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Equazioni e disequazioni irrazionali - Equazioni

matematica


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Equazioni e disequazioni irrazionali

Equazioni

In generale, un'equazione si dice irrazionale se l'incognita compare sotto il segno di radice:


con intero . Per la risoluzioni di queste equazioni, distinguiamo due casi:




dispari (

pari (


dispari

Poiché, se è dispari e e sono due numeri reali qualunque, tale che:


si ha:


Quindi l'equazione irrazionale, se è dispari, si risolve semplicemente elevando a potenza -esima entrambi i membri.


Esempio

Risolviamo l'equazione:


Elevando entrambi i membri al cubo si ottiene l'equazione equivalente:


da cui, riducendo a forma normale si ha l'equazione:


le cui radici sono:



pari

Anche nel caso in cui si ha n pari sia:


con l'unica differenza che a e b siano non negativi.

Per risolvere l'equazione occorrerà imporre alcune condizioni, e specificamente:

a)    la condizione di realtà del radicale:


b)      la condizione di concordanza dei segni tra i due membri:


c)      la condizione ottenuta elevando ambo i membri alla potenza -esima:


Quindi, se n è pari, l'equazione è equivalente al sistema:


che, osservando che la condizione è implicita nella seconda equazione, diventa:


Esempio 1

Risolviamo l'equazione


si avrà che:


da cui segue che:


Poiché e , l'equazione avrà come unico risultato:


Esempio 2

Risolviamo l'equazione:


In questo caso bisogno dapprima imporre la condizione di realtà dei tre radicali, che devono essere verificate contemporaneamente:


da cui si ricava

Sotto la condizione di entrambi i membri dell'equazione sono positivi; possiamo perciò elevare al quadrato, ottenendo il sistema equivalente:


da cui:


e, elevando di nuovo al quadrato, si avrà:


risolvendo l'equazione di secondo grado avremo:


E, poiché e , l'equazione irrazionale avrà come unico risultato:



Disequazioni

Una disequazione si dice irrazionale se l'incognita compre sotto il segno di radice. Considerando disequazioni del tipo:


con intero . In questo caso distinguiamo due casi, come per le equazioni:

dispari (

pari (


dispari



Per fissare le idee, sia . In tal caso, se ricordiamo la proprietà delle disuguaglianze:


si ha che la disequazione equivale a:


Quindi per risolvere disequazioni del tipo con dispari, basta elevare a potenza -esima entrambi i membri, ottenendo una disequazione equivalente ed equiversa.


Esempio

Risolviamo la disequazione:


Elevando al cubo entrambi i membri si avrà:


da cui si ottiene:


Poiché le radici dell'equazione associata sono e , la disequazione è verificata per:



pari

Per far capire il concetto, supponiamo che . Occorre distinguere due sottocasi:

a)   

b)   

Passiamo ad esaminare i due casi distintamente.

- Perché la disuguaglianza abbia senso occorre imporre la condizione di realtà del primo membro:


inoltre, essendo il primo termine non negativo, affinché la disequazione risulti soddisfatta occorre il polinomio sia positivo:


Avendo imposto queste condizioni, si ha che i due termini della disuguaglianza non sono negativi; quindi ora eleviamo al quadrato la disequazione:


Pertanto la disequazione iniziale equivale al seguente sistema:



Esempio

Risolviamo la seguente disequazione:


Imponendo la condizione di realtà del primo membro, la condizione di positività del secondo e, infine, elevando al quadrato avremo il seguente sistema:


ossia:


La terza disequazione, avendo il , è verificata

Ora riportiamo su un grafico le soluzioni delle prime due disequazioni:




Si ricava che il sistema è soddisfatto per:



- La condizione di realtà del primo membro è data da:


Ora, se , la disequazione è senz'altro verificata, quindi le soluzioni del sistema:


sono soluzioni della disequazione.

Nel caso in cui sia , la disequazione è soddisfatta se:


quindi sono soluzione della disequazione data anche le soluzioni del sistema:


Poiché la condizione è già implicita nella terza disequazione:


avremo che il sistema si può scrivere come segue:


In conclusione, l'unione dei due sistemi:


dà l'insieme delle soluzioni della disequazione data.


Esempio

Risolviamo la disequazione:


Le soluzioni della disequazioni data si ottengono unendo le soluzioni dei due sistemi:


Il primo sistema equivale a:


con soluzione

Il secondo sistema, invece, equivale al seguente:


da cui si ottiene:


Riportando le soluzioni su un grafico si vede che il secondo sistema è soddisfatto per

Dunque la disequazione irrazionale data è soddisfatta per:


quindi per:











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