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Formule di sottrazione, addizione, duplicazione degli archi

matematica


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Formule di sottrazione, addizione, duplicazione degli archi

Formule di sottrazione

coseno

Siano e due archi qualunque di una circonferenza goniometrica e sia la corda sottesa dall'arco

Dall'origine prendiamo l'arco eguale all'arco e tracciamo la corda che risulterà eguale alla corda 626d39g . Le coordinate dei punti sono rispettivamente:


Ricordando la formula della distanza di due punti, la lunghezza della corda è data da:


mentre la lunghezza della corda


e, poiché le due corde sono eguali, avremo che:


elevando ambedue i membri al quadrato e sviluppando i quadrati otterremo:


Poiché:



risulterà:


da cui si otterrà:


che è la formula di sottrazione del coseno; questa formula permette di determinare il coseno dell'arco differenza di due archi e di ciascuno dei quali è noto il seno e il coseno.


seno

Poiché risulta che , possiamo scrivere:


da cui, riprendendo la formula della sottrazione del coseno, si ha:


poiché e , si avrà:


che è la formula di sottrazione del seno che permette di calcolare il seno di  noti il seno e coseno di e di


tangente

Poiché la tangente è il rapporto fra il seno ed il coseno dello stesso arco, si avrà:


da cui, dividendo numeratore e denominatore per , si otterrà:


che è la formula di sottrazione della tangente, valida purché sia: e


cotangente

Poiché la cotangente è il rapporto fra il coseno ed il seno di uno stesso arco, si avrà:


da cui, dividendo numeratore e denominatore per , sarà:


che è la formula di sottrazione della cotangente, valida purchè sia e


Formule di addizione

coseno

Cambiando in nella formula della sottrazione del coseno, si avrà:


che, essendo e , diventa:


che è la formula di addizione del coseno che permette di calcolare il coseno di conoscendo il seno e coseno di e di


seno

Cambiando in nella formula della sottrazione del seno si avrà:


che, poiché e , diventa:



tangente

Cambiando in nella formula della sottrazione della tangente, si ha:


che, poiché , diventa:



cotangente

Cambiando in nella formula della sottrazione della cotangente, si ha:


che, poiché , e moltiplicando per il segno meno, diventa:




Formule di duplicazione

Le formule di duplicazioni permettono di determinare le funzioni goniometriche dell'angolo di ampiezza per mezzo delle funzioni goniometriche dell'angolo di ampiezza a. Infatti, ponendo , si ha che:


da cui:


Con lo stesso procedimento, poiché , si ricava:


da cui:


Da questa, poiché si ha che , oppure che , si ha rispettivamente:


In modo del tutto analogo si procede per il calcolo delle formule di duplicazioni della tangente e della cotangente. Infatti, ponendo , si ha per la tangente:


valida per , e per la cotangente:


valida per







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