RELAZIONE DEL LIBRO 'MATEMATICA DELL'INCERTEZZA'

Le situazioni che permettono di avere una certezza assoluta riguardo al futuro sono molto poche e pertanto, fin dall'antichità, si è cercato di capire con che frequenza, ad esempio, lanciando in aria una moneta, si ottiene testa o croce oppure, lanciando dei dadi, quali sono le combinazioni di numeri che risultano più frequenti.

Ogni volta che non disponiamo di una quantità sufficiente di dati per poter stabilire chiaramente il verificarsi o meno di una situazione, questa è guidata da una valutazione probabilistica.

Nonostante il fatto che il calcolo delle probabilità abbia sempre incuriosito le persone, solo in tempi relativamente recenti (inizio settecento) il calcolo delle probabilità è diventato un vero capitolo della matematica.

Il primo problema basato sul calcolo delle probabilità venne sottoposto a Blaise Pascal e a Pierre de Fermat da Antoine Gombaud nel 1654 ed il quesito consisteva nel sapere se era più probabile ottenere un 6 lanciando quattro volte un dado, oppure un 12 lanciando ventiquattro volte due dadi.

Riassumendo, il calcolo delle probabilità è il tentativo di matematizzare i processi inconsapevoli o puramente intuitivi con cui attribuiamo una determinata probabilità ad un determinato evento.

Un primo tentativo di precisare la nozione di probabilità: la definizione classica

Usando sempre l'esempio del lancio di una moneta, gl 515h78f i esiti possibili sono due: testa e croce. Tenendo conto di questo, la possibilità che lanciando la moneta venga fuori testa è di 1 su 2 ovvero 1/2 e quindi del 50%.

Attraverso questo semplice ragionamento, si può giungere ad una prima definizione di probabilità ovvero la definizione cosiddetta "classica": la PROBABILITA' di un evento è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili.

NUMERO DI CASI FAVOREVOLI

PROBABILITA' DI UN EVENTO =

NUMERO DI CASI POSSIBILI

Se lanciando una moneta dieci volte, otteniamo dieci volte testa, sarebbe logico pensare che all'undicesimo lancio sia più probabile che venga fuori croce, ma in realtà non è così perché la probabilità che esca croce, o ancora testa, è ancora del 50%.

La definizione classica di probabilità, tuttavia, non è completamente esatta e spesso potrebbe trarre in inganno e perciò, ben presto, verranno aggiunte delle condizioni che la renderanno più precisa.

Problemi legati alla definizione classica di probabilità

Come già detto, la definizione classica di probabilità non è sempre chiara ed infatti, chiedendo quale sia la probabilità che, nel lancio di due monete, si ottengano due teste, ci si può trovare davanti a due possibili risposte entrambe apparentemente esatte:

T = TESTA

C = CROCE

Le possibili combinazioni sono: TT, CC e TC e pertanto la probabilità è di 1/3 ovvero del 33%

Le possibili combinazioni sono: TT, CC, TC e CT e pertanto la probabilità è di 1/4 ovvero del 25%

Tra le due risposte, in realtà, soltanto una è esatta ed è la seconda. Questo perché se si provasse a prendere due monete diverse o a colorarle di colori diversi otterremmo le due combinazioni T1-C2 e C1-T2. La prima risposta è errata perché cerca di comprimere in un unico caso, due combinazioni diverse ed in questo modo, il caso una testa ed una croce corrisponderebbe sia a TC che a CT ed il caso, avrebbe un "peso" diverso dagli altri casi CC e TT.

La definizione di probabilità, allora, dovrebbe tenere conto dell'uguaglianza dei pesi.

Per definire l'uguaglianza dei pesi, si dovrebbe parlare di equiprobabilità e quindi della definizione classica di probabilità entrando così in un circolo vizioso.

Tuttavia, la definizione di probabilità, assume questo aspetto: la PROBABILITA' di un evento è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, purché questi siano equiprobabili.

