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TRASFORMAZIONI LINEARI

matematica



trasformazioni lineari Tra le applicazioni del piano cartesiano in se, sono particolarmente importanti le trasformazioni lineari. Il sistema che definisce l'equazione di trasformazione è composto da relazioni di primo grado tra le indeterminate coinvolte del tipo 


x' = ax + by + p

y' = cx + dy + q


Le applicazioni lineari sono classificate in isometrie, similitudini ed affinità, in relazione alle proprietà geometriche che restano invariate (proprietà invarianti della trasformazione).





Le isometrie Sono trasformazioni isometriche le traslazioni, le rotazioni, le simmetrie e qualsiasi loro composizione. Le loro equazioni sono riassunte nella tabella che segue :


Nome della Isometria

simbolo

Equazioni

Note 717e43h

Traslazione

t(a,b)

x' = x + a

y' = y + b

Il vettore v(a,b) identifica la direzione e verso della traslazione

Simmetria di asse x

sx

x' = x

y' = y


Simmetria di asse y

sy

x' = x

y' = y


Simmetria centrale

sO

x' = x

y' = y




Rotazione



r(O,a



x' = ax by

y' = bx + ay

Deve valere la condizione di ortogonalità a2+b2=1. In pratica

a=cosq b=sen q

con q angolo di rotazione.

Simmetria di centro A(a, b)

sA

x' = 2a x

y' = 2b y


Simmetria di asse x = a

sx=a

x' = 2a x

y' = y


Simmetria di asse y = b

sy=b

x' = x

y' = 2b y



Composizione di isometrie. Si chiama composizione o prodotto di trasformazioni la trasformazione ottenuta applicando due o più trasformazioni una di seguito all'altra. Si osservi che in generale il prodotto di due trasformazioni non è una operazione commutativa. Nel caso che le due trasformazioni siano isometrie, la trasformazione ottenuta è ancora una isometria.


esempio. Si indica con sA sy la trasformazione ottenuta applicando prima una simmetria sy di asse y e in seguito una simmetria sA di centro A. Per trovare l'equazione della trasformazione composta (o del prodotto di trasformazioni) è sufficiente considerare che la doppia trasformazione porta P in P' e in seguito P' in P".

Si prenda allora le equazioni delle due trasformazioni elementari, rinominando le variabili della seconda (che applica P' in P"):

x' = x   x" = 2a x'

sy sA



y' = y y" = 2b y'


Sostituendo le variabili x', y' della prima nella seconda , si ottiene :


x" = 2a x )  x'' = 2a + x,

sA sy sA sy

y" = 2b (y) y''= 2b y

L'equazione trovata definisce la trasformazione composta sA sy


Isometrie inverse. Ogni isometria ammette una trasformazione inversa che porta P' in P che risulta essere anch'essa una isometria. Le equazioni della trasformazione inversa si ottengono facilmente ricavando dalla equazione della trasformazione diretta le variabili x, y in dipendenza delle variabili x', y'.

esempio Consideriamo l'isometria dell'esempio precedente :

x" = 2a + x

sA sy

y" = 2b y

L'equazione della sua trasformazione inversa si ottiene isolando le indeterminate x e y. Si ottiene[1] :

x = x" 2a

(sA sy

y = 2b y".


nota

 
Se dati qualsivoglia tre punti distinti A, B, C in un certo ordinamento (per esempio antiorario) la trasformazione mantiene nel medesimo ordinamento i punti corrispondenti A', B' e C' o i versi di percorrenza si dice che la similitudine è diretta ; in caso contrario si dirà che la trasformazione è invertente per il verso di rotazione o per il verso di percorrenza.


Trasformazione isometrica di rette e curve. Data una figura F e la figura corrispondente F' ad opera della trasformazione T, anche la sua equazione f(x,y)=0 risulterà "trasformata" in una equazione fT(x', y')=0. Per trovare la sua forma è sufficiente sostituire nella equazione f(x,y)=0 le variabili x, y con le variabili trasformate x', y' (o x", y")


esempio : Se applichiamo la trasformazione isometrica sA sy alla retta e alla circonferenza rispettivamente di equazione y = 2x ­ e x2 + y2 +2x=0, otteniamo le corrispondenti equazioni delle figure associate nella applicazione. Si ha


2b y" = 2(x" - 2a) ­ y" = ­ 2x" + 2b + 4a + 1


(x" - 2a) 2 + (2b y") 2 +2(x" - 2a) = 0  

x"2 + y"2 +(2 4a)x" 4by" + 4a2 +4b2 4a = 0.

Applicando le uguaglianze note si può verificare facilmente che il centro C( 1, 0) della circonferenza si trasforma nel punto C'(2a 1, 2b) ma che, per le proprietà di isometria, la misura del raggio r =1 rimane invariata.



Si noti che la scrittura (..)-1 indica una trasformazione inversa in modo puramente simbolico, non algebrico.

E' invalso l'uso di chiamare tali trasformazioni "inverse" con il pericolo di confonderle con l'operazione di inversione T-1 : (x', y') (x, y) della applicazione T.






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