Prodotto di convoluzione

matematica

Prodotto di convoluzione

Siano f e g due funzioni t R C. Quando esiste  si chiama prodotto di convoluzione e si indica con f*g.

Proprietà:

1) Commutatività: f*g = g*f

DIM:

 si esegua il cambiamento di variabili 545g68f

2) Traslazione:

 si esegua il cambiamento di variabili 545g68f

3) Derivata: , se esistono le derivate.

DIM:

, e poi si applica la commutatività.

Sia una delle due funzioni derivabile n volte su R. Se esiste il prodotto di convoluzione, esso è derivabile n volte.

.

Convolvere una funzione periodica con la funzione gradino unitario è detto metodo di smoothing, e vale anche per funzioni discontinue. L'alternarsi di picchi di massimo e minimo è il fenomeno di Gibbs. la sovraelongazione delle discontinuità è sempre del 9%.

Il prodotto di convoluzione non è associativo, tranne in rari casi particolari. Cioè date tre funzioni f, g, h in genere f*(g*h) (f*g)*h. Lo è quando tutte le funzioni sono contemporaneamente a supporto limitato.

Interpretazioni del prodotto di convoluzione

Siano f e g le funzioni scelte, si rappresenti f e g simmetrica rispetto all'asse delle ordinate. Il prodotto di convoluzione è l'intersezione dell'area sottesa da f(t) con l'area sottesa da g(t-t

Il prodotto di convoluzione è il valor medio nell'intervallo di calcolo.

d è l'untià del prodotto di convoluzione.

Il prodotto di convoluzione di funzioni unilatere rimane unilatero.

Prodotto di convoluzione per distribuzioni

Sia , il loro prodotto di convoluzione è la convoluzione dei limiti. Il metodo è però poco sfruttabile.

Siano F(t D _t e G(q D _q due distribuzioni, allora F*G è la distribuzione che "j t D opera nel seguente modo: .

Derivare nel senso delle distribuzioni una funzione od una distribuzione equivale a farne il prodotto di convoluzione con la derivata di d

Ogni funzione periodica con periodo T si può scrivere come prodotto di convoluzione di una funzione a supporto limitato con il treno d'impulsi.