TRASFORMAZIONI LINEARI

Le isometrie Sono trasformazioni isometriche le traslazioni, le rotazioni, le simmetrie e qualsiasi loro composizione. Le loro equazioni sono riassunte nella tabella che segue :

Composizione di isometrie. Si chiama composizione o prodotto di trasformazioni la trasformazione ottenuta applicando due o più trasformazioni una di seguito all'altra. Si osservi che in generale il prodotto di due trasformazioni non è una operazione commutativa. Nel caso che le due trasformazioni siano isometrie, la trasformazione ottenuta è ancora una isometria.

esempio. Si indica con s_A s_y la trasformazione ottenuta applicando prima una simmetria s_y di asse y e in seguito una simmetria s_A di centro A. Per trovare l'equazione della trasformazione composta (o del prodotto di trasformazioni) è sufficiente considerare che la doppia trasformazione porta P in P' e in seguito P' in P".

Si prenda allora le equazioni delle due trasformazioni elementari, rinominando le variabili della seconda (che applica P' in P"):

x' = x   x" = 2a x'

s_y s_A

y' = y y" = 2b y'

Sostituendo le variabili x', y' della prima nella seconda , si ottiene :

x" = 2a x )  x'' = 2a + x,

s_A s_y s_A s_y

y" = 2b (y) y''= 2b y

L'equazione trovata definisce la trasformazione composta s_A s_y

Isometrie inverse. Ogni isometria ammette una trasformazione inversa che porta P' in P che risulta essere anch'essa una isometria. Le equazioni della trasformazione inversa si ottengono facilmente ricavando dalla equazione della trasformazione diretta le variabili x, y in dipendenza delle variabili x', y'.

esempio Consideriamo l'isometria dell'esempio precedente :

x" = 2a + x

s_A s_y

y" = 2b y

L'equazione della sua trasformazione inversa si ottiene isolando le indeterminate x e y. Si ottiene[1] :

x = x" 2a

(s_A s_y

y = 2b y".

nota

Se dati qualsivoglia tre punti distinti A, B, C in un certo ordinamento (per esempio antiorario) la trasformazione mantiene nel medesimo ordinamento i punti corrispondenti A', B' e C' o i versi di percorrenza si dice che la similitudine è diretta ; in caso contrario si dirà che la trasformazione è invertente per il verso di rotazione o per il verso di percorrenza.

Trasformazione isometrica di rette e curve. Data una figura F e la figura corrispondente F' ad opera della trasformazione T, anche la sua equazione f(x,y)=0 risulterà "trasformata" in una equazione f_T(x', y')=0. Per trovare la sua forma è sufficiente sostituire nella equazione f(x,y)=0 le variabili x, y con le variabili trasformate x', y' (o x", y")

esempio : Se applichiamo la trasformazione isometrica s_A s_y alla retta e alla circonferenza rispettivamente di equazione y = 2x ­ e x² + y² +2x=0, otteniamo le corrispondenti equazioni delle figure associate nella applicazione. Si ha

2b y" = 2(x" - 2a) ­ y" = ­ 2x" + 2b + 4a + 1

(x" - 2a) ² + (2b y") ² +2(x" - 2a) = 0  

x"² + y"² +(2 4a)x" 4by" + 4a² +4b² 4a = 0.

Applicando le uguaglianze note si può verificare facilmente che il centro C( 1, 0) della circonferenza si trasforma nel punto C'(2a 1, 2b) ma che, per le proprietà di isometria, la misura del raggio r =1 rimane invariata.

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