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Principio di induzione

matematica




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-Principio di induzione-


P è una proposizione matematica di cui valutare la validità in un insieme di elementi.

Le condizioni necessarie sono:

  • P è vera per il primo elemento utile
  • Se P si ritiene vera per un generico elemento (ipotesi indut 151c21b tiva) e da ciò segue che la proprietà è vera per l'elemento successivo, allora P è vera per ogni elemento.

Esercizio:   2+4+6+.+2n=n(n+1) n S N0


  • considerato l'insieme in cui è definito n, il primo elemento utile fra i naturali escluso lo 0, è1.

Quindi uguaglio il primo e il secondo membro, sostituendo 1 a n.

n=1

2


La proposizione è dimostrata per il primo elemento utile.


  • devo considerare l'elemento successivo a n, cioè n+1.

Devo dimostrare che:   2+4+6+.+2n +2(n+1) = (n+1)(n+1+1)



Per ipotesi 2+4+6+.+2n è uguale a n(n+1)


Quindi pongo:   n(n+1) + 2(n+1) = (n+1)(n+1+1)

Risolvo l'identità dimostrando che i due membri sono uguali.

n2 + n + 2n + 2 = n2 + 2n + n +2



Esercizio: 1+3+5+.+(2n-1)=n2 n S N0


  • Il primo elemento utile è 1




  • n=n+1

1+3+5+...+(2n-1) + (2*(n+1)-1) = (n+1)2

Per ipotesi 1+3+5+...+(2n-1) è uguale a n2


Quindi pongo: n2+ (2*(n+1)-1) = (n+1)2

n2 + 2n + 2 - 1= n2 + 2n + 1

n2 + 2n + 1= n2 + 2n + 1



Esercizio: 1+5+9+...+(4n - 3)=n(2n-1) n S N0


  • n=1



  • n=n+1

1+5+9+...+(4n-3) + (4(n+1)-3) = (n+1) (2(n+1)-1)

Per ipotesi   1+5+9+...+(4n-3) è uguale a n(2n-1)

n(2n-1) + (4(n+1)-3) = (n+1) (2(n+1)-1)

2n2 - n + 4n + 4 - 3 = 2n2 +n + 2n + 1

2n2 + 3n + 1 = 3n + 1 + 2n2












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