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Concetto di asintoto
Asintoto e' una
parola che deriva dal greco: a privativo che significa no e sympěptein che
significa congiungere cioe' significa che non tocca, in pratica si tratta di
una retta che si avvicina alla funzione senza mai toccarla, per questo si dice
anche che l'asintoto e' la tangente all'infinito della funzione.
Quindi se non sappiamo come si comporta una funzione all'infinito sappiamo
pero' come all'infinito si comporta una retta e se troviamo l'equazione della
retta che accompagna la funzione all'infinito (asintoto) potremo tracciare il
grafico della funzione che tende all'infinito con buona app 222h76c rossimazione.
Una funzione puo' tendere all'infinito avvicinandosi ad una retta in tre modi diversi come puoi vedere dalle tre figure qui sotto
Asintoto verticale |
Asintoto orizzontale |
Asintoto obliquo |
Da notare che l'asintoto orizzontale esclude l'asintoto obliquo e viceversa perche' al crescere della x la funzione puo' andare all'infinito in un solo modo
Asintoto verticale
Si ha un asintoto
vericale quando, all'avvicinarsi della x ad un valore finito, il valore della y
cresce all'infinito
Poiche' il valore infinito e' solo una convenzione ne deriva che la funzione
avra' valore infinito dove la x non e' definita, cioe' per valori non
appartenenti al campo di esistenza
Quindi per trovare gli asintoti verticali dovremo trovare quei valori della x
per cui la funzione vale infinito, cioe' supponendo che nel punto x = c la
funzione non sia definita dovremo calcolare:
limx->c f(x) =
se il risultato vale
allora la retta
x = c sara' l'asintoto verticale
E' bene al fine di calcolare esattamente come la funzione sparisce all'infinito calcolare sia il limite destro che il limite sinistro per trovare il segno dell'infinito a destra e a sinistra dell'asintoto
ricordati del teorema della permanenza del segno che ti permette di assegnare all'infinito (anche se non esiste) un segno positivo o negativo
I quattro casi possibili sono rappresentati qui sotto:
limx->c f(x) = + |
limx->c f(x) = - |
limx->c f(x) = + |
limx->c f(x) = - |
Facciamo un esercizio
semplicissimo: vediamo se la funzione
3x
y = -------
x - 1
ha asintoti verticali
il campo di esistenza e' tutti i valori eccetto x = 1 per cui si annulla il
denominatore
calcolo:
3x
limx->1 -------- = 3/0 =
x - 1
quindi la retta
x = 1
e' un asintoto verticale
Per tracciarlo al meglio calcoliamo i limiti destro e sinistro della funzione
nel punto 1
limx->1- f(x) = -
limx->1+ f(x) = +
Asintoto orizzontale
Si ha un asintoto
orizzontale quando, al crescere della x la y si avvicina ad un valore ben
determinato.
in pratica c'e' l'asintoto se
limx-> f(x)
= numero
e l'asintoto sara' la retta orizzontale
y = numero
e' inoltre possibile calcolare se rispetto all'asintoto la funzione si trovi sopra o sotto sostituendo al numero dell'asintoto un numero piu' piccolo o piu' grande e vedendo se l'orizzontale relativa taglia o no la funzione, ma io penso che cio' sia inutile, in quanto in uno studio completo di funzione si hanno parecchi altri dati da cui ricavare se la funzione si avvicina all'asintoto da sopra o da sotto
Facciamo anche qui un
esercizio molto semplice: calcoliamo, se esiste, l'asintoto orizzontale per la
funzione:
3x
y = -------
x - 1
in pratica devo calcolarne il limite per x tendente ad infinito
3x
limx-> --------
= / =
3
x - 1
Infatti numeratore e
denominatore hanno lo stesso grado ed il rapporto fra le x di grado maggiore e'
3.
se non hai capito bene come ho fatto ridai un'occhiata alle forme indeterminate
oppure puoi calcolare la derivata sopra e sotto e rifare il limite come abbiamo
visto nelle applicazioni sulle derivate
quindi la retta
y = 3
sara' l'asintoto orizzontale
la funzione e' la stessa che abbiamo usato per l'asintoto verticale e con i
dati che ho posso cominciare ad abbozzarne un eventuale grafico (per tracciarlo
effettivamente mi mancano ancora parecchi dati):
Asintoto obliquo
Si ha un asintoto obliquo quando la funzione, andando verso infinito si avvicina ad una retta obliqua
C'e' da dire subito che l'asintoto obliquo non esiste sempre perche' una funzione andando all'infinito potrebbe avvicinarsi all'orizzontale oppure crescere avvicinandosi ad una parabola o ad una cubica..... Questo pero' esula da questo corso
Vediamo quali sono le
condizioni perche' una funzione ammetta asintoto obliquo della forma
y = mx + q
Prima di tutto bisogna dire che la funzione deve tendere all'infinito:
limx-> f(x)
=
poi devono esistere m e q, cioe' devono esistere finiti i due limiti
Ti consiglio di dare un'occhiata alla dimostrazione
facciamo anche qui un
semplice esercizio:
trovare l'asintoto obliquo per la funzione
3x2 - 1
y = ----------
x
si ha subito
3x2 - 1
limx-> -------------
=
x
Infatti il numeratore
ha grado superiore al denominatore.
se non hai capito bene come ho fatto ridai un'occhiata alle forme indeterminate
oppure puoi calcolare la derivata sopra e sotto e rifare il limite come abbiamo
visto nelle applicazioni sulle derivate
ora vado a calcolare
(se esistono) m e q
Dividere una funzione per x vuol dire moltiplicarne il denominatore per x
quindi:
3x2 - 1
m = limx-> ----------
= 3
x2
quindi m = 3
calcolo q
3x2 - 1
q = limx-> ----------
- 3x = x
3x2 - 1 - 3x2
= limx-> ----- ----- -------
=
x
1
= limx-> -----
= 0
x
quindi q = 0
l'asintoto e' la retta
y = 3x
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