Se AB è il segmento dato, si conduca la per perpendicolare ad AB nell'estremo B e si prenda su di esso il segmento BO, metà di AB, indi col centro in O si descriva la circonferenza di raggio OB, che risulterà tangente in B alla retta AB. Si unisca A con O e si chiamino C e D le intersezioni della retta AO con la circonferenza; si porti infine su AB il segmento AE congruente ad AC. Proveremo che AE è il segmento cercato, cioè che sussiste la proporzione:

AB : AE = AE : EB

Infatti per il teorema della secante e della tangente (se da un punto si conducono ad una circonferenza una secante e una tangente, il segmento determinato dalla circonferenza sulla tangente è medio proporzionale fra i segmenti determinati sulla secante e aventi un estremo in quel punto) si ha:

AD : AB = AB : AC

Da cui scomponendo si ottiene:
(AD - AB) : AB = (AB - AC) : AC
Ma siccome AB è congruente a CD e AC è congruente ad AE si ha pure:
AD - AB = AD - CD = AC = AE
AB - AC = AB - AE =EB
Perciò l'ultima proporzione diventa:
AE : AB = EB : AE
Da cui invertendo:
AB : AE = AE : EB

Riguardo questa proporzione mi permetto di consigliare il sito web https://www.math.it/cabri/sezaurea.htm

RETTANGOLO AUREO

Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in A' disegnare un arco che da F intersechi il prolungamento del segmento AE in B. Con una squadra disegnare il segmento BC perpendicolare ad AB. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale Ab è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea:

AE:AB=EB:AE

TRIANGOLO ISOSCELE   CON ANGOLI DA 72°; 72°; 36°

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l'angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto nel punto d'intersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD. E da questo risulta che:

AC:BC=BD:DC

e dunque:

AC:AD=AD:DC

TRIANGOLO ISOSCELE CON ANGOLI DA 36°; 36°; 108°

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e l'angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della figura precedente.

PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI

Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l'angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto nel punto d'intersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD. E da questo risulta che:

AC:BC=BD:DC

e dunque:

AC:AD=AD:DC

SPIRALE AUREA

Se all'interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch'esso un rettangolo aureo. Si ripeta l'operazione per almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e si tracci l'arco che unisce i gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto. Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea continua.

LA SEZIONE AUREA NELLA STORIA

Questa sezione è stata ampiamente utilizzata nell'arte e nell'architettura, per esempio nella costruzione del Partenone di Atene e di altri templi dell'antica Grecia, o addirittura nelle tombe dei Re in Egitto.

Un altro esempio di sezione aurea si può avere osservando il limite a nord-est della centuriazione cesenate il quale è suddiviso in tratte che hanno fra loro il rapporto della sezione aurea (1,618), rapporto che compare nella  "divina proportione" di Leonardo da Vinci

Questo trattato è uno dei più importanti testi nel campo della geometria ancora presenti. Infatti grazie a questo trattato si sono potute creare vere e proprie enciclopedie.

Anche nella musica e nella pittura è stata usata la sezione aurea; ne abbiamo esempi come le "33 variazioni sopra un valzer di Diabelli" scritte da L.v.Beethoven, oppure il quadro rappresentante l'ultima cena dipinto da Salvador Dalì.

La successione di Fibonacci

Fibonacci, mercante picano, fu il primo ad introdurre in Europa il sistema numerico Indo-Arabo. basato sulle dieci cifre che ancora usiamo oggi, e con un simbolo per lo zero. Il suo testo aritmetico, " Liber Abaci", ossia il libro del calcolo, fu completato nel 1202. Fu il matematico Francese Edouard Lucas (1842-1891) che chiamò " Successione di Fibonacci" la serie di numeri menzionata per la prima volta nel " Liber Abaci".

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ....

Tale successione, dove ogni numero rappresenta la somma dei due precedenti, contiene al proprio interno il segreto del numero aureo , infatti dividendo ogni termine, a partire dal terzo, per il suo precedente, la successione dei rapporti tende al rapporto aureo.