ES. (2x+3y = (2x) ² + (3y) ² + 2(2x)(3y)

QUADRATO DI UN POLINOMIO

(a+b+c)(a+b+c) = (a+b+c) ²

(a+b+c) ² = a² +b²+c²+ab+ac+ba+bc+ca+cb

(a+b+c) ² = a² +b²+c²+2ab+2ac+2bc

Il quadato di un polinomio di un numero qualunque di termini è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini e dei doppi prodotti di ciascuno di essi per ognuno di quelli che lo seguono.

ES. (2a-3b+c) ² = (2a) ² + (-3b) ² + c²+ 2(2a)(-3b) + 2(2a)c + 2(-3b)c = 4a² + 9b²+ c² - 12ab + 4ac - 6bc

PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA

(a+b)(a-b) = a² + ab - ab - b²

(a+b)(a-b) = a² - b²

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo, meno il quadrato del secondo monomio.

ES. (3a² + 5ab ) (3a² - 5ab ) = 9a⁴ - 25a² b²

(a+b+2c) (a+b-2c) = [ ( a+b)+2c ] [ (a+b)-2c ] = (a+b)² - (2c)² = a² +2ab+b²- 4c²

4^° CUBO DI UN BINOMIO

(a+b)³ = (a+b)² (a+b) = (a² +2ab+b² )(a+b)= a³ + a² b + b²a + b³ +2a² b + 2b²a

(a+b)³ = a³ + 3a² b + 3b²a + b³

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio che costituisce il binomio, piu` il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, piu` il triplo prodotto del quadrato del secondo per il primo, piu` il cubo del secondo monomio.

ES. (2a+ b²) ³ = (2a) ³ + 3(2a) ² b² + 3(2a)( b² ) ² + ( b² ) ³ = 8a³ + 12a² b² + 6ab⁴ + b⁶

5^° CUBO DI UN POLINOMIO

(a+b+c) ³ = (a+b+c) (a+b+c) (a+b+c) = (a+b+c) ² (a+b+c) = (a² +b²+c²+2ab+2ac+2bc)(a+b+c) = a³ + b³ + c³ + 3a² b + + 3b²a + 3ac² + 3a²c + 3bc² + 3b²c + 6abc

Il cubo di un polinomio è dato dal polinomio che ha per termini:

a)     i cubi di tutti i termini;

b)     i tripli prodotti dei quadrati di ciascuno dei termini per ognuno degli altri;

c)     i sestupli dei prodotti dei termini a tre a tre.

POTENZA DI UN BINOMIO

Lo sviluppo di (a+b)ⁿ, con n intero positivo, è un polinomio omogeneo, di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b; il coefficiente del primo termine è 1, il coefficiente del secondo termine è l' esponente n, ogni altro coefficiente si ottiene moltiplicando il coefficiente del termine precedente per l' esponente che ha a in questo termine e dividendo il prodotto ottenoto per l' esponente che ha b, nello stesso termine, aumentati di 1.

TRIANGOLO DI TARTAGLIA O DI PASCAL

I coefficienti delle successive potenze del binomio (a+b) si possono trovare in pratica anche col cosiddetto triangolo di Tartaglia:

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

La legge di formazione del triangolo è semplice: i numeri di ciascuna riga (tranne il primo e l'ultimo che sono uguali a uno) sono la somma di quelli soprastanti della riga precedente.