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NOZIONI INTRODUTTIVE E NOZIONI - GLI INSIEMI

matematica


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NOZIONI INTRODUTTIVE E NOZIONI


GLI INSIEMI


L'insieme è come una collezione qualsiasi di oggetti, in numero finito o infinito.

In un insieme finito il n° degli oggetti che lo costituiscono si dice anche ordine; un insieme infinito si dice anche di ordine infinito. Gli oggetti che costituiscono un insieme sono detti i suoi elementi.

Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole dell'alfabeto; gli elementi con lettere minuscole.

Per indicare l'appartenenza o meno dell'elemento x all'insieme A si scrive "x Є A" e "x Є A

L'insieme privo di elementi è detto insieme vuoto, indicando con il simbolo 0.


N è l'insieme dei n° naturali



Z è l'insieme dei n° interi relativi

Q è l'insieme dei n° razionali, cioè le frazioni n/m dove n e m sono n° interi relativi e m ≠ 0

R è l'insieme dei n° reali

C è l'insieme dei n° complessi


Simboli:


significa "per ogni";

significa "esiste almeno un/o/a";

! significa "esiste uno ed un solo";


si legge "implica";

si legge "se e soltanto se";

Esempio: p           q significa che p e q sono equivalenti;


si legge "e";

V si legge "o".



SOTTOINSIEMI


Un insieme A si dice sottoinsieme dell'insieme B se ogni elemento di A appartiene a B.

Si scrive A B e si legge "A contenuto in B" o "A incluso in B". in simboli:


A B (x Є A x Є B)



OPERAZIONI TRA INSIEMI


Definizione: Dati 2 insiemi A e B, si dice insieme unione di A e di B l'insieme AUB avente come elementi gli oggetti che appartengono ad almeno uno tra A e B.


A B =


Definizione: Dati 2 insiemi A e B, si dice insieme intersezione di A e di B l'insieme A B avente come elementi gli oggetti che appartengono sia ad A che a B.


A ∩ B =


Esempio:


=

=


2 insiemi A e B, si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, cioè A B = 0



Definizione: Dati 2 insiemi A e B, si dice insieme differenza di A e di B l'insieme A\B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e non a B.


A \ B =


Esempio:


\ =


Se la differenza viene effettuata tra un insieme X e un suo sottoinsieme A, si parla di complementare del secondo insieme nel primo, denotata Сx (A)



Definizione: Dati 2 insiemi A e B, si dice differenza simmetrica di A e di B l'insieme A B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e non a B e gli oggetti che appartengono a B e non ad A.


A       B = U = (A\B) (B\A)


Esempio: = =



Definizione: Dati 2 insiemi A e B non vuoti, si dice insieme prodotto cartesiano di A e di B l'insieme A x B avente come elementi le coppie ordinate di elementi di A e di B.


A x B =


Esempio: Se A = e B = , si ha:


A x B =







CORRISPONDENZE E FUNZIONI


Funzione: E' una relazione che lega 2 grandezze fisiche, economiche o qualitative attraverso una legge matematica. Queste 2 variabili verranno chiamate x e y.


x viene detta variabile indipendente;

y viene detta variabile dipendente, perché dipende dalla x, per cui: y = f (x)



Dominio: L'insieme delle x si chiama dominio di funzione o campo di esistenza; ed è l'insieme di tutti i valori di x per i quali è possibile calcolare il valore della funzione, la variabile di x si chiama dipendente.


Funzione Denominazione Dominio Esempio


y = mx + q funz. lineare D = y = 2x - 5

D =


y = ax2 + bx + c       funz. quadratica D = y = 2x2 - 3x - 1

D =


N(x) x3 - 2x + 1

y =                       funz. algebrica D = y =

D(x) fratta x2 - 3



D =


y = nf(x) funz. irrazionale "n" pari D = y = x2 - 3

D =


"n" dispari D = y = 3 x + 4

D =


y = log x             funz. logaritmica D = y = log (x2 - 1)

D =


y = ex                  funz. esponenziale il D di questa funz. coincide y = ex2+3x

con quello dell'esponente D =


y = sin f(x)           sin[(x2 +2x -7)3(x -2)]

y = cos f(x)          funz. goniometrica il D di queste funz. coincidono D =

y = tg f(x)                                                    con quello del loro argomento

sin x2 +2x -8

D =



Esempi: y = 3x + 2 → D = V x Є R

y = 2√2x - 1 → essendo pari → D = 2x ≥ 1 → x ≥ 1/2 → D = V x Є R: x ≥ ½

y = 3√2x - 1 → essendo dispari → D = V x Є R

4x2 - 2

  y = → x + 2 ≠ 0 → x ≠ -2 → D = x Є R: x ≠ -2

x + 2

y = loga (1 - x) → 1 - x > 0 → x < 1 → D = x Є R: x < 1

y = e-x^2 → D = x R


Codominio: l'insieme delle y si chiama codominio, le variabili di y si chiamano variabili dipendenti.



Definizione: Una funzione è detta:


Iniettiva: se ogni elemento di A ha al più una controimmagine in B;


A B












Suriettiva: se ogni elemento di A ha almeno una controimmagine in B;


A B












Biunivoca: se è sia iniettiva sia suriettiva; quindi se ad ogni punto di A corrisponde un punto di B.


A B














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