IL PIANO CARTESIANO

matematica

IL PIANO CARTESIANO

La geometria analitica, introdotta per la prima volta da Descartes (italianizzato in Cartesio) nella prima metà del XVII secolo, tratta lo studio di figure piane e solide utilizzando metodi algebrici, cioè risoluzione di equazioni, piuttosto che metodi geometrici, cioè strumenti come riga e compasso e l'uso delle proporzioni e di criteri di proporzionalità.

Dato che è relativamente 313e47d semplice creare degli algoritmi, ovvero delle procedure standard e ripetitive, per eseguire le operazioni algebriche, l'applicazione dell'algebra alla geometria si rivela estremamente efficace e ha contribuito in maniera essenziale a un notevole sviluppo di entrambe le discipline.

L'idea fondamentale che sta alla base della geometria analitica è molto semplice e si fonda sulla rappresentazione dei numeri reali su una retta.

Se tutti i numeri reali hanno una rappresentazione sulla retta, allora prendiamo due rette perpendicolari che si intersecano entrambe nel punto zero (origine); se consideriamo la coppia ordinata di numeri (x, y), dove il primo numero x viene preso sulla retta orizzontale, chiamata anche asse delle X o asse delle ascisse, mentre in secondo numero y viene preso sulla retta verticale, chiamata anche asse delle Y o asse delle ordinate, allora "esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano formato dagli assi x e y e le coppie ordinate di numeri".

In altre parole a ogni punto del piano corrisponde una e una sola coppia ordinata di numeri (ricordiamo che "ordinata" significa che la coppia (2, 5) è diversa dalla coppia (5, 2), come si può vedere in figura 1), mentre ad ogni coppia ordinata di numeri corrisponde uno e un solo punto del piano. Poiché l'insieme delle coppie ordinate altro non è che l'insieme prodotto cartesiano R X R, tutti i punti del piano possono essere visti come la rappresentazione di questo insieme prodotto cartesiano. Le coppie ordinate prendono il nome di "coordinate del punto"; il primo numero della coppia prende il nome di "coordinata x" e rappresenta la distanza del punto dall'asse Y, mentre il secondo numero prende il nome di "coordinata y" che rappresenta la distanza del punto dall'asse X (in figura per il punto A di coordinate 2, 4).

Gli assi X e Y dividono il piano in quattro quadranti: se le coordinate x e y sono entrambe positive il punto è nel primo quadrante; se la coordinata x è negativa mentre la coordinata y è positiva il punto è nel secondo quadrante; se le coordinate x e y sono entrambe negative il punto è nel terzo quadrante; se la coordinata x è positiva mentre la coordinata y è negativa il punto è nel quarto quadrante. Tutti i punti che hanno coordinate del tipo (0, y) sono punti che giacciono sull'asse X, mentre tutti i punti che hanno coordinate del tipo (x, 0) sono punti che giacciono sull'asse Y.