angoli coniugati interni (o esterni) uguali

Se due rette sono parallele, ogni perpendicolare all'una è perpendicolare anche all'altra.

Due rette perpendicolari a una terza sono parallele fra loro.

Le perpendicolari a due rette incidenti sono anch'esse incidenti.

Due rette parallele a due rette incidenti sono anch'esse incidenti.

Teorema di Talete

Due trasversali a e b che incontrano tre rette parallele p, q, r rispettivamente in A, B, C e D, E, F determinano quattro segmenti AB, BC e DE, EF tali che

AB:DE=BC:EF .

Perpendicolare a una retta da un punto esterno

Data una retta e un punto (appartenente o noi ad essa) esiste ed è unica la retta passante per quel punto e perpendicolare alla retta data.

Distanza di un punto da una retta

Dato un punto e una retta non passante per 555i88f tale punto, il punto della retta più vicino al punto dato è il piede della perpendicolare alla retta passante per il punto dato.

Teoremi sui triangoli

L asomma deglia angoli interni di un poligono convesso avente n lati è n-2 angoli piatti. In particolare, la somma degli angoli di un triangolo è 180°. Ciascuno degli angoli esterni di un triangolo è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti.

Criteri di uguaglianza

Due triangoli che hanno rispettivamente uguali due lati e l'angolo compreso fra essi sono uguali.

2. Due triangoli che hanno rispettivamente uguali un lato e i due angoli ad esso adiacenti sono uguali.
3. Due triangoli che hanno i tre lati rispettivamente uguali sono uguali.

Criteri di similitudine

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente uguali.

2. Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale e i lati che lo comprendono in proporzione.
3. Due triangoli sono simili se hanno i lati ordinatamente proiporzionali.

Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo la superficie del quadrato che ha per lato l'ipotenusa è equivalente alla somma delle superfici dei quadrati aventi per lato i cateti del triangolo considerato.

Terne pitagoriche

Una terna Pitagorica è un insieme di tre numeri naturali a, b e c (con a<b<c) tali per cui valga a²+b²=c². Una terna Pitagorica è detta primitiva se il MCD di a,b e c è 1. Tutte le terne pitagoriche primitive sono esprimibili nel seguente modo:

a=2uv

b=u²-v²

c=u²+v²

Con u e v numeri naturali primi fra loro, di diversa parità e tali che u>v

Teoremi di Euclide

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

2. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti di quel triangolo sull'ipotenusa.

Diseguaglianza dei triangoli

In ogni triangolo la lunghezza di ognuno dei lati è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

Teorema dei punti medi

La linea che congiunge i punti medi di due lati qualsiasi del triangolo è parallela al terzo lato.

Teorema dell'angolo esterno

In un triangolo ogni angolo esterno è la somma degli angoli interni non adiacenti.

Teorema della bisettrice

La bisettrice interna di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali ai lati che la comprendono. Il prodotto di due lati di un triangolo è uguale al quadrato della bisettrice dell'angolo da essi formato più il prodotto dei segmenti che essa determina sul terzo lato.

Se in un triangolo ABC si considera una qualunque bisettrice di un angolo interno (ad esempio quella dell'angolo in A) e il punto in cui esso incontra il alto opposto (ad esempio il punto D sul lato BC), si ha che il rapporto fra le lunghezze dei lati che formano l'angolo è uguale al rapporto fra le lunghezze dei segmenti in cui viene diviso da tale punto (nell'esempio si ha AB:BC=BD:CD).

In un triangolo ABC rettangolo in A sia M il punto medio dell'ipotenusa BC e H il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa. Allora si ha AM=BM=CM e AH²=BH* CH

Baricentro

È il punto in cui concorrono le mediane di un triangolo.

Il baricentro divide ogni mediana in due parti di cui quella che ha un estremo ne vertice è il doppio dell'altra.

Il baricentro è il centro di gravità di tre masse uguali poste ai vertici del triangolo ed è anche il centro di gravità dell'intero triangolo pensato come una lamina omogenea di spessore uniforme.

Il baticentro è il punto del piano per il quale è minima la somma dei quadrati delle distanze dai vertici del triangolo è minima.

Ortocentro

È il punto di incontro delle altezze di un triangolo.

