Figura 2

Le basi teoriche che consentono il calcolo di tale area, e quindi, nell'esempio considerato, dello spostamento del punto materiale, costituiscono il calcolo integrale.

Consideriamo ora una generica funzione y = f(x) definita in un intervallo [a,b] e ivi continua. Per determinare l'area sottesa dalla funzione si suddivide l'intervallo [a,b] in n sottointervalli di ampiezza Dx_i = x_i - x_i-1. In ciascuno di questi intervalli la funzione ammetterà un valore massimo f(M) e un valore minimo f(m).

Figura 3

Se consideriamo tutti gli n sottointervalli in cui abbiamo suddiviso l'intervallo [a,b] otteniamo il grafico di figura 4 .

Figura 4

In ciascun intervallo la funzione ammette un valore massimo f(M_i) e un valore minimo f(m_i).

Consideriamo ora i due insiemi di rettangoli: quelli con base Dx_i e altezza f(m_i) e quelli con la stessa base e altezza f(M_i). I primi risultano inscritti, i secondi circoscritti al grafico rappresentante la funzione considerata.

Le somme delle aree dei rettangoli inscritti e circoscritti sono rispettivamente:

s =

S =

L'area A sottesa dalla funzione (detta area del trapezoide) è compresa fra le due: s A S

Se esiste ed è finito il limite per Dx_i delle sommatorie precedenti, la funzione f si dice integrabile e l'area A del trapezoide da essa sotteso vale:

= A = .

L'operazione appena definita viene indicata con:

e prende il nome di integrale definito.

Il calcolo di tale area viene ricondotto alla determinazione di una funzione F(x detta funzione primitiva della f(x), tale che la derivata di F sia esattamente la funzione f (ovvero F'=f). In tal modo l'area è data da: . Chiaramente, esisteranno infinite primitive della funzione f , che differiscono tra loro per una costante A (numero!), poichè la derivata di una costante vale zero, e quindi que funzioni F(x) e F(x)+A hanno uguale derivata. La ricerca di una funzione primitiva, operazione inversa della derivazione, prende il nome di integrazione indefinita.

Notiamo anche che solo se f(x) è positiva, il suo integrale definito tra a e b , che si indica con: coincide con l'area del dominio limitato dall'asse x, dalla funzione y=f(x) e dalle rette x=a e x=b.

Diamo qui di seguito alcune regole di integrazione e le primitive di alcune funzioni.

REGOLE DI INTEGRAZIONE

INTEGRALI ELEMENTARI (indichiamo una primitiva)

   se r

ALCUNI CASI PARTICOLARI

INTEGRALI IMMEDIATI

   se r

INTEGRALI TRIGONOMETRICI

INTEGRALI CONTENENTI EXP(X) O LN(X)

INTEGRALI DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE

INTEGRALI CONTENENTI e

INTEGRALI DI FUNZIONI IPERBOLICHE

INTEGRALI VARI

    se n

   se n

INTEGRALI DI LINEA

Affrontiamo ora il secondo problema proposto: quello del calcolo della lunghezza di una linea curva. Anche in questo caso (vedi figura 5) suddividiamo l'intervallo chiuso [a,b] in n sottointervalli mediante i punti a = t₀ < t₁<...<t_n = b in modo chi i punti r_i = r(t_i) suddividono l'arco considerato in n archi. Se si usa la lunghezza della corda |r_i - r_i-1| come approssimazione dell'arco i-esimo la somma
s_n = approssima la lunghezza della curva considerata. Moltiplichiamo e dividiamo per l'intervallo Dt (che sarà ad esempio la distanza tra due valori t_i-t_i-1 del parametro usato per la suddivisione) ciascun elemento di questa somma:

Figura 5

Si può mostrare che la lunghezza della curva considerata è data da

s = .

Nel caso in cui r(t) rappresenti la legge oraria di un punto materiale, dr/dt rappresenta la velocità scalare del punto stesso, e quindi la lunghezza della traiettoria è data prorpio dall'integrale della velocitàscalare rispetto al tempo.

Possiamo scrivere quindi

È da notare che la lunghezza della curva risulta indipendente dalla particolare parametrizzazione scelta per la linea C.

Se la rappresentazione parametrica della curva è:

allora   

se invece la curva è data in forma cartesiana: y=y(x),

utilizzando come parametro la variabile x, si ha:  

Nel caso in cui la curva sia rappresentata in forma polare: r=r(q

possiamo considerare la seguente parametrizzazione:   

da cui si ricava