Altri modi di determinare la probabilità di un evento

Si è appurato che la definizione di probabilità può essere applicata solo a determinate situazioni di laboratorio.

Nell'ambito commerciale ed economico, si adotta la definizione di probabilità frequentistica che mette a confronto il numero di esperimenti favorevoli con il numero totale di esperimenti.

Numero di esperimenti favorevoli

Numero totale di esperimenti

In questo modo viene assunta come probabilità di un evento, la frequenza relativa con cui si presenta in situazioni analoghe.

Tuttavia, anche questa definizione di probabilità ha delle imperfezioni derivanti dal fatto che non si conosce il numero di esperimenti da effettuare per ottenere un dato certo.

In conclusione, nei casi in cui nessuna delle due definizioni vada bene, siamo costretti ad accettare come definizione di probabilità, la definizione di tipo soggettivistica e quindi otteniamo un risultato influenzato dalle nostre aspettative.

Probabilità di un evento complesso a partire dalla probabilità degli eventi che lo compongono

Dato che la probabilità che si verifichi un evento, anche apparentemente semplice come il lancio di una moneta, può essere stabilita in molti modi differenti (ognuno dei quali in parte corretto ed in parte errato) gli studiosi hanno rivolto i loro studi ad un altro tipo di situazioni più complesse che vanno smembrate nelle parti più semplici che le compongono per poter giungere al risultato finale.

Un comportamento simile si ebbe anche nel campo della logica passando ad analizzare la verità o la falsità di una frase partendo dalle frasi più semplici che la compongono.

Probabilità di un evento che è il prodotto logico di due eventi indipendenti

La probabilità di un evento complesso non è altro che il prodotto tra gli eventi più semplici che lo compongono.

Ad esempio, se volessimo calcolare le probabilità di incontrare un ragazzo il cui segno zodiacale è di terra e che abbia gli occhi chiari, dovremmo procedere in questo modo:

Ogni segno ha altri tre possibili sottocasi ovvero occhi neri, verdi e azzurri.

I segni di terra sono toro, vergine e capricorno. Pertanto le probabilità che abbia un segno di terra sono 3/12.

Le probabilità che abbia gli occhi chiari è 2/3.

In tutto ci sono 6 casi possibili in cui il ragazzo risponda ai requisiti richiesti ovvero 3 segni per 2 colori.

Il totale di casi possibili è 36 ovvero 12 segni per 3 colori.

Pertanto le probabilità che il ragazzo vada bene sono 6/36 che in realtà è il prodotto tra 3/12 e 2/3.

Dati due eventi tra loro indipendenti A e B, la probabilità dell'evento A e B è la seguente:

p(A e B) = p(A) * p(B)

La soluzione del problema di Antoine Gombaud

Due eventi si dicono complementari quando siamo certi che si verifichi o l'uno o l'altro evento ma mai entrambi come può essere il lancio di una moneta.

L'evento complementare ad ottenere un 6 in quattro lanci di dado è non ottenere neanche un 6 nei quattro lanci e pertanto le probabilità sono di

La probabilità che non esca neanche un sei è del 48%.

Sapendo che la probabilità di fare dodici lanciando due dadi è 1/36 (un sei su ogni dado e quindi 1/6 * 1/6), l'evento complementare avrà probabilità 35/36 moltiplicato per ventiquattro lanci che è uguale al 51%.

Pertanto, anche se di poco, è più probabile ottenere almeno un 6 in quattro lanci.

Probabilità di un evento che è il prodotto logico di due eventi qualsiasi

La formula per il calcolo delle probabilità di un evento che è il prodotto logico di due eventi più elementari, presenta alcune imperfezioni.

Infatti, supponiamo di dover pescare due monete da £500 da un contenitore che ha al suo interno due monete da £500 ed una da £100. Pescando la prima volta, la probabilità di pescare una moneta da £500 è 2/3. La seconda volta rimangono solo due monete e pertanto la probabilità è di 1/2 e non nuovamente 2/3 come farebbe pensare la formula p(A e B) = p(A) * p(B).

