Equazioni e disequazioni irrazionali - Equazioni

dispari (

pari (

dispari

Poiché, se è dispari e e sono due numeri reali qualunque, tale che:

si ha:

Quindi l'equazione irrazionale, se è dispari, si risolve semplicemente elevando a potenza -esima entrambi i membri.

Esempio

Risolviamo l'equazione:

Elevando entrambi i membri al cubo si ottiene l'equazione equivalente:

da cui, riducendo a forma normale si ha l'equazione:

le cui radici sono:

pari

Anche nel caso in cui si ha n pari sia:

con l'unica differenza che a e b siano non negativi.

Per risolvere l'equazione occorrerà imporre alcune condizioni, e specificamente:

a)    la condizione di realtà del radicale:

b)  la condizione di concordanza dei segni tra i due membri:

c)  la condizione ottenuta elevando ambo i membri alla potenza -esima:

Quindi, se n è pari, l'equazione è equivalente al sistema:

che, osservando che la condizione è implicita nella seconda equazione, diventa:

Esempio 1

Risolviamo l'equazione

si avrà che:

da cui segue che:

Poiché e , l'equazione avrà come unico risultato:

Esempio 2

Risolviamo l'equazione:

In questo caso bisogno dapprima imporre la condizione di realtà dei tre radicali, che devono essere verificate contemporaneamente:

da cui si ricava

Sotto la condizione di entrambi i membri dell'equazione sono positivi; possiamo perciò elevare al quadrato, ottenendo il sistema equivalente:

da cui:

e, elevando di nuovo al quadrato, si avrà:

risolvendo l'equazione di secondo grado avremo:

E, poiché e , l'equazione irrazionale avrà come unico risultato:

Disequazioni

Una disequazione si dice irrazionale se l'incognita compre sotto il segno di radice. Considerando disequazioni del tipo:

con intero . In questo caso distinguiamo due casi, come per le equazioni:

dispari (

pari (

dispari

Per fissare le idee, sia . In tal caso, se ricordiamo la proprietà delle disuguaglianze:

si ha che la disequazione equivale a:

Quindi per risolvere disequazioni del tipo con dispari, basta elevare a potenza -esima entrambi i membri, ottenendo una disequazione equivalente ed equiversa.

Esempio

Risolviamo la disequazione:

Elevando al cubo entrambi i membri si avrà:

da cui si ottiene:

Poiché le radici dell'equazione associata sono e , la disequazione è verificata per:

pari

Per far capire il concetto, supponiamo che . Occorre distinguere due sottocasi:

a)   

b)   

Passiamo ad esaminare i due casi distintamente.

- Perché la disuguaglianza abbia senso occorre imporre la condizione di realtà del primo membro:

inoltre, essendo il primo termine non negativo, affinché la disequazione risulti soddisfatta occorre il polinomio sia positivo:

Avendo imposto queste condizioni, si ha che i due termini della disuguaglianza non sono negativi; quindi ora eleviamo al quadrato la disequazione:

Pertanto la disequazione iniziale equivale al seguente sistema:

Esempio

Risolviamo la seguente disequazione:

Imponendo la condizione di realtà del primo membro, la condizione di positività del secondo e, infine, elevando al quadrato avremo il seguente sistema:

ossia:

La terza disequazione, avendo il , è verificata

Ora riportiamo su un grafico le soluzioni delle prime due disequazioni:

Si ricava che il sistema è soddisfatto per:

- La condizione di realtà del primo membro è data da:

Ora, se , la disequazione è senz'altro verificata, quindi le soluzioni del sistema:

sono soluzioni della disequazione.

Nel caso in cui sia , la disequazione è soddisfatta se:

quindi sono soluzione della disequazione data anche le soluzioni del sistema:

Poiché la condizione è già implicita nella terza disequazione:

avremo che il sistema si può scrivere come segue:

In conclusione, l'unione dei due sistemi:

dà l'insieme delle soluzioni della disequazione data.

Esempio

Risolviamo la disequazione:

Le soluzioni della disequazioni data si ottengono unendo le soluzioni dei due sistemi:

Il primo sistema equivale a:

con soluzione

Il secondo sistema, invece, equivale al seguente:

da cui si ottiene:

Riportando le soluzioni su un grafico si vede che il secondo sistema è soddisfatto per

Dunque la disequazione irrazionale data è soddisfatta per:

quindi per: