Formule di sottrazione, addizione, duplicazione degli archi

matematica

Formule di sottrazione, addizione, duplicazione degli archi

Formule di sottrazione

coseno

Siano e due archi qualunque di una circonferenza goniometrica e sia la corda sottesa dall'arco

Dall'origine prendiamo l'arco eguale all'arco e tracciamo la corda che risulterà eguale alla corda 626d39g . Le coordinate dei punti sono rispettivamente:

Ricordando la formula della distanza di due punti, la lunghezza della corda è data da:

mentre la lunghezza della corda

e, poiché le due corde sono eguali, avremo che:

elevando ambedue i membri al quadrato e sviluppando i quadrati otterremo:

Poiché:

risulterà:

da cui si otterrà:

che è la formula di sottrazione del coseno; questa formula permette di determinare il coseno dell'arco differenza di due archi e di ciascuno dei quali è noto il seno e il coseno.

seno

Poiché risulta che , possiamo scrivere:

da cui, riprendendo la formula della sottrazione del coseno, si ha:

poiché e , si avrà:

che è la formula di sottrazione del seno che permette di calcolare il seno di  noti il seno e coseno di e di

tangente

Poiché la tangente è il rapporto fra il seno ed il coseno dello stesso arco, si avrà:

da cui, dividendo numeratore e denominatore per , si otterrà:

che è la formula di sottrazione della tangente, valida purché sia: e

cotangente

Poiché la cotangente è il rapporto fra il coseno ed il seno di uno stesso arco, si avrà:

da cui, dividendo numeratore e denominatore per , sarà:

che è la formula di sottrazione della cotangente, valida purchè sia e

Formule di addizione

coseno

Cambiando in nella formula della sottrazione del coseno, si avrà:

che, essendo e , diventa:

che è la formula di addizione del coseno che permette di calcolare il coseno di conoscendo il seno e coseno di e di

seno

Cambiando in nella formula della sottrazione del seno si avrà:

che, poiché e , diventa:

tangente

Cambiando in nella formula della sottrazione della tangente, si ha:

che, poiché , diventa:

cotangente

Cambiando in nella formula della sottrazione della cotangente, si ha:

che, poiché , e moltiplicando per il segno meno, diventa:

Formule di duplicazione

Le formule di duplicazioni permettono di determinare le funzioni goniometriche dell'angolo di ampiezza per mezzo delle funzioni goniometriche dell'angolo di ampiezza a. Infatti, ponendo , si ha che:

da cui:

Con lo stesso procedimento, poiché , si ricava:

da cui:

Da questa, poiché si ha che , oppure che , si ha rispettivamente:

In modo del tutto analogo si procede per il calcolo delle formule di duplicazioni della tangente e della cotangente. Infatti, ponendo , si ha per la tangente:

valida per , e per la cotangente:

valida per