Pertanto la probabilità è di 2/3 * 1/2 = 2/6 = 33%

In questo modo si capisce che nel caso di due eventi tra loro dipendenti, occorre mutare la formula in p(A e B) = p(A) * p(B/A) dove p(B/A) è la probabilità di B condizionata al verificarsi di A.

Probabilità di un evento che è la somma logica di due eventi

Supponiamo che un gioco abbia le seguenti regole: estraendo una carta da un mazzo di carte, si vince se la carta è di spade o di bastoni o di denari, mentre si perde se è di coppe. Qual è la probabilità di vittoria? Ovviamente è 30/40 ovvero 30 carte su un totale di 40, o meglio, la somma delle probabilità che esca spade (10/40), bastoni (10/40) o denari (10/40).

Pertanto si capisce che la formula per la somma logica di due eventi è la seguente:

p(A o B) = p(A) + p(B)

A o B è la formula per indicare la somma logica.

Se al regolamento aggiungiamo nelle possibilità di vittoria, anche il caso in cui esca una figura, le possibilità diventerebbero 30/40 + 12/40 (12 figure) = 42/40 cioè più del 100%.

In realtà è sbagliato perché in questo modo le figure di spade, bastoni e denari, vengono contate due volte. Perciò la formula viene cambiata nel modo seguente:

p(A o B) = p(A) + p(B) - p(A e B)

e le probabilità di vittoria saranno 33/40.

Il calcolo delle probabilità e le "coincidenze": un piccolo contributo all'emancipazione da  una concezione "magica" della realtà

Di solito si è portati a pensare che le coincidenze si verifichino molto di rado per la loro scarsa probabilità. In realtà non è così: prendiamo, per esempio, cinque persone a caso. Quali probabilità avranno di avere (almeno due di loro) lo stesso segno zodiacale? Il calcolo da fare è molto semplice: per la prima persona sono liberi 12 segni, per il secondo 11 e così via. Quindi la probabilità che abbiano tutti segni diversi è: 11/12 * 10/12 * 9/12 * 8/12 = 55/144. L'evento segni tutti diversi, è il complementare dell'evento almeno due segni uguali e le probabilità saranno allora 1-55/144 = 89/144. Circa il 62%

Quindi, il fatto che tra cinque persone qualsiasi, almeno due abbiano lo stesso segno zodiacale non è poi tanto improbabile come sembra e così per molte altre "coincidenze" in realtà perfettamente comuni.

Il calcolo combinatorio

Introduzione al calcolo combinatorio

Definire un numero come 1.000.000.000.000 grande, in realtà è un grosso errore perché non esistono numeri grandi dato che sono seguiti da una quantità infinita di altri numeri molto più "grandi". Vengono definiti "grandi" i numeri che non siamo abituati ad usare quotidianamente solo perché non rientrano nella "norma" ma in alcune situazioni come il calcolo delle probabilità, adoperare numeri grandi è un'operazione comune.

Quanti sono i possibili ordinamenti di un insieme composto di n oggetti?

Supponiamo di voler ottenere tutte le possibili combinazioni dei piazzamenti d'arrivo di una gara di corsa a cui partecipano 12 corridori. Per il primo corridore vi sono 12 piazzamenti liberi, per il secondo ve ne sono 11, per il terzo 10 e così via fino alla fine.

La cosa più importante è che per ogni scelta del primo ve ne sono 11 per il secondo e quindi 12*11=132 scelte. Continuando così fino alla fine si ottiene che i possibili ordini di arrivo sono

I diversi ordinamenti vengono chiamati permutazioni.

Il metodo per ottenere tutti i possibili ordinamenti viene chiamato fattoriale e si indica con n!

Quante sono le possibili scelte di k elementi ordinati in un insieme composto di n oggetti?

