CONTINUITA' - FUNZIONI ELEMENTARI CONTINUE

matematica

CONTINUITA'

Def =  sia f una funzione definita su A, e sia Xo punto d'accumulazione per A, si dice che f  è continua in Xo se:

i)& 939e47j nbsp;   & 939e47j nbsp;   & 939e47j nbsp;   & 939e47j nbsp;   Xo  Є A

ii)& 939e47j nbsp;   & 939e47j nbsp;   & 939e47j nbsp;    Lim f (x) = l

x→Xo

iii)& 939e47j nbsp;   & 939e47j nbsp;   & 939e47j nbsp; F ( Xo ) = l

Punti di discontinuità

Se Xo è punto di accumulazione per A, diremo che f è discontinua in Xo se:

A)    Discontinuità di prima specie (di tipo salto)

Se esistono finiti il limite destro e sinistro, ma sono diversi.

Lim f (x) ≠ Lim f (x)

x→Xo+ x→Xo-

B)    Discontinuità di seconda specie

Si ha quando almeno uno dei due limiti non è finito o non esiste.

C)    Discontinuità di terza specie o eliminabile

Quando esiste ed è finito il limite della funzione ma non coincide con il valore della funzione. Non è definita in quel punto.

FUNZIONI ELEMENTARI CONTINUE.

n

f (x) = x     n Є R

n

f (x) = √ x    n pari, continua per x ≥ 0

f (x) = log a X  n dispari, continua per (-∞ ; +∞), continua per x >0

x

f (x) =  a continua per ogni X Є R

f (x) = sen x g (x) = cos x continua per X Є R

f (x) = │x │ = x x≥0

-x  x<0

Teorema

Se f e g sono continue in Xo:

1) f ± g è continua in Xo

2) f * g è continua in Xo

3) f / g è continua in Xo

4)& 939e47j nbsp; La composizione di funzioni continue, è continua

n.b. (quindi una funzione definita da 1 sola legge, che è composizione di funzioni elementari presentate, sarà continua nel suo camp di esistenza. Quindi si dovranno classificare solo i punti di accumulazione del C.E. che non appartengono allo stesso.)