Df :

per la regola di derivazione di funzioni composte si ha:

Df (-x) = -f' (-x)

Pertanto:

• Se la f  è pari allora: Df (-x) = Df (x) = f' (x) = -f' (-x)

• Se la f  è dispari allora: Df (-x) = D[-f (x)] = -f' (x) = -f' (-x)

(Quindi la f' è pari)

DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA

Se la funzione f (x) è derivabile nel punto Xo Є I ed è f' (x )≠ 0, allora anche la funzione x = f (y) è derivabile in Yo = f (Xo) e vale:

1

( f )' (Yo) = ______

f '(Xo)