Se nella stessa corsa dell'esempio precedente, volessimo tener conto solo dei primi tre posti, ci basterebbe limitarci agli ordinamenti possibili dei primi tre piazzamenti e quindi:

12 * 11 * 10 = 1320 possibili ordinamenti.

Questo tipo particolare di ordinamento viene detto disposizione di ordine k su n oggetti.

Quante sono le possibili scelte di k elementi ordinati (con eventuali ripetizioni) in un insieme composto di n oggetti?

Il procedimento è simile a quello per trovare le possibile scelte senza ripetizioni. In questo caso l'unica differenza è che dopo aver trovato il primo posto, il secondo potrà essere nuovamente occupato dallo stesso elemento e così per il terzo, il quarto, ecc.

Per calcolare il numero totale di scelte, ad esempio, per 6 posti e 25 elementi, il calcolo da fare sarà:

25 * 25 * 25 * 25 * 25 * 25 = 244.140.625 sestine

Per riassumere questa regola possiamo dire che le scelte possibili si ottengono elevando il numero di oggetti al numero di elementi ordinati: n elevato alla k.

Quante sono le possibile scelte di k elementi in un insieme composto di n oggetti?

Se ad esempio abbiamo 13 oggetti e 5 elementi, le regole apprese fino ad ora ci direbbero che il risultato sia 13 * 12 * 11 * 10 * 9. In realtà ciò non è vero perché non vogliamo trovare gli elementi ordinati, ma semplicemente il numero di elementi. Facendo questo conto, per ogni cinque numeri otterremmo le seguenti combinazioni:

1 2 3 4 5

1 2 4 3 5

....

Per calcolare semplicemente il numero di elementi dovremo fare il seguente calcolo:

= 1287

In questo modo con gli stessi numeri 1 2 3 4 5, otterremo solo questa combinazione e nessun altra.

Elementi di statistica

La statistica per fare previsioni

Avere a disposizione un gran numero di dati da consultare, spesso può costituire un problema soprattutto per la gestione e l'utilizzo di queste informazioni. Il problema principale che la statistica si pone di risolvere è quello di rendere davvero utilizzabili grandi quantità di informazioni relative agli oggetti della sua indagine. La statistica, quindi, raccoglie e restituisce in forma organizzata grandi quantità di informazioni. Nel far ciò obbedisce ad una duplice esigenza:

esigenza descrittiva: ogni comunità o ogni ambito della comunità, ha particolari esigenze nell'acquisizione di dati che sono finalizzati a migliorare l'ambiente in cui si opera.

Esigenza predittiva: analizzare dati del passato e del presente, sono indispensabili per poter predire eventi futuri anche se, non con certezza.

Le fasi preliminari del lavoro statistico

Prima di iniziare un lavoro statistico, è indispensabile definire i caratteri e la popolazione, ovvero decidere su quale argomento convertirà l'inchiesta ed il campione rappresentativo della popolazione.

La parte più difficile è decidere come ripartire in classi l'oggetto dell'inchiesta. Ad esempio, se l'inchiesta riguarda i cibi consumati dalla popolazione, quale sarà il modo migliore per ripartirli?

Ovviamente ve ne sono svariati e sarà compito dello statista individuare quello più adatto.

Altro problema, anche se meno complicato, è decidere il campione di persone che dovrà rappresentare l'intera popolazione. Non deve essere né troppo ampio (difficoltà nel gestire un gran numero di dati), né troppo ridotto (risultati troppo approssimativi).

La media aritmetica

La media, come dice la parola stessa, è il modo migliore per trovare in un insieme di valori, quello medio. Ad esempio, supponiamo che uno studente abbia ottenuto i seguenti voti in 5 interrogazioni: 6, 7, 7, 6, 6. La sua media aritmetica in quella materia sarà (6+7+7+6+6)/5 ovvero la somma dei valori diviso il numero di valori.