I tre vertici del triangolo e l'ortocentro formano un sistema ortocentrico, nel senso che ciascuno di questi quattro punti è l'ortocentro del triangolo formato dagli altri tre.

Il punto simmetrico dell'ortocentro di un triangolo rispetto a un lato giace sul cerchio circoscritto al triangolo.

Circocentro

È il centro del cerchio circoscritto al triangolo ABC.

Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati.

Se H è l'ortocentrodel triangolo e M è il baricentro, i tre punti H, O e M sono allineati e 2OM=MH

Inoltre la somma dei vettori OA, OB, Oc è uguale al vettore OH.

Se S è l'area del triangolo e a,b e c le misure dei lati, si ha che S=(abc)/(4R) dove R è il raggio della circonferenza circoscritta; inoltre si ha che rR=(abc)/(4p) dove r è il raggio del cerchio inscritto e p il semiperimetro del triangolo.

Incentro

È il centro del cerchio inscritto al triangolo.

Esso è il punto di incontro delle bisettrici interne del triangolo.

Se R è il raggio del cerchio circoscritto e r quello del cerchio inscritto si ha R²-d²=2Rr dove d è la distanza fra l'incentro e il circocentro. Se p è il semiperimetrodel triangolo, la sua area S è data dalla formula S=pr

Excentri

Sono i centri delle tre circonferenze exinscritte, cioè delle circonferenze tangenti a un lato del triangolo e ai prolungamenti degli altri due.

Ciascuno degli excentri è il punto di incontro tra la bisettrice di un angolo e le bisettrici dei due angoli esternirelativi agli altri due vertici.

Gli excentri e l'incentro di un triangolo formano un sistema ortocentrico, cioè ciascuno di questi quattro punti è l'ortocentro del triangolo formato dagli altri tre.

Viceversa i vertici di un triangolo e il suo ortocentro sono excentri e incentro del triangolo che ha vertici nei piedi delle tre altezze.

Se x,y e z sono i raggi delle tre circonferenze exinscritte e r quello della circonferenza inscritta si ha:

(1/r)=(1/x)+(1/y)+(1/z);

se poi R è il raggio della circonferenzacircoscritta si ha x+y+z-r=4R.

L'area S del triangolo è data da S=radq(xyzr); (radq(k) indica la radice quadrata di k). Inoltre se a è la lunghezza del lato cui è tangente la circonferenza exinscritta di raggio x e p è il semiperimetro si ha s=(p-a)x.

Formula di Erone

Detti a,b e c i lati di un triangolo qualsiasi e p il semiperimetro di tale triangolo, l'area S del triangolo vale

S=radq(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Con dei facili calcoli algebrici si può giungere alla seguente espressione

4S=radq((a²+b²+c²)²-2(a^4+b^4+c^4))

(y^k indica y elevato alla k-esima potenza).

Teorema del coseno (o di Carnot)

In ogni triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del doppio prodotto di questi per il coseno dell'angolo tra essi compreso.

Se a,b e c sono i lati e a è l'angolo compreso fra i lati b e c si ha

a²=b²+c²-2bc*cosa

Per a=p/2, cioè il un triangolo rettangolo, il teorema di Carnot si riduce al teorema di Pitagora.

Teorema di Menelao

Se una retta taglia i lati BC, CA e AB ( o i loro prolungamenti) di un triangolo ABC rispettivamente in F,G e H, si ha che

AH*BF*CG=HB*FC*GA

Teorema di Ceva

Condotte dai vertici di un triangolo tre semirette che intersecano in un punto interno al triangolo(dette ceviane) e che incontrano i lati opposti in D,E,F rispettivamente si ha che

BD*CE*AF=DC*EA*FB

Teorema della mediana

Il doppio del quadrato di una mediana è uguale alla somma dei quadrati dei due lati che la comprendono meno la metà del quadrato del terzo lato.

Teorema di Stewart

In un triangolo qualunque, se P è un punto del lato AB e AP=v, PB=u e CP=w, si ha che

b²u+a²v=c(w²+uv)

dove a,b e c sono le misure rispettivamente dei lati opposti a A, B e C. se P è il punto medio di AB ne segue, in particolare, il teorema della mediana.

Teorema di Nepero

In ogni triangolo la somma delle misure di due lati sta alla loro differenza come la tangente trigonomtrica della semisomma degli angoli opposti a questi lati sta alla tangente della loro semidifferenza.

