LIMITI DI FUNZIONE

| F(X) - L | < E   L - E < F(X) < L + E

Data una funzione Y=F(X) si dice che essa tende a per X X0

LIM F(X) =

X X0

se , fissato un numero positivo M grande a piacere , esiste un intorno completo H del punto X0 per ogni X del quale , risulta

F(X) > M

Data una funzione Y=F(X) si dice che essa tende al limite finito L per X

LIM F(X) = L

X

se , fissato un numero positivo E piccolo a piacere , esiste in corrispondenza un numero positivo X tale che per ogni |x| > X risulti

| F(X) - L | < E

Data una funzione Y=F(X) si dice che essa tende a per X

LIM F(X) =

X

se , fissato un numero positivo M grande a piacere , esiste in corrispondenza un numero positivo X tale che per ogni |x| < X risulti

| F(X) | > M

CONVERGENTI : tendono a L

DIVERGENTI : tendono a

INDETERMINATE : non esiste un limite

CRESCENTI : i valori che assume la variabile Y crescono al crescere dei valori di X    X1 < X2 F(X1) < F(X2)

DECRESCENTI : i valori che assume la variabile Y decrescono al crescere dei valori di X    X2 > X1 F(X2) < F(X1)

NON CRESCENTI : crescendo i valori di X , essa decresce o si mantiene costante

NON DECRESCENTE :crescendo i valori di X , essa cresce o si mantiene costante

Una funzione Y=F(X) , definita in un intervallo di estremi a e b , si dice CONTINUA in un punto X0 appartenente all'intervallo considerato se risulta :

LIM F(X) = F(X0)

X X0 cioè se il limite al quale essa tende per X X0 è il valore F(X0) che essa assume in X0

CONDIZIONI : 1) esiste il valore della funzione nel punto X0

2) esiste il limite della funzione per X X0

3) il limite della funzione per X X0 coincide con il valore che la funzione assume in X0

Le funzioni che non hanno la X al denominatore sono sempre continue .

FORME INDETERMINATE

- ( + - : razionalizzazione

zero .

: scomposizione ( L

: raccoglimento ( L 0

quando il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore il limite è

quando il grado del denominatore è maggiore di quello del numeratore il limite è 0

quando i gradi sono uguali il limite è finito

FORME DETERMINATE

L /

L / 0 =

DERIVATE

Si chiama derivata della funzione Y=F(X) nel punto X0 il limite , se esiste ed è finito , del rapporto incrementale DY/DX al tendere a zero dell'incremento DX della variabile indipendente

F'(X0) = LIM F(X0 + DX) - F (X0) / DX = LIM DY /DX   DX = h

DX DX

se una funzione è derivabile nel punto X0 essa è anche continua in X0 LIM F(X0 + h) = F(X0)

h

non sempre una funzione continua è anche derivabile

m(tg) = LIM    F(X0 + h) - F(X0) / h

h Y = Xm Y' = mX m-1

La derivata di una costante è sempre zero   DY / h = ( k - k ) / h = 0

La derivata della X è 1   DY / h = ( x + h - x ) / h = 1

Geometricamente , la derivata F'(X0) della funzione Y=F(X) , calcolata nel punto X0 , rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva di equazione Y=F(X) nel punto di ascissaX0