La media aritmetica, è un valore di sintesi ovvero un valore che riassume un insieme di numeri e, come la media, ve ne sono altri che vedremo più avanti.

La media, presenta anche alcuni inconvenienti, o meglio, vi sono alcuni ambiti nei quali non può essere adottata. Per esempio, se in un negozio di abbigliamento, la taglia media venduta è la 46, ciò non vuol dire che il proprietario venderà capi solo di taglia 46.

La speranza matematica come aspettativa rispetto al risultato di un esperimento

Per riassumere in poche parole il concetto di speranza matematica, possiamo dire che è un esito di un esperimento del tutto teorico: esprime la ragionevole aspettativa di guadagno o perdita di fronte ad un esperimento.

Esempio: lanciando un dado, si perde 100 se esce un numero dispari, si guadagna 10 se esce due, 120 se esce quattro e 140 se esce sei. A questo punto ci chiediamo: "Vale la pena di giocare?"

Otteniamo la risposta mediante questo semplice calcolo: i risultati che ci possiamo attendere sono

-100 -100 -100 +20 +120 +140 ovvero 6 casi. Pertanto il risultato medio che potremo ottenere è:

-100 +20 -100 +120 -100 +140 = -30 = -5

6 6

Ovvero una perdita di 5 e quindi, matematicamente, non vale la pena di giocare.

Altri valori di sintesi

Un altro valore di sintesi è la moda ovvero il valore che compare più frequentemente in un insieme di numeri. E' molto semplice da trovare perché risulta molto evidente, ma, come la media, ha alcuni inconvenienti nel suo utilizzo e ci potremmo rifare allo stesso esempio adottato nel paragrafo 3.3 riguardante la media.

Altro valore di sintesi è la mediana. Anche questa è molto semplice da trovare: una volta ordinati in un determinato ordine un insieme di numeri, il valore che si trova al centro è la mediana. Ad esempio, se avessimo 1 3 3 12 13 16 17, la mediana sarebbe 12. Se i numeri sono pari, si ricorrerà a calcolare la media tra i due numeri al centro.

Il problema della rappresentatività di un valore di sintesi

A volte i valori di sintesi, proprio per la loro sinteticità, non rappresentano correttamente i dati a cui si riferiscono. Il problema, quindi, sta nell'associare al valore di sintesi una misura di quanto riesce a rappresentarlo.

Uno di questi misuratori è l'intervallo di variazione che si calcola sottraendo il valore più grande a quello più piccolo. Un altro misuratore è lo scostamento medio ovvero la distanza tra ogni valore ed il valore medio.

Forme di rappresentazione dei risultati di un'indagine statistica

Altro problema dello statista è di rappresentare in modo chiaro i dati da lui raccolti. I metodi convenzionalmente usati sono i diagrammi a torta o aerogrammi, gli istogrammi ed infine il piano cartesiano. Quest'ultimo, presenta alcuni inconvenienti causati dall'adozione delle unità di misura sugli assi. Sarà importante, per mettere a confronto due piani cartesiani, che le unità di misura adottate siano le stesse o si potranno ottenere letture diverse dello stesso grafico.

Conclusione

Di tutti i campi della matematica, quello più "incerto" è senza dubbio la statistica perché non avrà mai dati certi dovendo adottare obbligatoriamente un campione in sostituzione dell'intera popolazione.

Il calcolo delle probabilità ha alcune somiglianze con la statistica perché i dati forniti sono in alcuni casi solo ipotesi, ma in altri casi, sono dati certi che non possono essere contraddetti. Il calcolo combinatorio, invece, dà in ogni caso un risultato corretto, ma ha una sconvenienza: il risultato che si vuole ottenere è insieme ad altre migliaia o milioni di combinazioni che ne rendono difficile l'individuazione.

In conclusione abbiamo dimostrato che alcuni campi della matematica non sono così rigidi come sembrano e che addirittura, risultati in teoria corretti, possono assumere interpretazioni diverse a seconda dei casi.