Teorema dei seni

In ogni triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti. Con l'usuale notazione degli elementi di un triangolo si ha che

(a/sena)=(b/senb)=(c/seng)=2R

dove R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.

Teoremi sulla circonferenza

Osservazioni generali

Gli angoli al centro che insistono su archi uguali di una circonferenza sono tutti uguali fra loro. Lo stesso vale per quelli alla circonferenza.  Un angolo che ha vertice in un punto posto all'interno di una circonferenza e che, intersecandola, determina un dato arco ha ampiezza maggiore di tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su tale arco e che hanno vertice sull'arco esplementare. Tutti gli angoli che hanno vertice esterno alla circonferenza e all'angolo iniziale e i lati passanti per gli estremi dell'arco sono minori dei suddetti angoli alla circonferenza. Gli angoli alla circonferenza che insistono su un diametro sono retti. Il luogo geometrico dei punti dai quali un dato segmento è visto sotto un certo angolo è formato da due archi che hanno estremi sugli estremi del segmento. Il luogo geometrico dei vertici degli angoli retti di tutti i triangoli rettangoli aventi ipotenusa data è una circonferenza avente come diametro tale ipotenusa.

In una circonferenza, l'ampiezza di ogni angolo al centro è doppia di quella degli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco.

Teorema dell'angolo alla circonferenza

In ogni circonferenza, l'angolo al centro è il doppio di ogni angolo alla circonferenza che insiste sul medesimo arco. Conseguenze di questo teorema sono le seguenti:

a)  tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso areco sono uguali;

b)  angoli alla circonferenza che insistono su archi uguali sono uguali.

Teorema delle due corde

Condotte da un punto M interno ad una circonferenza due corde AB e CD, esse si dividono formando quattro segmenti tali che

AM:MD=CM:MB

Teorema delle tangenti

Da un punto P esterno a una circonferenza di centro O possono essere condotte due tangenti alla circonferenza (rispettivamente in A e in B). Valgono le seguenti proprietà:

a)  PA=PB;

b)  la semiretta PO è bisettrice dell'angolo APB;

c)  la retta PO è l'asse della corda AB.

Teorema della secante e della tangente

Condotte da un punto P esterno ad una circonferenza una semiretta PA tangente alla circonferenza nel punto A e una secante che interseca la circonferenza nei punti B e C, si ha che

PB:PA=PA:PC

Teorema delle secanti

Condotte da un punto esterno P ad una circonferenza due secanti che incontrano la circonferenza rispettivamente in A,B e in C,D, si ha che 

PD:PB=PA:PC

Teoremi sui quadrilateri

Quadrilatero ciclico

Un quadrilatero è detto ciclico se e solo se la somma di ciascuna delle coppie di angoli opposti è 180°. Un quadrilatero ciclico è quindi inscrivibile in una circonferenza. Per questi quadrilateri ABCD vale il teorema di Tolomeo:

AC*BD=AB*CD+AD*BC

Per i quadrilateri ciclici vale una formula che è simile a quella di Erone per i triangoli: se a,b,c e d sono le lunghezze dei lati e p è il semiperimetro, si ha che l'area S del quadrilatero è data dall'espressione

S=radq((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))

Teorema di Tolomeo

In un qudrilatero inscrivibile in una circonferenza il prodotto delle diagonali è equivalente alla somma dei prodotti dei lati opposti. Più in generale, in ogni quadrilatero non ciclico ABCD si ha:

AC*BD<AB*CD+AD*BC

Teorema di Eulero

In ogni quadrilatero la somma dei quadrati dei lati è equivalente alla somma dei quadrati delle diagonali e del qudruplo del quadrato del segmento che unisce i punti medi delle diagonali.

Sezioni coniche

Parabola

Dati un punto F (fuoco) e una retta r (direttrice), il luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da r è detto parabola.

Circonferenza

Si chiama circonferenza il luogo dei punti del piano che sono equidistanti da un punto fisso detto centro.

Questa distanza si chiama raggio.

Ellisse

Si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti del piano tali che sia costante la somma delle loro distanze da due punti fissi detti fuochi.

Iperbole

Si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti del piano tali che sia costante la differenza delle loro distanze da due punti fissi detti fuochi.