L'ELLISSE

matematica

L'ELLISSE

L'ellisse è "il luogo dei punti la cui somma delle distanze da due punti dati detti fuochi è costante". Il punto P appartiene all'ellisse se, e solo se, la distanza di del punto P dal fuoco F1 più la distanza del punto P dal fuoco F2 è costante cioè: PF1 PF2 = k

Se il punto P che appartiene all'ellisse ha coordinate generiche x e y allora 727g68h si può ricavare l'equazione dell'ellisse in forma canonica, nel caso che i due fuochi giacciano sull'asse X oppure sull'asse Y, essa è:

xý yý

____ + ____ = 1

aý bý

dove a è la misura del semiasse dell'ellisse che giace sull'asse X, cioè 2a = AB, mentre b è la misura del semiasse dell'ellisse che giace sull'asse Y; 2b = CD.

Poiché a e b sono misure di segmenti allora sia a che b devono essere positivi e se a è maggiore di b allora l'ellisse ha l'asse maggiore, chiamato anche asse focale perché su di esso giacciono i fuochi, sull'asse delle x, mentre se a è minore di b allora l'asse maggiore giace sull'asse delle y. Se a = b l'ellisse diventa una circonferenza con centro nell'origine e raggio r = a = b. Una circonferenza infatti può essere considerata come un'ellisse con i fuochi coincidenti. due ellissi nelle quali una ha CO = OD = a e AO = OB = b e quindi a<b e l'ellisse è orientata in direzione verticale; nell'altra abbiamo AO = OB' = a e C'O = OD' = b dunque a>b e l'ellisse è orientata in direzione orizzontale.

Le coordinate dei fuochi sono date dalle seguenti relazioni:

per a>b (quindi i fuochi sono sull'asse X) F1 ha coordinate (-c, 0) e F2 ha coordinate (c, 0) dove c = Ö[a2 - b2]

per a<b (quindi i fuochi sono sull'asse Y) F1 ha coordinate (0, -c) e F2 ha coordinate (0, c) dove c = Ö[b2 - a2]

Data un'ellisse e una retta, analogamente a quanto succede per la circonferenza, la retta, in relazione al valore del discriminante - positivo, negativo o nullo - del sistema retta-ellisse, può avere due punti distinti di intersezione, due punti coincidenti di intersezione oppure nessun punto di intersezione. Per determinare univocamente l'equazione di una ellisse è necessario conoscere un punto dell'ellisse e un suo fuoco. L'ellisse è una curva molto importante nella fisica e soprattutto nell'astronomia infatti, come ha dimostrato Johannes Keplero nel 1609, le orbite di tutti i pianeti intorno al Sole sono ellissi in cui il sole occupa uno dei fuochi. Poiché i due fuochi non coincidono, altrimenti sarebbe una circonferenza e non un'ellisse, la Terra per esempio avrà una posizione di massimo avvicinamento al Sole (afelio) e una posizione di massimo allontanamento (perielio).