TEORIA FUNZIONI A DUE VARIABILI

LINEE DI LIVELLO: una linea di livello di quota k č l''insieme di tutti i punti del D della funzione data nei quali valori la funzione assume valore k.

INTORNO CIRCOLARE APERTO: si chiama intorno circolare aperto di  un punto P₀ un qualunque cerchio di centro P₀ e raggio a piacere, privato della circonferenza.

PUNTO DI ACCUMULAZIONE: un punto P₀ si dice punto di accumulazione se in un qualsiasi intorno circolare aperto di P₀ contiene almeno un punto diverso da P0 e appartenente ad AxB.

PUNTO INTERNO: un punto P₀ si dice punto interno se esiste almeno un intorno circolare aperto di P0 sottoinsieme di AxB.

PUNTO ESTERNO: un punto P₀ si dice punto esterno se esiste almeno un intorno circolare aperto di P₀ disgiunto da AxB.

PUNTO FRONTIERA: un punto P₀ si dice punto frontiera se qualsiasi intorno di P0 contiene punti diversi da P₀ che appartengono ad AxB e punti diversi da P0 che non appartengono AxB.

FUNZIONI SUBORDINATE: in un punto P₀ interno al D della funzione z=f(x;y) esistono 2 funzioni dette subordinate una z_x nella sola variabile x e una z_y nella sola variabile y.

DERIVATE PARZIALI: si chiamano derivate parziali della funzione z=f(x;y) in un punto P₀ interno al D se esistono le derivate della funzione ordinata calcolate in quel punto.

PUNTO DI SELLA: un punto interno al D si dice punto di sella se in qualsiasi intorno di P₀ esistono punti nei quali f(p) f(p₀) e punti nei quali f(p) f(p₀); č l'equivalente dimensionale del flesso.

MASSIMO RELATIVO: un punto P₀ interno al D si dice massimo relativo se in un opportuno intorno circolare aperto f(p₀)>f(p).

MINIMO RELATIVO: un punto P₀ interno al D si dice minimo relativo se per un opportuno intorno circolare aperto f(p₀)<f(p).

MASSIMO ASSOLUTO: un punto P₀ interno al D si dice massimo assoluto se per qualunque (x,y) interno al D f(p₀)>f(p).

MINIMO ASSOLUTO: un punto P₀ interno al D si dice minimo assoluto se per qualunque (x,y) interno al D f(p₀)<f(p).

PUNTO STAZIONARIO: un punto P₀ interno al D della funzioni z=f(x;y) si dice punto stazionario se in quel punto la funzione č derivabile e entrambe le derivate parziali sono nulle.

TEOREMA PUNTI STAZIONARI: se P₀ č un punto stazionario di z=f(x;y) e se in un opportuno intorno di P₀ č derivabile fino al secondo ordine e in tale intorno le derivate siano continue:

se H(P₀) < 0 P₀ č punto di sella;

se H(P₀) > 0 e Z''xx (_P0) > 0 P₀ min relativo;

se H(P₀) > 0 e Z''xx (P₀) < 0 P₀ max relativo;

se H(P₀) = 0 P₀ bisogna studiare le linee di livello.

HESSIANO: si chiama h. della funzione z=f(x;y) calcolato in P₀ interno al D il determinante della matrice [], supponendo la funzione derivabile almeno fino al secondo ordine nel punto P.

METODO DI LAGRANGE: si presuppongono sia la funzione che il vincolo derivabili almeno fino al 2° ordine, e le derivate sono continue almeno in tutti i punti interni al D; in un opportuno sottoinsieme del D le derivate di 1° ordine del vincolo non devono annullarsi contemporaneamente. Si trova la funzione di Lagrange (ovvero la funzione si somma al vicolo il quale viene moltiplicato per la variabile lambda), si trovano i punti stazionari, si trova l'hessiano orlato e si classifica in ciascun punto stazionario:

se H(p₀) > 0 p₀ č max libero per Lagrange e (x;y) č max vincolato per z=f(x;y);

se H(p₀) < 0 p₀ č min libero per Lagrange e (x;y) č min vincolato per z=f(x;y);

se H(p₀) = 0 caso dubbio.

APPLICAZIONI IN CAMPO ECONOMICO

FUNZIONI MARGINALI: sia z=f(x;y) fuzione derivabile con derivate continue, si chiamano funzioni marginali le derivate parziali della funzione stessa.

Le funzioni marginali esprimono approssimativamente la variazione della funzione aumentando di 1 unitā una variabile e lasciando invariate le altre.

ELASTICITA' PARZIALE: sia z=f(x;y) funzione derivabile con derivate continue, si chiama elasticitā parziale rispetto a x Z'x·(x/f) e si chiama elasticitā parziale rispetto a y Z'y·(y/f)

ELASTICITA' INCROCIATA: si chiama elasticitā incrociata della domanda di un determinato bene l'elasticitā parziale calcolata rispetto al prezzo di un altro bene.